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1、向量的加法运算及其几何意义一、向量加法的两个法则：向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接)。uuur uuur uuur uuur uuur2、化简：AB + DF + CD + BC + FA =向量减法三角形法则uuur uuur uuur uuur例.在平行四边形abcd中，AB =a , AD = b，用a、b表示向量AC、DB。共线向量定理向量a(aHO)与b共线时即ab,充要条件是存在唯一一个实数久，使得b=加.1. 平面向量数量积的有关概念向量的夹角：已知两个非零向量a和b,记（OA=a, OB=b,则ZAOB=0（OWOW18O ） 叫做向量 a 与 b 的
2、夹角.数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为6,则数量ailblcos _叫做a与 b的数量积（或内积），记作a b,即ab = ailblcos_。，规定零向量与任一向量的数量积为0, 即0a=0.（3）数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度lai与b在a的方向上的投影Iblcos的乘积.2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=（x1, y1）, b=（x2, y2）,。为向量a, b的夹角.* -I-* 1.两个向量的数量积：ab=1 a 11 b |cose -2. 平面两向量数量积的坐标表示:3. 向量平行与垂直的判定:fc-fa / b o x y 一 x y
3、= 0.1 2 2 1fc-a 丄 b o x x + y y = 0.1 2 1 24. 平面内两点间的距离公式：5. 求模：|a| = a - a= x2 + y2I AB 1= J(xi - x2)2 + (yi - y2)2a =7kxi 一 x2)2 + (yi- y2)26,夹角：cos =蛊!=肩节匕熟练运算2 n1.已知平面向量a, b的夹角为厂,lai=2, lbl = 1,贝则la+bl =2已知1 a匸21 b 7 a与b之间的夹角为&，那么向量m = a 4b的模为（）A.2B.2J3C.6D.123.已知a丄b、c与a、b的夹角均为60且I a i=i, | b 1=
4、2, i c 1=3，则(a +2b - c)2=4若a=（0,1）, b=（1,1），且（a +xb）丄a，则x 的值是（）A.0B.1C. -1D.25设单位向量m = (x, y), b = (2,1),若m 丄 b 则 |x+2y|=.6. 已知a=5, b=4, a与b的夹角0=120，则向量b在向量a方向上的投影为.7, 已知向量a, b满足a(a2b) = 3,且a = 1, b = (1, 1),则a与b的夹角为()nn3 n2 na.才bc.d. 38.向量a, b满足a = 1, b=；2, (a+b)丄(2ab)，则向量a与b的夹角为(9.已知 A(1, cos 9),
5、B(sin 0 , 1),若OA + OB = OA OB(O 为坐标原点)，则锐角 0=Fb F- *10.已知向量a = (cosO ,sin0)，向量b = G/3,-1)则 2a b 的最大值，最小值分别是(A. 4迈,0B.4,4迈 C. 16,0D. 4,011.已知 S= (2,1)与 = (1,2)，要使 S+ tb最小，则实数t的值为.uuur12设点A(2,0) , B(4,2)，若点P在直线AB上，且AB = 2 AP，则点P的坐标为(uuurA. (3,1)B. (1,1)C. (3,1)或 (1,1)D.无数多个13.若a = (2,3), b = (4,7)，则a在
6、b上的投影为.14.已知向量a = (cos0,sin0)，向量b =(打,1)，则 憾b的最大值是15.r r r r r r若向量 a = 1, b = 2, a b = 2,则 a + b =例1设平面内的向量A = (1,7) , B = (5,1) , M = (2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PA - PB取最小值时，P的坐标及ZAPB的余弦值.例2已知函数fx)=ab,其中a=(2cos x, 的 2x), b= (cos x, 1), x GR.求函数y=f(x)的单调递减区间；在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, f(A)= 1, a=J7，且向量m
7、= (3, sin B)与n = (2, sin C)共线，求边长b和c的值.例3, ABC的内角A, B, C所对的边分别为a , b, c.向量m = (a,、込b)与n = (cos A, sinB)平行.(1)求 A； (2)若 a=j7 b = 2，求ABC 的面积.例4,在平面直角坐标系xOy中,已知向量 m=n= (sin x,cos x),n若m丄n,求tanx的值；若m与n的夹角为可，求x的值.1. 排列与组合的概念名称定义排列组合从n个不冋兀素中取出m(mWn)个不冋兀素按照一定的顺序排成一列合成一组2.排列数、组合数的公式及性质公式n!(1) Am=n(n1)(n2)(n
8、 m+1)=() !Am n (nl)(n 2)(nm+l)(2) Cm=A：=m!mn!=mi(n_m)i (n, mN*，且 mWn).特别地 Cn=1性质(1) 0 !=1； An=n!.(2) Cm = Cn-m； Cm = Cm + Cm1 nnn+1 nn【例1】 3名女生和5名男生排成一排.(1) 如果女生全排在一起,有多少种不同排法？(2) 如果女生都不相邻,有多少种排法？(3) 如果女生不站两端,有多少种排法？1、四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有种.2、由1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的数共有多少个？3、
9、3名女生和 4名男生，从中选2 名男生 1 名女生分别参加 3 项比赛，每人一项，不同选法 有多少种？4、从6名女生和 4名男生中选出 4 人参加某个座谈会，若这4人中既有男生又有女生，则不 同的选法共有多少种？5、只球队参加比赛，第一轮没两队比赛一场，第二轮由第一轮前两名决赛冠亚军，三，四名 决赛季军，共进行多少场比赛？1.二项式定理(1) 二项式定理：(a + b)n = Cnan + Cn。一lb+Cnanrbr+Cnbn(n W N *)；(2) 通项公式：T”+ i=C：an-rbr,它表示第r+ 1项；(3) 二项式系数：二项展开式中各项的系数Co, , Cn.2, 二项式系数最大
10、值 当n为偶数时，中间的一项C ；取得最大值n当 n 为奇数时,中间的两项 与 取最大值3. 各二项式系数和(1) (a+b)n展开式的各二项式系数和：Cn+Ci + C2+=厶.(2) 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn+Cn+Cn+-=Cn + Cn + Cn + =2n-1.1 .在X(1+x)6的展开式中，含X3项的系数为()A.3oB.2oC.15D.1o(x1 n2.(2016洛阳调研)在胡的展开式中，各项的二项式系数和为256,则展开式中常数项是【例】在(2 3x)io的展开式中，求：(1) 二项式系数的和；(2) 各项系数的和；(3) 奇数项的二项式系数和
11、与偶数项的二项式系数和(4) 奇数项系数和与偶数项系数和；【训练】1,若(1+x+x2)6 = a0+a1x+a2x2Ha12xi2，贝廿 a1 + a2Ha12=a2+a4H a12 =2、n2二项式卜Jx+M的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A.180B.90C.45D.3603.(2016河南八校三联)(；匚+的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为4.已知二项式的展开式中各项的系数和为256.求n； (2)求展开式中的常数项.5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a =(A.4B. 3C.2D.11.平面向量的基本定理如果e
12、1, e2是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数久,入2，使a=Ae土墮.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(X, y1), b=(x2, y2),贝Ua+b=(x_i+x2, y+y2)，ab=(Xix2, yy2)，入a=(加, 入yJ, lal=、/(2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设A(X, yf), B(x2, y2),贝yAB=(X2_X, y2_y), IABI=J (x2_X) 1 2 3 4+(y2y) 2.4.平面向量共线的坐标表示设 a=(X, y1), b=(x2, y2),则 ab X丄y2_x2yi=0
向量的加法运算及其几何意义
