空间向量的数量积运算(改

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1、3.1.3空 间 向 量 的 数 量 积 运 算 平 面 向 量 数 量 积 的 相 关 知 识复 习 ： 平 面 向 量 的 夹 角 ： AO BA B 叫 做 向 量 a与 b的 夹 角 。 已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b， 在 平 面 上 取 一 点 O，作 OA= a,OB= b,则 AOB 平 面 向 量 的 数 量 积 的 定 义 ：平 面 向 量 的 数 量 积 已 知 两 个 非 零 向 量 a, b， 则 |a| |b|cos叫 做 向 量 a, b的 数 量 积 ， 记 作 ba即 cos| baba 并 规 定 00a 你 能 类 比 平 面 向 量 的 数

2、量 积 的 有关 概 念 、 计 算 方 法 和 运 算 律 推 导出 空 间 向 量 的 数 量 积 的 有 关 概 念 、计 算 方 法 和 运 算 律 吗 ？ 概 念1） 两 个 向 量 的 夹 角 的 定 义 abbaba ,0 被 唯 一 确 定 了 ， 并 且 量 的 夹 角 就在 这 个 规 定 下 ， 两 个 向范 围 ： bababa 互 相 垂 直 ， 并 记 作 ：与则 称如 果 ,2, ba baAOBbOBaOA Oba, , .,记 作 ： 的 夹 角 ，与叫 做 向 量则 角作 ，在 空 间 任 取 一 点量如 图 ， 已 知 两 个 非 零 向 O A Baa

3、b b 2） 两 个 向 量 的 数 量 积注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。 babababa babababa aaOAaOA ,cos, ,cos, ,即记 作 ： 的 数 量 积 ，叫 做 向 量， 则已 知 空 间 两 个 向 量 记 作 ：的 长 度 或 模的 长 度 叫 做 向 量则 有 向 线 段设 3)空 间 向 量 的 数 量 积 特 殊 情 况 aaa baba eaaea 2)3 0)2 ,cos)1注 意 ： 2） 是 证 明 两 向 量 垂 直 的 依 据 ； 3） 是 求 向 量 的 长 度 （ 模 ） 的 依 据 ；对 于

4、 非 零 向 量 ， 有 ：,a b 4)空 间 向 量 的 数 量 积 满 足 的 运 算 律 1)( ) ( )2) (3 ( ) (a b a ba b b aa b c a b a cb a b a b b a b 交 换 律 ） 分 配 律 ）4)a a 思 考1.下 列 命 题 成 立 吗 ? 若 ,则 若 ,则 a b a c b c ka b a b k ( ) ( )a b c a b c 135 应 用由 于 空 间 向 量 的 数 量 积 与 向 量 的 模 和 夹 角 有 关 ,所 以 立 体 几 何 中 的 距 离 、 夹 角 的 求 解 都 可 以 借助 向 量 的

5、 数 量 积 运 算 来 解 决 .(1)空 间 中 的 两 条 直 线 (特 别 是 异 面 直 线 )的 夹 角 ,可 以 通 过 求 出 这 两 条 直 线 所 对 应 的 两 个 向 量 的夹 角 而 获 得 .对 于 两 条 直 线 的 判 断 更 为 方 便 .(2)空 间 中 的 距 离 ,即 两 点 所 对 应 的 向 量 的 模 .因此 空 间 中 的 两 点 间 的 距 离 或 线 段 的 长 度 ,可 以通 过 求 向 量 的 模 得 到 . 典 型 例 题例 1 在 平 面 内 的 一 条 直 线 ,如 果 和 这 个 平 面 的 一条 斜 线 的 射 影 垂 直 ,那

6、 么 它 也 和 这 条 斜 线 垂 直 . PO A l a分 析 ： 用 向 量 来 证 明两 直 线 垂 直 ， 只 需 证明 两 直 线 的 方 向 向 量的 数 量 积 为 零 即 可 ！ 证 明 ：如 图 , 已 知 : , , ,PO AO l l OA 射 影 且求 证 ： l PA在 直 线 l上 取 向 量 , 只 要 证a 0a PA ( )0a PA a PO OAa PO a OA ,a PA l 即 PA.为 PO A l a0, 0a PO a OA 逆 命 题 成 立 吗 ? PO A l a 变 式设 A、 B、 C、 D是 空 间 不 共 面 的 四 点 ,

7、且 满 足则 BCD是 ( )A.钝 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形C.锐 角 三 角 形 D.不 确 定0, 0, 0AB AC AB AD AC AD C 分 析 ： 要 证 明 一 条 直 线 与 一 个 平 面垂 直 ,由 直 线 与 平 面 垂 直 的 定 义 可知 ,就 是 要 证 明 这 条 直 线 与 平 面 内的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直 .例 2:(试 用 向 量 方 法 证 明 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 ) 已 知 直 线 m ,n是 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 ,如 果 m, n,求 证 : .l ll l mng m

8、 g ml 取 已 知 平 面 内 的 任 一 条 直 线 g ,拿 相 关 直 线 的 方向 向 量 来 分 析 ,看 条 件 可 以 转 化 为 向 量 的 什 么 条 件 ?要证 的 目 标 可 以 转 化 为 向 量 的 什 么 目 标 ?怎 样 建 立 向 量的 条 件 与 向 量 的 目 标 的 联 系 ? 共 面 向 量 定 理 l mng n g ml,g xm yn ,l g xl m yl n 0, 0 ,l m l m 0, .l g l g 即,l g l l 即 垂 直 于 平 面 内 任 一 直 线 . .解 : 在 内 作 不 与 m ,n重 合 的 任 一 直

9、线 g,在 , , ,l m n g上 取 非 零 向 量 因 m与 n相 交 ,故 向 量 m ,n, , , ,l m n g 不 平 行 ,由 共 面 向 量 定 理 ,存 在 唯 一 实 数 ,使 ( , )x y例 2:已 知 直 线 m ,n是 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 ,如 果 m, n,求 证 : .l ll 2 AB CD,AD BCAC BD 练 习 ： 已 知 三 棱 锥 中 ，求 证 ： 例 3 已 知 线 段 在 平 面 内 ， 线 段 ， 线 段 ， 线 段 ， ， 如果 ， 求 、 之 间 的 距 离 。AC BD AB DD 30DBD ,AB a

10、 AC BD b C DAB 解 ： 由 ， 可 知 .由 知 . AC AC AB30DBD , 120CA BD 2 22 2 22 2 2 22 2| | ( )| | | | | | 22 22 cos120CD CD CD CA AB BDCA AB BD CA ABCA BD AB BDb a b ba b 2 2CD a b b a b C A B D D 课 堂 练 习 A BA1 C1B1 C1.如 图 ,在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ,若 AB= BB1,则 AB1与 C1B所 成 角的 大 小 为 ( )A. B. C. D.2 105 7590602.已

11、知 在 平 行 六 面 体 中 ， , ,求 对 角 线 的 长 。 ABCD ABCD 4AB 3 , 5 , 90 , 60AD AA BAD BAA DAA AC D C B D A B C A B | | 85AC 3 A,B AC BDCD AB A Bl ll 例 ： 如 图 ， 点 到 直 线 的 距 离 和 分 别 为 a和 b，的 长 为 c， 的 长 为 d， 其 中 ， ，求 二 面 角 的 余 弦 小 结 ： 通 过 学 习 , 我 们 可 以 利 用 向 量 数 量 积 解 决 立 体 几 何 中的 以 下 问 题 ： 1、 证 明 两 直 线 垂 直 ; 2、 求 两 点 之 间 的 距 离 或 线 段 长 度 ; 3、 求 两 直 线 所 成 角 .