北大材料力学第一章拉压

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1、 轴 向 拉 压 举 例 截 面 法 与 轴 力 拉 压 杆 横 截 面 上 的 应 力 拉 压 杆 斜 截 面 上 的 应 力 轴 向 拉 压 的 变 形 分 析 拉 伸 和 压 缩 时 材 料 的 力 学 性 能 轴 向 拉 压 的 强 度 计 算 曲 柄 连 杆 机 构 连 杆 P特 点 ：连 杆 为 直 杆外 力 大 小 相 等方 向 相 反 沿 杆轴 线杆 的 变 形 为 轴 向 伸长 或 缩 短等 直 杆 沿 轴 线 受 到 一 对 大 小 相 等 方 向 相 反 的 力 作 用 ， 称 为 轴 向拉 压 。 为 了 分 析 拉 压 杆 的 强 度 和 变 形 ， 首 先 需要 了

2、 解 杆 的 内 力 情 况 材 料 力 学 中 ， 采 用 截 面 法 研 究 杆 的 内 力1、 截 面 法 将 杆 件 假 想 地 沿 某 一 横 截 面 切 开 ， 去 掉 一 部 分 ，保 留 另 一 部 分 ， 同 时 在 该 截 面 上 用 内 力 表 示 去 掉 部分 对 保 留 部 分 的 作 用 ， 建 立 保 留 部 分 的 静 力 平 衡 方程 求 出 内 力 。 P I PP I II PIIN SX=0： +N-P=0 N=PSX=0： -N+P=0 N=P N x x截 面 法 的 步 骤 ： 注 意 ： 外 力 的 正 负 号 取 决 于 坐标 ， 与 坐 标

3、轴 同 向 为 正 ， 反 之为 负 。 截 面 法 求 内 力 举 例 ： 求 杆 AB段 和 BC段 的 内 力A B C2P P P11 222P N1 N2020 1 - PNX PN 21 020 2 -+ PPNX PN 22P P x 2、 轴 力 与 轴 力 图拉 压 杆 的 内 力 称 为 轴 力 ， 用 N 表 示轴 力 沿 横 截 面 的 分 布 图 称 为 轴 力图 N |N|max=100kN+ -150kN 100kN50kN NII= -100kN100kNIIIINIIII IIII50kN 100kN NI=50kNI NII50kN 2-3 应 力 的 概

4、念 拉 压 杆 横 截 面 上 的 应 力1、 应 力 的 概 念为 了 描 写 内 力 的 分 布 规 律 ， 我 们 将 单 位 面 积 的 内 力 称 为 应 力 。在 某 个 截 面 上 ，与 该 截 面 垂 直 的 应 力 称 为 正 应 力 。与 该 截 面 平 行 的 应 力 称 为 剪 应 力 。 记 为 ： 记 为 ：应 力 的 单 位 ： Pa 211 m/NPa 工 程 上 经 常 采 用 兆 帕 （ MPa） 作 单 位 Pamm/NMPa 62 1011 2、 拉 压 杆 横 截 面 上 的 应 力杆 件 在 外 力 作 用 下 不 但 产 生 内 力 ， 还 使 杆

5、 件 发 生 变 形所 以 讨 论 横 截 面 的 应 力 时 需 要 知 道 变 形 的 规 律我 们 可 以 做 一 个 实 验P PP P说 明 杆 内 纵 向 纤 维 的 伸 长 量 是 相 同 的 ， 或 者说 横 截 面 上 每 一 点 的 伸 长 量 是 相 同 的 P N如 果 杆 的 横 截 面 积 为 ： A AN根 据 前 面 的 实 验 ， 我 么 可 以 得 出 结 论 ， 即 横 截 面上 每 一 点 存 在 相 同 的 拉 力 5kN |N|max=5kNN 2kN1kN1kN + +-f20 f10 f30 2kN4kN 6kN 3kN11 3322做 轴 力

6、图 并 求 各 个 截 面 应 力 MPa8.2)1030( 4102AN MPa7.12)1010( 4101AN MPa9.15)1020( 4105AN 233333 233222 233111 - - -f20 f10 f30 2kN4kN 6kN 3kN 例 1-1 图 示 矩 形 截 面 （ b h） 杆 ， 已 知 b = 2cm ， h=4cm ， P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN， 求 AB段 和 BC 段 的 应 力A B CP1 P2 P3P1 N1 x0PN 11 + KN20PN 11 -MPa25mm/N25mm4020 N100

7、020AN 22111 - 压 应 力 P3N20PN 32 - KN60PN 32 - 压 应 力MPaAN 75222 - 例 1-2 图 示 为 一 悬 臂 吊 车 ， BC为实 心 圆 管 ， 横 截 面 积 A1 = 100mm2， AB为 矩 形 截 面 ， 横 截 面 积A2 = 200mm2， 假 设 起 吊 物 重 为Q = 10KN， 求 各 杆 的 应 力 。 30A BC首 先 计 算 各 杆 的 内 力 ：需 要 分 析 B点 的 受 力 QF1 F2 xy 0X 0F30cosF 21 +- 0Y 0Q60cosF1 -KN20Q2F1 KN32.17F321F 1

8、2 30A BC QF1 F2 xyKN20Q2F1 KN32.17F321F 12 BC杆 的 受 力 为 拉 力 ， 大 小 等 于 F1AB杆 的 受 力 为 压 力 ， 大小 等 于 F2由 作 用 力 和 反 作 用 力 可 知 ：最 后 可 以 计 算 的 应 力 ：BC杆 ： MPa200mm100KN20AFAN 211111 AB杆 ： MPa6.86mm200 KN32.17AFAN 222222 - 2-4 拉 压 杆 斜 截 面 上 的 应 力 xPP m m 为 了 考 察 斜 截 面 上 的 应 力 ， 我 们 仍 然 利 用 截 面 法 ， 即 假 想地 用 截

9、面 m-m 将 杆 分 成 两 部 分 。 并 将 右 半 部 分 去 掉 。 该 截 面 的 外 法 线 用 n 表 示 ， n法 线 与 轴 线 的 夹 角 为 ： 根 据 变 形 规 律 ， 杆 内 各 纵 向 纤 维 变 形 相 同 ， 因 此 ， 斜 截面 上 各 点 受 力 也 相 同 。 p设 杆 的 横 截 面 面 积 为 A，A 则 斜 截 面 面 积 为 ： cosAA 由 杆 左 段 的 平 衡 方 程 0X 0PAp - cosAcosPAPp 这 是 斜 截 面 上 与轴 线 平 行 的 应 力 npP下 面 我 们 将 该 斜 截 面 上 的 应 力 分 解 为 正

10、 应 力 和 剪 应 力斜 截 面 的 外 法 线 仍 然 为 n， 斜 截 面 的 切 线 设 为 t 。 t根 据 定 义 ， 沿 法 线 方 向 的 应 力 为 正 应 力沿 切 线 方 向 的 应 力 为 剪 应 力 利 用 投 影 关 系 ， 2coscosp 2sin2cossinsinp 为 横 截 面 正 应 力 2-5 轴 向 拉 压 的 变 形 分 析细 长 杆 受 拉 会 变 长 变 细 ，受 压 会 变 短 变 粗 dL P P d-DdL+DL长 短 的 变 化 ， 沿 轴 线 方 向 ， 称 为纵 向 变 形粗 细 的 变 化 ， 与 轴 线 垂 直 ， 称 为横

11、向 变 形 P PP P1、 纵 向 变 形 lllll -D实 验 表 明APll D变 形 和 拉 力 成 正 比引 入 比 例 系 数 E， 又 拉 压 杆 的 轴 力 等 于 拉 力 EANll D EANll DE 体 现 了 材 料 的 性 质 ， 称 为 材 料 的 拉 伸 弹 性 模 量 ，单 位 与 应 力 相 同 称 为 胡 克 （ 虎 克 ） 定 律显 然 ， 纵 向 变 形 与 E 成 反 比 ， 也 与 横 截 面 积 A 成 反 比EA 称 为 抗 拉 刚 度为 了 说 明 变 形 的 程 度 ， 令 lll ll D -称 为 纵 向 线 应 变 ， 显 然 ，

12、伸 长 为 正 号 ， 缩短 为 负 号 EANll D lll ll D - EEAN 1 E也 称 为 胡 克 定 律称 为 胡 克 （ 虎 克 ） 定 律 tgE 2、 横 向 变 形 P PP Pll hhhhh -D同 理 ， 令 hhh hh D - 为 横 向 线 应 变实 验 表 明 ， 对 于 同 一 种 材 料 ， 存 在 如 下 关 系 ： 称 为 泊 松 比 ， 是 一 个 材 料 常 数 - 负 号 表 示 纵 向 与 横 向变 形 的 方 向 相 反 EEAN 1 E -E 最 重 要 的 两 个 材 料 弹 性 常 数 ， 可 查 表 2-6 拉 伸 压 缩 时

13、材 料 的 力 学 性 能由 前 面 的 讨 论 可 知 ， 杆 件 的 应 力 与 外 力 和 构 件 的 几何 形 状 有 关 ， 而 杆 件 的 变 形 却 与 材 料 的 性 质 有 关 。因 此 ， 有 必 要 研 究 材 料 的 力 学 性 能 。 这 种 研 究 可 以通 过 实 验 进 行 。1、 低 碳 钢 和 铸 铁 拉 伸 压 缩 时 的 力 学 性 能在 工 程 上 使 用 最 广 泛 ， 力 学 性 能 最 典 型 # 实 验 用 试 件 标 点L0标 距 d0 （ 1） 材 料 类 型 ： 低 碳 钢 ： 灰 铸 铁 ：2 标 准 试 件 ：塑 性 材 料 的 典

14、型 代 表 ；脆 性 材 料 的 典 型 代 表 ；（ 2） 标 准 试 件 ：标 距 ：用 于 测 试 的 等 截 面 部 分 长 度 ；尺 寸 符 合 国 标 的 试 件 ；圆 截 面 试 件 标 距 ： L 0=10d0或 5d0 # 低 碳 钢 拉 伸 实 验 曲 线OP D LPePpPs Pb线 弹 性 阶 段屈 服 阶 段强 化 阶 段 颈 缩 阶 段 屈 服 极 限 ： 0APss 0APbb 强 度 极 限 ：冷 作 硬 化%1000 01 - LLL延 伸 率 ： %1000 10 - A AA断 面收 缩 率 ：弹 性 极 限 和 比 例 极 限PP, Pe E=tg O

15、1 O2f1(f) 低 碳 钢 拉 伸应 力 应 变 曲 线D(s下 )(e) BC(s上 )A(p) E(b) gEy= tg (MPa)200400 0.1 0.2O 低 碳 钢 压 缩应 力 应 变 曲 线 O bL 灰 铸 铁 的拉 伸 曲 线 by 灰 铸 铁 的压 缩 曲 线 = 45o55o剪 应 力 引 起 断 裂 123 O A0.2%S0.2410 20 30(%)0100200300400500600700800900 (MPa) 其 它 塑 性 材 料 拉 伸 应 力 应 变 曲 线 塑 性 材 料 和 脆 性 材 料 力 学 性 能 比 较塑 性 材 料 脆 性 材

16、料断 裂 前 有 很 大 塑 性 变 形 断 裂 前 变 形 很 小抗 压 能 力 与 抗 拉 能 力 相 近 抗 压 能 力 远 大 于 抗 拉 能 力延 伸 率 5% 延 伸 率 5%可 承 受 冲 击 载 荷 ， 适 合 于锻 压 和 冷 加 工 适 合 于 做 基 础 构 件 或 外 壳材 料 的 塑 性 和 脆 性 会 因 为 制 造 方 法 工 艺 条 件的 改 变 而 改 变 2-7 轴 向 拉 伸 压 缩 时 的 强 度 计 算1、 材 料 的 极 限 应 力塑 性 材 料 为 屈 服 极 限 脆 性 材 料 为 强 度 极 限 bs 0 材 料 的 极 限 应 力 是 指 保

17、 证 正 常 工 作 条 件 下 ， 该 材 料 所 能承 受 的 最 大 应 力 值 。 所 谓 正 常 工 作 ， 一 是 不 变 形 ， 二 是 不 破 坏 。 屈 服 极 限 s 强 度 极 限 bA3 钢 ： 235 MPa 372-392 MPa 35 钢 ： 314 52945 钢 ： 353 598 16Mn： 343 510 2、 工 作 应 力AN ？ 工 程 实 际 中 是 否 允 许 bs 0 不 允 许 ！ 前 面 讨 论 杆 件 轴 向 拉 压 时 截 面 的 应 力 是 构 件的 实 际 应 力 工 作 应 力 。 工 作 应 力 仅 取 决 于 外 力 和 构

18、件 的 几 何 尺 寸 。只 要 外 力 和 构 件 几 何 尺 寸 相 同 ， 不 同 材 料 做 成的 构 件 的 工 作 应 力 是 相 同 的 。 对 于 同 样 的 工 作 应 力 ， 为 什 麽 有 的 构 件 破坏 、 有 的 不 破 坏 ？ 显 然 这 与 材 料 的 性 质 有 关 。 原 因 ：# 实 际 与 理 想 不 相 符生 产 过 程 、 工 艺 不 可 能 完 全 符 合 要 求对 外 部 条 件 估 计 不 足数 学 模 型 经 过 简 化某 些 不 可 预 测 的 因 素# 构 件 必 须 适 应 工 作 条 件 的 变 化 ， 要 有 强 度 储 备# 考

19、虑 安 全 因 素 许 用 应 力 n0 bbssnn 脆 性 材 料 ：塑 性 材 料 ：一 般 来 讲 sb nn 因 为 断 裂 破 坏 比 屈 服破 坏 更 危 险3、 许 用 应 力 4、 强 度 条 件 AN工 作 应 力 轴 力横 截 面 积 材 料 的 许 用 应 力 max 5、 强 度 条 件 的 工 程 应 用 minmaxmax AN# 已 知 N 和 A， 可 以 校 核 强 度 ， 即 考 察 是 否 max# 已 知 N 和 ， 可 以 设 计 构 件 的 截 面 A（ 几 何 形 状 ） maxmin NA # 已 知 A和 ， 可 以 确 定 许 可 载 荷

20、（ NP） minmax AN 三 个 方 面 的 应 用 举 例例 1 上 料 小 车 ， 每 根 钢 丝 绳 的 拉 力 Q=105kN， 拉 杆的 面 积 A=60100mm2 材 料 为 Q235钢 ， 安 全 系 数n=4。 试 校 核 拉 杆 的 强 度 。由 于 钢 丝 绳 的 作 用 ，拉 杆 轴 向 受 拉 ， 每 根拉 杆 的 轴 力 NQN 310105横 截 面 积 23106 mmA N N 根 据 强 度 条 件 ， 有 MPaMPa.AN 60517106 10105 3 3查 表 ， Q235号 钢 的 屈 服 极 限 为 MPas 240许 用 应 力 MPa

21、nss 60拉 杆 符 合 强 度 要 求 这 是 一 个 设 计 拉 杆 截 面 的 问 题 ， 根 据 maxmin NA 首 先 需 要 计 算 拉 杆 的 轴 力 对 结 构 作 受 力 分 析 ， 利 用 静 力 平 衡 条 件 求 出 最 大 轴 力G + QNBCNBA0Y 0+- QGsinNBC 最 大 轴 力 出 现 在 点 葫 芦位 于 B 3520451 51 22 . .llsin BCAC + kN.NBC 856 23 40614010856 mm.NA maxmin 求 圆 钢 杆 BC 的 直 径 22 40641 mmAd min mm.d 822可 以 选

22、 取 mmd 25 例 3 一 起 重 用 吊 环 ， 侧 臂 AC和 AB有 两 个 横 截 面 为 矩 形 的 锻钢 杆 构 成 。 h=120mm, b=36mm,许 用 应 力 为 80MPa。 求 吊 环的 最 大 起 重 量 。问 题 是 确 定 载 荷 minmax AN 先 求 出 侧 臂 所 能 承受 的 最 大 内 力 ， 再通 过 静 力 平 衡 条 件确 定 吊 环 的 载 荷 N N NAN minmax691200 80361202 静 力 平 衡 条 件0Y 02 - cosNP 920420960960 22 .cos +N .cosNP 1271808 920

23、69120022 kNP 1271 2-8 应 力 集 中 的 概 念构 件 内 局 部 区 域 应 力 突 然 增 大的 现 象 称 为 应 力 集 中由 于 结 构 的 需 要 ， 构 件 的 截 面 尺寸 往 往 会 突 然 变 化 ， 例 如 开 孔 、沟 槽 、 肩 台 和 螺 纹 等 ， 局 部 的 应力 不 再 均 匀 分 布 而 急 剧 增 大 应 力 集 中 系 数 mmaxk 平 均 应 力 课 堂 练 习 1、 拉 伸 试 验 机 原 理 如 图 所 示 ， 假 设 试 验 机 的 CD杆 与 试 件 AB的 材 料 同 为 低 碳 钢 ， 且 ，试 验 机 最 大 拉

24、力 为 100 kN，（ 1） 利 用 该 试 验 机 做 拉 断 试 验 时 ，试 件 直 径 最 大 可 达 多 少 ？（ 2） 若 试 验 机 的 安 全 系 数 为 n = 2，则 CD杆 的 横 截 面 积 为 多 大 ？（ 3） 若 试 件 直 径 为 d =10 mm， 现测 量 其 弹 性 模 量 E， 则 所 加 载 荷 最 大值 为 多 少 ？ MPa,MPa,MPa bsP 400240200 ABCD ABCD1、 拉 断 ： 采 用 强 度 极 限 b440010100 23 mbm dNA mm.dm 8172、 CD杆 不 变 形 ： 采 用 屈 服 极 限 12

25、02240 nAN sminmax 23 83312010100 mmA 3、 在 线 弹 性 范 围 ： 采 用 比 例 极 限 ABCDPAN N.AN P 32 107152001041 载 荷 不 能 超 过 15.7 kN BC D FPx l2、 设 横 梁 CF为 刚 性 ， BC为 铜 杆 ， DF为 钢 杆 ， 两 杆 长 度 分 别为 l1、 l2 ， 横 截 面 积 为 A1、 A2 ， 弹 性 模 量 为 E1、 E2 ， 如 果要 求 CF始 终 保 持 水 平 ， 试 确 定 x。保 持 水 平 的 含 义 是 两 根拉 杆 的 变 形 量 、 即 伸 长量 相 同

26、 222 2211 111 lAE lNAE lNl DD BC DPx lP F 1N 2Nx l 对 横 梁 做 受 力 分 析两 根 拉 杆 均 为 二 力 杆 O0 OM 012 - xNxlN 21 NxxlN - 22 2211 11 AE lNAE lN 112221 221 AElAEl AEllx + 第 一 章习 题 讲 评 1、 轴 力 图 注 意 与 原 图 上 下 截面 对 齐 5kN |N|max=5kNN 2kN1kN1kN + +-f20 f10 f30 2kN4kN 6kN 3kN11 3322做 轴 力 图 并 求 各 个 截 面 应 力 2、 最 大 工

27、作 应 力 需 要 通 过计 算 判 断习 题 1-2 DD ,P1-15先 要 对 横 梁 做 受 力 分 析 A BC D BCFAxF AyF Q450 AM BCFBCA BCA21查 型 钢 表 P365 1-19 P34 5已 知 各 杆 A 和 各 杆 所 许 可 的 载 荷 （ 轴 力 ）利 用 各 杆 内 力 与 系 统 载 荷 P的 关 系 （ 对 B做 静 力 学 分 析 ） B系 统 载 荷 P 1、 已 知 实 心 圆 截 面 阶 梯 轴 受 力 P1 = 20KN， P2 = 50KN， AB段 直 径 d1 = 20mm， BC段 直 径 d2 = 30mm， 求 两 段 杆 横 截 面 的正 应 力 。A B CP1 P22、 已 知 某 活 塞 杆 直 径 为 D = 60mm， 退 刀 槽 直 径 为 d = 40mm，拉 力 P 等 于 300KN， 求 杆 内 横 截 面 最 大 正 应 力 。 D退 刀 槽P P