信号与系统教案第4章(IV)

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1、信 号 与 系 统 第第第 4-1页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 第 四 章 连 续 系 统 的 频 域 分 析4.1 信 号 分 解 为 正 交 函 数4.2 傅 里 叶 级 数4.3 周 期 信 号 的 频 谱4.4 非 周 期 信 号 的 频 谱 傅 里 叶 变 换4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质4.6 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析4.8 取 样 定 理 点击目录 ，进入相关章节 信 号 与 系 统 第第第 4-2页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 1822年 ， 法 国 数 学 家 傅 里 叶

2、（ 1768-1830） 在 研 究 热 传导 理 论 时 发 表 了 “ 热 的 分 析 理 论 ” ， 提 出 并 证 明 了 将 周期 函 数 展 开 为 正 弦 级 数 的 原 理 ， 奠 定 傅 里 叶 级 数 的 理 论基 础 泊 松 ， 高 斯 等 人 把 这 一 成 果 应 用 到 电 学 中 去 ， 得 到 广 泛应 用 。 进 入 20世 纪 ， 谐 振 电 路 、 滤 波 器 、 正 弦 振 荡 器 等 一 系 列问 题 的 解 法 为 正 弦 函 数 与 傅 里 叶 分 析 的 进 一 步 应 用 开 辟了 广 阔 前 景 。 在 通 信 和 控 制 系 统 的 理 论

3、 研 究 和 工 程 实 际 应 用 中 ， 傅 里叶 变 换 法 具 有 很 多 优 点 “ FFT”快 速 傅 里 叶 变 换 为 傅 里 叶 分 析 法 赋 予 新 的 生 命力傅 里 叶 变 换 发 展 历 史 信 号 与 系 统 第第第 4-3页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 第 四 章 连 续 系 统 的 频 域 分 析4.1 信 号 分 解 为 正 交 函 数一、矢量正交与正交分解 时 域 分 析 ， 以 冲 激 函 数 为 基 本 信 号 ， 任 意 输 入 信 号可 分 解 为 一 系 列 冲 激 函 数 ； 而 yf(t) = h(t)*f(t)。 本 章

4、 将 以 正 弦 信 号 和 虚 指 数 信 号 ejt为 基 本 信 号 ， 任意 输 入 信 号 可 分 解 为 一 系 列 不 同 频 率 的 正 弦 信 号 或 虚 指数 信 号 之 和 。 这 里 用 于 系 统 分 析 的 独 立 变 量 是 频 率 。 故 称 为 频 域 分 析 。 矢 量 V x = ( vx1, vx2, vx3)与 Vy = ( vy1, vy2, vy3)正 交 的 定 义 ：其 内 积 为 0。 即 031 i yixiTyx vvVV 信 号 与 系 统 第第第 4-4页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.1 信 号 分 解 为 正

5、 交 函 数由 两 两 正 交 的 矢 量 组 成 的 矢 量 集 合 -称 为 正 交 矢 量 集如 三 维 空 间 中 ， 以 矢 量vx=（ 2， 0， 0） 、 vy=（ 0， 2， 0） 、 vz=（ 0， 0， 2)所 组 成 的 集 合 就 是 一 个 正 交 矢 量 集 ， 且 完 备 。 例 如 对 于 一 个 三 维 空 间 的 矢 量 A =(2， 5， 8)， 可 以用 一 个 三 维 正 交 矢 量 集 vx， vy， vz分 量 的 线 性 组 合表 示 。 即 A= v x+ 2.5 vy+ 4 vz 矢 量 空 间 正 交 分 解 的 概 念 可 推 广 到 信

6、 号 空 间 ，在 信 号 空 间 找 到 若 干 个 相 互 正 交 的 信 号 作 为 基 本 信号 ， 使 得 信 号 空 间 中 任 意 信 号 均 可 表 示 成 它 们 的 线性 组 合 。 信 号 与 系 统 第第第 4-5页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.1 信 号 分 解 为 正 交 函 数二、信号正交与正交函数集1. 定 义 ： 定 义 在 (t1， t2)区 间 的 两 个 函 数 1(t)和 2(t),若 满 足 21 0d)()( *21tt ttt (两 函 数 的 内 积 为 0)则 称 1(t)和 2(t) 在 区 间 (t1， t2)内

7、正 交 。 2. 正 交 函 数 集 ： 若 n个 函 数 1(t)， 2(t)， ， n(t)构 成 一 个 函 数 集 ，当 这 些 函 数 在 区 间 (t1， t2)内 满 足 21 ,0,0d)()( *tt iji jiK jittt 则 称 此 函 数 集 为 在 区 间 (t1， t2)的 正 交 函 数 集 。 信 号 与 系 统 第第第 4-6页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.1 信 号 分 解 为 正 交 函 数3. 完 备 正 交 函 数 集 ： 如 果 在 正 交 函 数 集 1(t)， 2(t)， ， n(t)之 外 ，不 存 在 函 数 (t

8、)(0） 满 足 则 称 此 函 数 集 为 完 备 正 交 函 数 集 。例 如 ：三 角 函 数 集 1， cos(nt)， sin(nt)， n=1,2, 虚 指 数 函数 集 e jnt， n=0， 1， 2， 是 两 组 典 型 的 在 区 间 (t0，t0+T)(T=2/)上 的 完 备 正 交 函 数 集 。 21 0d)()(*tt i ttt ( i =1， 2， ， n) 信 号 与 系 统 第第第 4-7页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.1 信 号 分 解 为 正 交 函 数三、信号的正交分解设 有 n个 函 数 1(t)， 2(t)， ， n(t)

9、在 区 间 (t1， t2)构 成 一 个 正 交 函 数 空 间 。 将 任 一 函 数 f(t)用 这 n个 正 交函 数 的 线 性 组 合 来 近 似 ， 可 表 示 为 f(t)C11+ C22+ Cnn 如 何 选 择 各 系 数 Cj使 f(t)与 近 似 函 数 之 间 误 差 在区 间 (t1， t2)内 为 最 小 。通 常 使 误 差 的 方 均 值 (称 为 均 方 误 差 )最 小 。 均 方 误 差 为 ttCtftt tt nj jj d)()(1 21 21122 信 号 与 系 统 第第第 4-8页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.1 信

10、号 分 解 为 正 交 函 数为 使 上 式 最 小 0d)()(21 1 22 tt nj jjii ttCtfCC 展 开 上 式 中 的 被 积 函 数 ， 并 求 导 。 上 式 中 只 有 两 项 不为 0， 写 为 21 0d)()()(2 22tt iiiii ttCttfCC 即 2121 0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf 所 以 系 数 212121 d)()(1d)( d)()( 2 tt iitt itt ii tttfKtt tttfC 信 号 与 系 统 第第第 4-9页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.1 信 号 分

11、解 为 正 交 函 数代 入 ， 得 最 小 均 方 误 差 0d)(1 1 22122 21 nj jjtt KCttftt在 用 正 交 函 数 去 近 似 f(t)时 ， 所 取 得 项 数 越 多 ， 即 n越大 ， 则 均 方 误 差 越 小 。 当 n时 （ 为 完 备 正 交 函 数集 ） ， 均 方 误 差 为 零 。 此 时 有 1 2221 d)( j jjtt KCttf上 式 称 为 (Parseval)巴 塞 瓦 尔 公 式 ， 表 明 ： 在 区 间 (t1,t2) f(t)所 含 能 量 恒 等 于 f(t)在 完 备 正 交 函 数 集 中 分 解 的 各正 交

12、 分 量 能 量 的 总 和 。 1 )()( j jj tCtf 函 数 f(t)可 分 解 为 无 穷 多 项 正 交 函 数 之 和 信 号 与 系 统 第第第 4-10页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.2 傅 里 叶 级 数4.2 傅 里 叶 级 数一、傅里叶级数的三角形式设 周 期 信 号 f(t)， 其 周 期 为 T， 角 频 率 =2/T， 当 满 足狄 里 赫 利 (Dirichlet)条 件 时 ， 它 可 分 解 为 如 下 三 角 级数 称 为 f(t)的 傅 里 叶 级 数 110 )sin()cos(2)( n nn n tnbtnaatf系

13、数 an , bn称 为 傅 里 叶 系 数 22 d)cos()(2 TTn ttntfTa 22 d)sin()(2 TTn ttntfTb可 见 ， an 是 n的 偶 函 数 ， bn是 n的 奇 函 数 。 信 号 与 系 统 第第第 4-11页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.2 傅 里 叶 级 数 10 )cos(2)( n nn tnAAtf 式 中 ， A0 = a0 22 nnn baA nnn abarctan上 式 表 明 ， 周 期 信 号 可 分 解 为 直 流 和 许 多 余 弦 分 量 。 其 中 ， A 0/2为 直 流 分 量 ； A1c

14、os(t+1)称 为 基 波 或 一 次 谐 波 ， 它 的 角 频 率 与 原 周期 信 号 相 同 ； A2cos(2t+2)称 为 二 次 谐 波 ， 它 的 频 率 是 基 波 的 2倍 ；一 般 而 言 ， Ancos(nt+n)称 为 n次 谐 波 。 可 见 An是 n的 偶 函 数 ， n是 n的 奇 函 数 。an = Ancosn， bn = Ansin n， n=1,2,将 上 式 同 频 率 项 合 并 ， 可 写 为 信 号 与 系 统 第第第 4-12页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.2 傅 里 叶 级 数二、波形的对称性与谐波特性1 .f(t

15、)为 偶 函 数 对 称 纵 坐 标 2 2 d)cos()(2 TTn ttntfTa 22 d)sin()(2 TTn ttntfTbbn =0， 展 开 为 余 弦 级 数 。2 .f(t)为 奇 函 数 对 称 于 原 点an =0， 展 开 为 正 弦 级 数 。实 际 上 ， 任 意 函 数 f(t)都 可 分 解 为 奇 函 数 和 偶 函 数 两 部分 ， 即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由 于 f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所 以 信 号 与 系 统 第第第 4-13页页页 电 子 教 案 南 昌

16、大 学 测 控 系 4.2 傅 里 叶 级 数2 )()()( tftftfod 2 )()()( tftftf ve 3 .f(t)为 奇 谐 函 数 f(t) = f(t T/2) f(t) t0 TT/2此 时 其 傅 里 叶 级 数 中 只 含 奇 次谐 波 分 量 ， 而 不 含 偶 次 谐 波 分量 即 a0=a2=b2=b4=0 4 .f(t)为 偶 谐 函 数 f(t) =f(t T/2)此 时 其 傅 里 叶 级 数 中 只 含 偶 次谐 波 分 量 ， 而 不 含 偶 次 谐 波 分量 即 a1=a3=b1=b3=0 信 号 与 系 统 第第第 4-14页页页 电 子 教

17、案 南 昌 大 学 测 控 系 三、傅里叶级数的指数形式三 角 形 式 的 傅 里 叶 级 数 ， 含 义 比 较 明 确 ， 但 运 算 常 感不 便 ， 因 而 经 常 采 用 指 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 。虚 指 数 函 数 集 ejnt,n=0, 1, 2, n tjnnFtf e)(系 数 Fn称 为 复 傅 里 叶 系 数 22 de)(1 TT tjnn ttfTF利 用 cosx=(ejx + ejx)/2 可 以 从 三 角 形 式 推 出 ： 信 号 与 系 统 第第第 4-15页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.2 傅 里 叶 级 数 1

18、)()(0 ee22 n tnjtnjn nnAA 110 ee21ee212 n tjnjnn tjnjn nn AAA 10 )cos(2)( n nn tnAAtf 上 式 中 第 三 项 的 n用 n代 换 ， A n=An， n= n，则 上 式 写 为 110 ee21ee212 n tjnjnn tjnjn nn AAA 令 A0=A0ej0ej0t ， 0=0 n tjnjn nAtf ee21)( 所 以 信 号 与 系 统 第第第 4-16页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.2 傅 里 叶 级 数令 复 数 nnjn FFA nn ee21称 其 为 复

19、 傅 里 叶 系 数 ， 简 称 傅 里 叶 系 数 。 )(21)sincos(2121 nnnnnnjnn jbajAAeAF n 222222 de)(1d)sin()(1d)cos()(1 TT tjnTTTT ttfTttntfTjttntfT n tjnnFtf e)( n = 0, 1, 2， 22 de)(1 TT tjnn ttfTF表 明 ： 任 意 周 期 信 号 f(t)可 分 解 为 许 多 不 同 频 率 的 虚 指数 信 号 之 和 。 F0 = A0/2为 直 流 分 量 。 信 号 与 系 统 第第第 4-17页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系

20、 4.2 傅 里 叶 级 数四、周期信号的功率Parseval等式 n nn nT FAAdttfT 21 2200 2 |21)2()(1直 流 和 n次 谐 波 分 量 在 1电 阻 上 消 耗 的 平 均 功 率 之 和 。 n0时 ， |Fn| = An/2。周 期 信 号 一 般 是 功 率 信 号 ， 其 平 均 功 率 为 信 号 与 系 统 第第第 4-18页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.3 周 期 信 号 的 频 谱4.3 周 期 信 号 的 频 谱 及 特 点一、信号频谱的概念 从 广 义 上 说 ， 信 号 的 某 种 特 征 量 随 信 号 频

21、率 变化 的 关 系 ， 称 为 信 号 的 频 谱 ， 所 画 出 的 图 形 称 为 信号 的 频 谱 图 。 周 期 信 号 的 频 谱 是 指 周 期 信 号 中 各 次 谐 波 幅 值 、相 位 随 频 率 的 变 化 关 系 ， 即 将 A n和 n的 关 系 分 别 画 在 以 为 横 轴 的 平面 上 得 到 的 两 个 图 ， 分 别 称 为 振 幅 频 谱 图 和 相 位 频谱 图 。 因 为 n0， 所 以 称 这 种 频 谱 为 单 边 谱 。 也 可 画 |Fn|和 n的 关 系 ， 称 为 双 边 谱 。 若 Fn为 实 数 ， 也 可 直 接 画 Fn 。 信 号

22、 与 系 统 第第第 4-19页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.3 周 期 信 号 的 频 谱例 ： 周 期 信 号 f(t) =试 求 该 周 期 信 号 的 基 波 周 期 T， 基 波 角 频 率 ， 画出 它 的 单 边 频 谱 图 ， 并 求 f(t) 的 平 均 功 率 。 63sin41324cos211 tt解 首 先 应 用 三 角 公 式 改 写 f(t)的 表 达 式 ， 即 263cos41324cos211)( tttf显 然 1是 该 信 号 的 直 流 分 量 。 34cos21 t 的 周 期 T1 = 8 323cos41 的 周 期 T

23、2 = 6所 以 f(t)的 周 期 T = 24， 基 波 角 频 率 =2/T = /12根 据 帕 斯 瓦 尔 等 式 ， 其 功 率 为 P= 3237412121211 22 信 号 与 系 统 第第第 4-20页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.3 周 期 信 号 的 频 谱 34cos21 t 是 f(t)的 /4/12 =3次 谐 波 分 量 ； 323cos41 是 f(t)的 /3/12 =4次 谐 波 分 量 ；画 出 f(t)的 单 边 振 幅 频 谱 图 、 相 位 频 谱 图 如 图 (a) (b)o An12 6 4 320A 21 41 o

24、3 3 4612 32n1 信 号 与 系 统 第第第 4-21页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.3 周 期 信 号 的 频 谱二、周期信号频谱的特点举 例 ： 有 一 幅 度 为 1， 脉 冲 宽度 为 的 周 期 矩 形 脉 冲 ， 其 周期 为 T， 如 图 所 示 。 求 频 谱 。 f(t) t0 T-T 12 2tTttfTF tjnTT tjnn de1de)(1 2222 22sin nnT令 Sa(x)=sin(x)/x (取 样 函 数 ） nnTjnT tjn )2sin(2e1 22 信 号 与 系 统 第第第 4-22页页页 电 子 教 案 南

25、昌 大 学 测 控 系 4.3 周 期 信 号 的 频 谱)()2( TnSaTnSaTFn , n = 0 , 1， 2， Fn为 实 数 ， 可 直 接 画 成 一 个 频 谱 图 。 设 T = 4画 图 。零 点 为 mn 2 所 以 mn 2 ， m为 整 数 。 Fn 0 22 44 1特 点 ： (1)周 期 信 号 的 频 谱 具 有 谐 波 (离 散 )性 。 谱 线 位 置是 基 频 的 整 数 倍 ； (2)一 般 具 有 收 敛 性 。 总 趋 势 减 小 。 信 号 与 系 统 第第第 4-23页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.3 周 期 信 号

26、 的 频 谱谱 线 的 结 构 与 波 形 参 数 的 关 系 ：(a) T一 定 ， 变 小 ， 此 时 （ 谱 线 间 隔 ） 不 变 。 两 零 点之 间 的 谱 线 数 目 ： 1/=（ 2/） /(2/T)=T/ 增 多 。(b) 一 定 ， T增 大 ， 间 隔 减 小 ， 频 谱 变 密 。 幅 度 减 小 。 如 果 周 期 T无 限 增 长 （ 这 时 就 成 为 非 周 期 信 号 ） ，那 么 ， 谱 线 间 隔 将 趋 近 于 零 ， 周 期 信 号 的 离 散 频 谱 就 过渡 到 非 周 期 信 号 的 连 续 频 谱 。 各 频 率 分 量 的 幅 度 也 趋 近

27、于 无 穷 小 。 信 号 与 系 统 第第第 4-24页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.4 傅 里 叶 变 换4.4 非 周 期 信 号 的 频 谱 傅 里 叶 变 换一、傅里叶变换 非 周 期 信 号 f(t)可 看 成 是 周 期 T时 的 周 期 信 号 。 前 已 指 出 当 周 期 T趋 近 于 无 穷 大 时 ， 谱 线 间 隔 趋近 于 无 穷 小 ， 从 而 信 号 的 频 谱 变 为 连 续 频 谱 。 各 频 率分 量 的 幅 度 也 趋 近 于 无 穷 小 ， 不 过 ， 这 些 无 穷 小 量 之间 仍 有 差 别 。 为 了 描 述 非 周 期

28、 信 号 的 频 谱 特 性 ， 引 入 频 谱 密 度 的概 念 。 令 TFTFjF nTnT lim/1lim)( (单 位 频 率 上 的 频 谱 ） 称 F(j)为 频 谱 密 度 函 数 。 信 号 与 系 统 第第第 4-25页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.4 傅 里 叶 变 换 22 de)(TT tjnn ttfTF n tjnn TTFtf 1e)(考 虑 到 ： T， 无 穷 小 ， 记 为 d； n （ 由 离 散 量 变 为 连 续 量 ） ， 而 2d21 T 同 时 ， 于 是 ， ttfTFjF tjnT de)(lim)( de)(21

29、)( tjjFtf 傅 里 叶 变 换 式 “ -”傅 里 叶 反 变 换 式F(j)称 为 f(t)的 傅 里 叶 变 换 或 频 谱 密 度 函 数 ， 简 称 频 谱 。f(t)称 为 F(j)的 傅 里 叶 反 变 换 或 原 函 数 。 根 据 傅 里 叶 级 数 信 号 与 系 统 第第第 4-26页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.4 傅 里 叶 变 换也 可 简 记 为 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或 f(t) F(j)F(j)一 般 是 复 函 数 ， 写 为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX()

30、说 明 (1)前 面 推 导 并 未 遵 循 严 格 的 数 学 步 骤 。 可 证 明 ，函 数 f(t)的 傅 里 叶 变 换 存 在 的 充 分 条 件 : ttf d)(2)用 下 列 关 系 还 可 方 便 计 算 一 些 积 分 dttfF )()0( d)(21)0( jFf 信 号 与 系 统 第第第 4-27页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.4 傅 里 叶 变 换二、常用函数的傅里叶变换1. 单 边 指 数 函 数 f(t) = et(t)， 0实 数 1 0 tf(t) jjtjF tjtjt 1e1dee)( 0)(02. 双 边 指 数 函 数 f

31、(t) = et , 0 1 0 tf(t) 2200 211deedee)( jjttjF tjttjt 信 号 与 系 统 第第第 4-28页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.4 傅 里 叶 变 换3. 门 函 数 (矩 形 脉 冲 ) 2,0 2,1)( tttg 1 0 t g (t)2 2 jtjF jjtj 222/ 2/ eede)( )2Sa()2sin(2 4. 冲 激 函 数 (t)、 (t) 1de)()( ttt tj jtttt ttjtj 0eddde)()( 信 号 与 系 统 第第第 4-29页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系

32、 4.4 傅 里 叶 变 换5. 常 数 1有 一 些 函 数 不 满 足 绝 对 可 积 这 一 充 分 条 件 ， 如 1， (t) 等 ， 但 傅 里 叶 变 换 却 存 在 。 直 接 用 定 义 式 不 好 求 解 。 可 构 造 一 函 数 序 列 fn(t)逼 近 f (t) ， 即而 fn(t)满 足 绝 对 可 积 条 件 ， 并 且 fn(t)的 傅 里 叶 变 换 所形 成 的 序 列 Fn(j)是 极 限 收 敛 的 。 则 可 定 义 f(t)的 傅里 叶 变 换 F (j)为 )(lim)( tftf nn )(lim)( jFjF nn 这 样 定 义 的 傅 里

33、 叶 变 换 也 称 为 广 义 傅 里 叶 变 换 。 信 号 与 系 统 第第第 4-30页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.4 傅 里 叶 变 换构 造 f(t)=e-t ， 0 222)( jF)(lim1)( 0 tftf 所 以 0, 0,02lim)(lim)( 2200 jFjF又 2arctan2lim1 2lim2lim 020220 dd因 此 ， 1 2() 另 一 种 求 法 ： (t) 1代 入 反 变 换 定 义 式 ， 有)(de21 ttj 将 t， t - )(de21 ttj再 根 据 傅 里 叶 变 换 定 义 式 ， 得 )(2)(

34、2de1 ttj 信 号 与 系 统 第第第 4-31页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 6. 符 号 函 数 4.4 傅 里 叶 变 换 0,1 0,1)sgn( ttt 1 0 tsgn(t) -100,e 0,e)( tttf tt )(lim)sgn( 0 tft 22 211)()( jjjjFtf jjjFt 22lim)(lim)sgn( 2200 7. 阶 跃 函 数 (t) jtt 1)()sgn(2121)( 1 0 t (t) 信 号 与 系 统 第第第 4-32页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.4 傅 里 叶 变 换归 纳 记 忆

35、：1. F 变 换 对 2. 常 用 函 数 F 变 换 对 ： t域 域 tetfjF tj d)()( tejFtf tj d)(21)( (t)(t) j1)( e -t (t) j 1g(t) 2 Sasgn (t) j2e |t| 222 1 1 2() 信 号 与 系 统 第第第 4-33页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质一 、 线 性 (Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t) tt

36、bftaf tj de)()( 21 ttfttf tjtj de)(bde)(a 11 = a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 信 号 与 系 统 第第第 4-34页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example F(j) = ? 0f ( t ) t1-1 1Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - 2Sa() 0f 1( t ) t1 0g2 ( t ) t1-1 1 -

37、信 号 与 系 统 第第第 4-35页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质二 、 时 移 性 质 (Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant. )(e)( 00 jFttf tjProof: F f (t t0 ) tttf tj de)( 0 00 ede)( tjjtt f )(e 0 jFtj 信 号 与 系 统 第第第 4-36页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example F

38、(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) = 5e)3Sa(6 j 5e)Sa(2 j 5e)Sa(2)3Sa(6 j 0 f ( t ) t2-1 21 4 6 8 0f1 ( t ) t221 4 6 8+ 0f2 ( t ) t221 4 6 8 信 号 与 系 统 第第第 4-37页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质三 、 对 称 性 质 (Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProo

39、f: de)(21)( tjjFtf （ 1）in (1) t ， t then tjtFf tj de)(21)( （ 2）in (2) - then tjtFf tj de)(21)( F(j t) 2f () endF( jt ) 2f () 信 号 与 系 统 第第第 4-38页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example F(j) = ?21 1)( ttf Ans: 22| 2e tif =1, 2| 1 2e t |2 e21 2 t |2 e1 1 t* if 22 32)( 22 tt tttf F(j) =

40、? 信 号 与 系 统 第第第 4-39页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质四 、 频 移 性 质 (Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t) ttf tjtj de)(e 0 ttf tj de)( )( 0= F j(-0) end )(e)( 00 tfjF tj For example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3) 信 号 与 系 统

41、 第第第 4-40页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans: tjtjtf 00 e21e21)( F(j) = (+0)+ (-0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 信 号 与 系 统 第第第 4-41页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质五 、 尺 度 变 换 性 质 (Scaling Transform Prope

42、rty)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.Proof: F f (a t ) = teatf tj d)( For a 0 , F f (a t ) d1e)( af ajat ajFa 1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)( ajajat faaf ajFa 1That is , f (a t ) ajFa | 1Also,letting a = -1, f (- t ) F( -j) ajFaatf | 1)( 演示 信 号 与 系 统 第第第 4-42页页页 电 子 教 案 南 昌 大

43、学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example 1Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b) e -jb F( j)f (at b) ajFa baj e| 1or f (at) ajFa | 1f (at b) = )( abtaf ajFea baj | 1 信 号 与 系 统 第第第 4-43页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example 2f(t) = F(j) = ?11jtAns: 11)(e jtt )(e211 jt )(e2

44、11 jtUsing symmetry,using scaling property with a = -1,so that, 信 号 与 系 统 第第第 4-44页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质六 、 卷 积 性 质 (Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j

45、)Then f 1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21 信 号 与 系 统 第第第 4-45页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质Proof: d)()()(*)( 2121 tfftftf F f1(t)*f2(t) = dde)()(ded)()( 2121 ttffttff tjtjUsing timeshifting jtj jFttf e)(de)( 22So that, F f1(t)*f2(t) = de)()(de)()( 1221 jj fjFjFf= F1(j)F2(j) 信 号 与 系 统 第第第 4-46页页

46、页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example ?)(sin 2 jFt tAns: )Sa(2)(2 tgUsing symmetry, )(2)Sa(2 2 gt )()Sa( 2 gt )(*)(2)(*)(21sin 22222 ggggt t g2()*g2()2 2-2 0 F(j) 2-2 0 信 号 与 系 统 第第第 4-47页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质七 、 时 域 的 微 分 和 积 分(Differentiation and Integration

47、 in time domain)If f (t) F(j) then )()()()( jFjtf nn jjFFxxf t )()()0(d)( ttfjFF d)()()0( 0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj )()()0()(1)( 信 号 与 系 统 第第第 4-48页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans: jt 2)sgn( )sgn(22 jt )sgn(1 jt )sgn()

48、sgn()(1dd jjtt |)sgn(12 t 信 号 与 系 统 第第第 4-49页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example 2 Given that f (t) F1(j)Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f()()j1 )()()()(1 )(dd )(d)(1dd )(d)()( 11 ffjFj tttfjFjtttfftf tProof )()()()(1)()(2)( 1 ffjFjfjFSo )()()()(1)( 1 ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，

49、and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n 信 号 与 系 统 第第第 4-50页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质For example 3 f(t) 2-2 0 t2Determine f (t) F (j) f (t) t2-2 0 -1 1 t2-2(1) (1)(-2) f (t)Ans: f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) = 222 )2cos(22)( )

50、( j jFNotice: d(t)/dt = (t) 1 (t) 1/(j) 信 号 与 系 统 第第第 4-51页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质八 、 频 域 的 微 分 和 积 分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttf d)()(1)()0( where d)(21)0( jFfFor example 1 Determine f (t) = t(t) F (j)=?

51、jt 1)()( Ans: jtjt 1)(dd)(21)()( jtt 信 号 与 系 统 第第第 4-52页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质Notice: t(t) =(t) * (t) jj 1)(1)(Its wrong. Because ()() and (1/j)() is not defined.For example 2 Determine d)sin( aAns: )sin(2)(2 atg a de)sin(1de)sin(221)(2 tjtja aatg d)sin(1)0(2 ag a 2d)sin(0 a 信

52、号 与 系 统 第第第 4-53页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 九 、 帕 斯 瓦 尔 关 系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals) d)(21d)( 22 jFttfEProof ttftfttfE d)()(d)( *2 tjFtf tj dde)(21)( * dde)()(21 * ttfjF tj d|)(|21d)()(21 2* jFjFjF|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 单 位 频 率 上 的 频 谱 (能 量 密 度

53、谱 ） Js 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质 信 号 与 系 统 第第第 4-54页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 For exampleDetermine the energy of ttt 5sin)997cos(2Ans: )(5sin 10 gtt )997()997(5sin)997cos(2 1010 ggttt 10)1010(21d)( 2 ttfE 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质 信 号 与 系 统 第第第 4-55页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.5 傅 里 叶 变 换 的 性 质十 、 奇 偶 性 (Parity)I

54、f f(t) is real, then tttfjtttfttfjF tj d)sin()(d)cos()(de)()( = R() + jX() )()(|)(| 22 XRjF )( )(arctan)( RXSo that (1)R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX() 信 号 与 系 统 第第第 4-56页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系

55、 4.6 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换4.6 周 期 信 号 傅 里 叶 变 换一 、 正 、 余 弦 的 傅 里 叶 变 换 12()由 频 移 特 性 得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ) 信 号 与 系 统 第第第 4-57页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.6 周 期 信 号 傅 里 叶 变 换二 、 一 般 周 期 信 号 的 傅 里 叶 变 换 n tjnnT

56、 Ftf e)( 22 de)(1 TT tjnTn ttfTF n nTn tjnnT nFjFFtf )(2)(e)( 例 1： 周 期 为 T的 单 位 冲 激 周 期 函 数 T(t)= m mTt )(TdtetfTF TT tjnn 1)(1 22 解 ： )()()(2)( tnnTt nnT (1) 信 号 与 系 统 第第第 4-58页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.6 周 期 信 号 傅 里 叶 变 换例 2： 周 期 信 号 如 图 ， 求 其 傅 里 叶 变 换 。 0-1 1f(t) t1 4-4 解 ： 周 期 信 号 f(t)也 可 看 作一

57、 时 限 非 周 期 信 号 f0(t)的 周期 拓 展 。 即 f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) n njnF )()(0 F(j) = nn nnnn )2()2Sa()()Sa(2 本 题 f0(t) = g2(t) )Sa(2 22 T (2)(2)式 与 上 页 (1)式 比 较 ， 得 )2(1)(2 00 TnjFTjnFFn 这 也 给 出 求 周 期 信 号 傅 里 叶 级 数 的 另 一 种 方 法 。 信 号 与 系 统 第第第 4-59页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析4.7

58、LTI系 统 的 频 域 分 析 傅 里 叶 分 析 是 将 任 意 信 号 分 解 为 无 穷 多 项 不 同 频率 的 虚 指 数 函 数 之 和 。 n tjnnFtf e)(对 周 期 信 号 ：对 非 周 期 信 号 ： de)(21)( tjjFtf其 基 本 信 号 为 ej t一 、 基 本 信 号 ej t作 用 于 LTI系 统 的 响 应说 明 ： 频 域 分 析 中 ， 信 号 的 定 义 域 为 (， )， 而 t= 总 可 认 为 系 统 的 状 态 为 0， 因 此 本 章 的 响 应 指 零 状 态响 应 ， 常 写 为 y(t)。 信 号 与 系 统 第第第

59、4-60页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析设 LTI系 统 的 冲 激 响 应 为 h(t)， 当 激 励 是 角 频 率 的 基本 信 号 ej t时 ， 其 响 应 tjjtj hhty ede)(de)()( )( 而 上 式 积 分 正 好 是 h(t)的 傅 里 叶 变 换 ，记 为 H(j )， 常 称 为 系 统 的 频 率 响 应 函 数 。 de)( jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反 映 了 响 应 y(t)的 幅 度 和 相 位 。y(t) = h(t)* ej t 信 号 与 系 统 第第第 4-

60、61页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析二 、 一 般 信 号 f(t)作 用 于 LTI系 统 的 响 应ej t H(j ) ej t21 F(j ) ej t d 21 F(j )H(j ) ej t d 齐 次性 de)(21 tjjF de)()(21 tjjFjH 可 加性f(t) y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j ) 信 号 与 系 统 第第第 4-62页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析LTI * h(t) = 傅 氏 变 换

61、傅 氏 反 变 换f (t) 傅 氏 变 换 y(t) F(j) H (j) Y(j)频 率 响 应 H(j)可 定 义 为 系 统 零 状 态 响 应 的 傅 里 叶 变换 Y(j)与 激 励 f(t)的 傅 里 叶 变 换 F(j)之 比 ， 即 )( )()( jF jYjH )()()( )( )()()( fyjj ejF jYejHjH H(j)称 为 幅 频 特 性 （ 或 幅 频 响 应 ） ； ()称 为 相频 特 性 （ 或 相 频 响 应 ） 。 H(j)是 的 偶 函 数 ， ()是 的 奇 函 数 。 频 域 分 析 法 步 骤 ： 傅 里 叶 变 换 法 信 号 与

62、 系 统 第第第 4-63页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析对 周 期 信 号 还 可 用 傅 里 叶 级 数 法 。周 期 信 号 n tjnnT Ftf e)( n tjnnn tjnnT jnHFthFtfthty e)(e*)()(*)()(若 10 )cos(2)( n nnT tnAAtf )()()( jejHjH 则 可 推 导 出 10 )(cos|)(|)0(2)( n nn ntnjnHAHAty 信 号 与 系 统 第第第 4-64页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频

63、域 分 析例 ： 某 LTI系 统 的 H(j)和 ()如 图 ，若 f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)， 求 系 统 的 响 应 。 |H(j)|() 10-10 0 1 - 解 法 一 ： 用 傅 里 叶 变 换F(j) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j)=H(j)ej ()= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F -1Y

64、(j) = 2 + 2sin(5t) 信 号 与 系 统 第第第 4-65页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析解 法 二 ： 用 三 角 傅 里 叶 级 数f(t)的 基 波 角 频 率 =5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 4 0.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t) 信 号 与 系 统 第第第 4-66页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析三

65、 、 频 率 响 应 H(j)的 求 法1. H(j) = F h(t) 2. H(j) = Y(j)/F(j)(1)由 微 分 方 程 求 ， 对 微 分 方 程 两 边 取 傅 里 叶 变 换 。(2)由 电 路 直 接 求 出 。 例 1： 某 系 统 的 微 分 方 程 为 y(t) + 2y(t) = f(t)求 f(t) = e -t(t)时 的 响 应 y(t)。解 ： 微 分 方 程 两 边 取 傅 里 叶 变 换jY(j) + 2Y(j) = F(j) 21)( )()( jjF jYjH 信 号 与 系 统 第第第 4-67页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系

66、 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析f(t) = e-t(t) 11)( jjFY(j) = H(j)F(j) 2111)2)(1( 1 jjjjy(t) = (e-t e-2t )(t) 例 2： 如 图 电 路 ， R=1， C=1F， 以 uC(t)为 输 出 ， 求 其h(t)。 uC(t)uS(t) CR解 ： 画 电 路 频 域 模 型 US(j) R UC(j)Cj11111)( )()( jCjR CjjU jUjH SC h(t)= e-t (t) 信 号 与 系 统 第第第 4-68页页页 电 子 教 案 南 昌 大 学 测 控 系 4.7 LTI系 统 的 频 域 分 析四 、 无 失 真 传 输 与 滤 波系 统 对 于 信 号 的 作 用 大 体 可 分 为 两 类 ： 一 类 是 信 号 的传 输 ， 一 类 是 滤 波 。 传 输 要 求 信 号 尽 量 不 失 真 ， 而 滤波 则 滤 去 或 削 弱 不 需 要 有 的 成 分 ， 必 然 伴 随 着 失 真 。 1、 无 失 真 传 输 （ 1） 定 义 ： 信 号 无 失 真 传 输 是 指