天津大学大学物理内部

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1、 运动方程：描述物体相对参照物位置随时间的变化规律。 位矢（位置矢量）：描述物体相对参照物的位置。 表达形式：矢量式和分量式。 轨道方程：描述物体运动轨迹。物体速度：描述物体相对参照物的位置改变的快慢。 位移：不同时刻位矢之差。物体加速度：描述物体相对参照物运动的速度的变化的快慢。 （2）自然轴系及加速度的分量式 由前知，在曲线运动中，加速度的方向与速度（或轨道的切线）成一定夹角，因而，还可以把加速度沿轨道的切线和法线进行正交分解。若知此二分量，则加速度可得出。 以圆周运动为例：大家知道，在匀速率圆周运动中，速度大小不变，仅方向变化，由速度方向变化产生的加速度指向圆心，并与速度垂直。且RVa

2、2 可见，与速度垂直，且指向圆心的加速度反映速度方向的变化。 在变速率圆周运动中，速度的大小和方向同时变化，那么，与速度垂直的加速度分量也一定是反映速度的方向变化，形式也应为上述形式。RVa 2V只不过此处的 为瞬时速率。 自然，与速度共线（沿轨道切线）的加速度分量只反映速度大小随时间的变化，因而，沿轨道切线的加速度分量应为速度大小随时间的变化，即速率对时间求导。故该加速度分量应表示为dtdVat下面由理论证明变速率圆周运动加速度的两个分量的表述式：（听懂推导过程，而不要求掌握） Ro tV ttV r ttVtV V tV ttV VnVtA BCD tVABAD VVV tn 按加速度定义

3、tVtVtVa ttntt limlimlim 000 设一质点做变速圆周运动速率 V tV VnVtA BCD Ro tV ttV rtV nt lim0讨论第一分量aRVRVdtrdRVtrtV ntnt 200 limlim 大小：RVrV n 方向 ：沿法线指向圆心，故称为法向加速度。 tV nt lim0由几何关系，有则大小可为： 注意： 为速率 的变化（增量） ，而不是速度增量的大小 )。tV tt lim0 方向：沿轨道切线，与速度共线故称为切向加速度。另一分量Vt V VV数值：adtdVtVtV tttt limlim 00 ttV V tV VnVtA BCDRVan 2

4、dtdVa t切向加速度法向加速度以上二式中的 为瞬时速率。V可见，而加速度分量式为 （2）速率 恒正， 。当 ，表示速率正增加中，加速度与速度成锐角， 切向加速度与速度 同向；而 ，表示速率减小中，加速度与速度成钝角，切向加速度和速度 的方向相反；而 ，则为匀速率圆周运动。 V 0V 0dtdV V 0dtdV0dtdV o VR anata o VR atan a加速运动减速运动几点讨论：1 切向加速度的理解（1）切向加速度是速率（速度大小）的时变率。dtdVat V 故切向加速度应理解为加速度在速度方向的投影更为确切。可表为 cos0 aaat 式中 为速度矢量 的单位矢量；而 为加速度

5、与速度间的夹角。0 V R0 aata n V2 加速度aaa tn 22 aatg tn大小方向矢量式nRVdtdVaaa nt 020 式中的 为指向圆心的单位矢量。n0 tV dttdV 或令 tVtV 为沿速度方向的单位矢量。 dtdtVdttdVdttVda 显然， 即切向分量。R 第一项加速度分量沿轨道切线。o选讲 dtd ddR rddRRdrd 1 第二项的意义。R 二者垂直且大小不变。RVRdtdrdtd 1因此，另一分量的大小为RV 2，方向与轨道切线垂直，指向圆心。 anat a 在很多情形下，物体沿任意曲线匀速，加速，或减速运动，此时，物体的法向与切向加速度如何表述呢?

6、t V加速运动轨迹t V减速运动轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径anat a0 瞬时曲率圆 t V轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径anat adtdVat Van 2 在轨道的任何点上，物体的表现同圆运动，只是对应不同的曲率圆而已，故二分量的表述同圆运动时的情形。大小aaa nt 22方向aatg tn 解:分析：物体运动中，加速度恒定，但与速度的夹角不断变化，因而，其切向与法向的加速度分量也不断变化，是时间的函数。如何求，关键求出速率的表达式。 例 17 求斜上抛物体的 的表达式。,aa ntV0 xyo t g tV dt gtVVddt VVd yx sincos 0 20 222dtdVa t

7、 速率为则切向加速度为 gtVVVVV yx sincos 00 2222 gtggtVV gtV 22020 0 sin2 sin anatV0 xo t g tV tgan at tV tggtVV gVaga tn 22020 022 cos2 cos 法向加速度可否用Van 2，为什么? 例 18 求下列图中二时刻的 。an at V0 V0 1斜抛运动 解：本题的特点是：已知各点加速度及与速度间的夹角，此时，沿轨道的切向与法向分解加速度即可。at g anat ang1 cos 0gan cos. 0 aaat aVn20 2 cos 1gan sin 1gat aVn20式中的 为

8、沿速度的单位矢量, 是速度矢量与加速度矢量的夹角。 90cos 0aat sin 0g说明“”物理意义。 文字运算 用物理量的专用符号表示物理量，按物理规律组成方程式。按问题在几个方程式间联立，进行运算，中间不带入数据，称为文字运算。最后代入数据。大学物理和科技均要求此方法。克服步步代数据的方法。aV n2轨道的曲率半径为如何求路程dydxds 22 dydxdss 22不要求做。 例 19 一质点的运动规律为tax cos tby sin其中,ba皆为恒量。求 1 轨道方程；2 位置矢量；3速度与加速度； 4 切向加速度； 5 法向加速度； 6 轨道的曲率半径。解：1 12222 byax

9、tax cos tby sin消去时间 ， t为轨道方程-椭圆。2 位置矢量jtbitajyixr sincos 3速度与加速度 jtbjtajdtdyidtdxdtrdV cossin dt tbtaddt VVddtdVa yxt cossin 2222 aaaaaa tyxtn 22222 aVVaV n yxn 222 45（略去计算过程)。rjtbitadtVda 222 sincos6或VVaaat 0 jtbita sincos 22 VV jtbjta yx 22 cossin dtVda ，而可用 表示dtVda 在曲线运动中，质点的加速度既为 ，因而有 dtdVa，此表述是

10、错误的，解释如下：，该式的模即dtdVa ，故推知，加速度大小 1 第一种解释，受 影响，以为 ，这种理解是错误的。须知，从数学来理解， 是位矢 微分的大小，或 位矢 增量的大小，是包括了 大小和方向的总的增量的大小，即VV dVVd Vd VV tVdttVVd VddV V V仅仅是 大小 的增量，即 大小的微分 tVdttVVddV V V 故dVVdVd 加速度大小只能为，而不是dtVda dtdVa 单位制和量纲分析 1 物理量表示一具体的定义量，除特殊量外，均有单位。现规定用国际单位制，即SI制。如速度电场强度sm CN或mV2 量纲分析 基本量TLM ,导出量速度加速度力LT 1

11、 LT 2MLT 2称为量纲式，或量纲。在任何物理的方程式中，等号两边的量纲必须相等。 btats 221o tss 例 110 一质点沿半径为 的圆周按规律 运动，式中 为常数。求速率，切向和法向加速度和加速度。ba, R 解：该式为物体沿圆周的运动规律，类似于直线运动的运动方程。btadtdsV bdtdVat RbtaRVan 22 nRbtabnaaa nt 0000 2 大小aaa nt 22 三 运动学的逆问题1 正问题一维（直线运动） dtdVadtdxVtxx 二维（平面曲线运动） dtVdadtrdVtrr 数学方法：求导2 逆问题一维（直线运动） xVa 运动方程二维（平面

12、曲线运动）rVa 运动方程数学方法：积分 例1-11 一质点沿 轴正方向运动，加速度为 。当 时质点静止于 处，求速度的表达式及运动方程。x SIta 40t mx 10tadtdV 4解 因，则有tdtdV 4积分 Vt dVtdt 004，得 SItV 22（分离变量法）又tVdtdx 2 2，则有dttdx 2 2积分 tx dttdx 0 210 2得运动方程 SItx 1032 3*也可用不定积分。 x 例1-12一质点沿 轴正方向运动，加速度为 ，质点在 时的速度为 。求速度与位置的关系。 mxa 620 x msV 10 10 xadtdV 62解因，如何找 的关系，xV,xdx

13、VdVdxdxdtdVdtdV 62 xV dxxVdV 010 62分离变量，并积分得 SIxxV 1064 22*也可用不定积分。 引入运动方程的物理意义：运动方程是以代数式或矢量式的形式定量地确定（表示）一物体在任一时刻相对参照物的位置。然而，其深层的作用为：用二不同时刻的运动方程表示的具体的量的差表示此间的位移，因而实现了位移的准确的数学表示；运动方程的微分为一元位移，其大小为一元路程；把运动方程对时间求导数，可得速度和加速度的表达式，这样得出的速度或加速度的矢量性一目了然。因而，运动方程的引入使物理规律得以用数学的语言描述。 宇宙现时的宇宙人眼可视的星体： 颗2000银河系：星体 颗

14、。1011太阳系到银河系中心距离： 光年103 4银河系之外还有 个星系。大的星系有 个恒星1011 1013目前发现距我们最远的星体：104.1 10光年宇宙的形成宇宙的年令： 亿年，即 秒 150100宇宙的形成：大爆炸初时，宇宙的密度无限大，温度无限高爆炸半小时后，温度降为 ，基本粒子产生k10 8宇宙在膨胀1017宇宙的线度m1026 例 114一质点沿半径为 的圆周运动，加速度与速度的夹角 保持不变， 时的初速度为 ，求质点沿圆周运动的路程随时间的变化关系。R 0t V0 RO Vaan atdtdV RVaatg tn 2 用分离变量法可求速率与时间的关系。再积分可求质点沿圆周运动

15、的路程随时间的变化关系。（略) 角度的关系为 解： 第 四 节 相对运动 在本章一开始，我们就谈到运动的相对性。物体做机械运动时，机械运动的描述是相对的。 对不同的参照物，其运动方程，位矢，位移，速度，速率，加速度，轨道方程等可能是不同的。r 甲对乙甲（被研究客体）乙（被选参照物）相对轨迹相对速度V相对加速度a（相对位矢） 运动的相对性r甲对地r甲对乙r乙对地= +或r甲对地r乙对地r甲对乙= VVV 乙对地甲对乙甲对地则速度矢量关系为aaa 乙对地甲对乙甲对地地球 甲r甲对地r乙对地乙r甲对乙 设想有三个客体：地球，甲和乙。相对位矢如图，则有矢量间关系式则加速度矢量关系为或VVV 乙对地甲对

16、地甲对乙 VVV 地对乙甲对地甲对乙aaa 乙对地甲对地甲对乙 aaa 地对乙甲对地甲对乙r甲对地r地对乙+= VVV 地对乙甲对地甲对乙 aaa 地对乙甲对地甲对乙归纳有如下关系注意下标的循环关系，熟记可有利求解此类问题。 例 1-11 风相对地面由正东南吹来，速度为 ，一人相对地面向东跑去，速度为 ，则人感到风从何方吹来?风速多大?其中V1V2msV 10 11 msV 5 12 解：VVV 地对人风对地风对人画出各速度间的矢量关系图V风对地V人对地V风对人北南东西V地对人45用矢量图可求 的大小和方向（略）。V 风对人VV 地对人人对地注意到 推广：若有甲，乙和丙三客体，之间存在着相对运

17、动，则有VVV 丙对乙甲对丙甲对乙 aaa 丙对乙甲对丙甲对乙 VV 乙对丙丙对乙aa 乙对丙丙对乙例题-点评 实验与理论表明，光速是绝对的，在相对运动的惯性系内，测得光在真空中的速度相同。称为光速不变原理，由此产生了近代物理之一：相对论。 * 注意：位矢，轨迹，位移，路程，速度，速率，加速度等相对性。及动力学中的功；动能，动能定理；动量，动量定理等 也具有相对性。 质点运动学小结 1 运动方程：质点相对参考物位置的数学描述，为时间的函数。由此可求位移，元位移，路程，元路程，平均速度，平均速率，瞬时速度，瞬时速率，加速度等。 2 速度相对性，矢量性，瞬时性，迭加性。速度（曲线运动中）：dtrd

18、V 位矢的时变率速率（曲线运动中）： dtdsdtrddtrdVV VV yx 22dtdr不代表速率，而是速度的径向分量。3 加速度 相对性，矢量性，瞬时性，迭加性。曲线运动中dtVda dtVda dtdVa t 4 在讨论质点运动学过程中，我们引入矢量并通过矢量的微分，矢量求导等定义或表述物理概念和规律。这种研讨方法，是从一般（一泛泛过程)到特殊（即例题，习题）的研学。大学物理较之高中物理，更具普适性和广延性，其魅力也在于此。然而，此方法也较抽象，为学生的学习也带来困难。学者应尽快地适应大学物理的研讨法。对矢量及表达式，不仅从数学方面理解，更重要应体会出其物理内含，举一例供参考。 例如，

19、从 中，你理解了什麽?它告诉了哪些物理新息。dtrdV 式中， 是位矢，而 是 内的元位移，是位矢 的增量或变化量，在曲线运动中，二者不共线， 是位矢末端在轨迹上划出的小的有向线段。 的大小 ，是元路程。 即是一瞬时量，又是一平均量， ， 还有，该式有相对性。 有相对性，与它们联系的物r rd dt rrdrd dsrd dtrd,rr 但，,drrd VVdsrdr , 理规律也必有相对性，等。 一 牛顿运动定律1 第一定律01 nii iF2 第二定律amFnii i 1特点：矢量性，瞬时性，相对性。第五节 牛顿运动定律 牛顿运动定律是经典力学的核心，它定量地描述了运动和作用的关系，从更深

20、的层次上揭示了经典力学的本质，它是确定性的理论。根据已经掌握的概念和规律，在此仅作概括叙述。两种分量式 （1）若采用在直角坐标系下用牛二律求解问题，分量式为maF xni ix 1 maF yni iy 1为一组代数式，式中各量为代数量，是牛二律矢量式中的矢量在选定的 轴 上的投影。一般是把一个轴的正方向选在沿物体的运动方向，而另一轴与运动方向垂直。:x:y yx, - 3 第三定律（略）FF 2112作用力与反作用力间dtdVmmaF tni it 1 VmaF nni in 21 :t:n （2）若采用在自然轴系下用牛二律求解问题，分量式为 为一组代数式，一般在曲线运动时采用。式中各量为代

21、数量，是牛二律矢量式中的矢量在物体的运动方向（速度方向）上和直向曲率中心方向上的投影。 大学物理中，有一些物理量用矢量表示，如速度，加速度等；而有些物理规律用矢量式表示，如牛二律等。在很多情形下，往往用到其投影量或投影示求解，应学会据问题的性质和特点，建立坐标系，把涉及到的矢量（方向可设定，非真正的方向）投影，注意投影的正，负符号选取。多实践，多练习。此后，还遇到此类问题。 土星土星的光环由线度为 的粒子形成 m1010 6 土星环 流星雨 四种力：1 万有引力：源于 引力场-引力子-引力波(星体间，潮汐)2 电磁力：源于 电磁场-光子宏观的表现力有：弹性力，压力，张力，拉力，摩擦力，浮力3

22、强力：存在中子，质子及强子间，源于介子场-色力-色子（胶子）。 4 弱力：存在中子，质子及强子间，如 衰变中，由粒子ZWW 0, 传递。* 超统一理论简介。* 杨-李与弱相互作用不守恒。5 第五种力20世纪80年代提出，正验证中。大统一理论 超统一理论规范场 星系图该星系与银河系类似。由星体 个组成。成扁盘状，中心亮。整个星系绕垂直于盘面的轴转动。太阳为星系中的一个星体。饶星系的转动速度约 ，转动的周期为 年。按引力理论的计算结果与观测的结果不附。有人提出暗物质的存在。计算时没有考虑暗物质所致，据估算，宇宙中暗物质约占90%。但暗物质至今尚未被发现。暗物质 （dark matter）1011

23、skm220104.2 8 地面二 惯性系与非惯性系 惯性力 当车在水平地面上沿直线匀速运动时，车顶悬挂的物体随车匀速运动，物体水平方向不受力。Vm a 当车相对地面向右加速运动时，木块随车一起相对地面加速运动，悬线倾斜。 以地面为参照系，或站在地面上的观察者认为，在绳子张力 和物体重力 的合力作用下，物体向右加速运动，据牛二律，有gm NamgmN 物对地 Ngm即以地面为参照系，牛顿定律成立。惯性系惯性系:使牛顿定律成立的参照系。 一般（不准确情况下）把地球视为惯性系。相对地球静止或做匀速直线运动的系统均为惯性系。地面Vm aNgm 以车为参照物，即相对车静止的观察者，物体受力状况不变，合

24、力依然不为零，但物体对车无加速度。amamgmN r 物对车 可见，牛顿运动定律对相对惯性系做加速运动的系统不成立，即物体受的合力不等于物体的质量与物体对该参照系的加速度之积。该参照系称为非惯性系，在非惯性系不能用牛顿运动定律。此处0aa r物对车非惯性系:使牛顿定律不成立的参照系。非惯性系 相对地面做直线加速运动的参照系均为一种非惯性系。amamFgmN ri 物对车附加力amFi 车对地称为惯性力。 回到刚才的问题：对非惯性系，物体所受合力 不为零，但相对于非惯性系的加速度为零 ，车上的观察者如何来解释这一物理现象呢?他认为，该物体除了受到力 和 之外，还多受到一个附加力 ，它与 和 之合

25、力大小相等，而方向相反，因而，其相对非惯性系的加速度必为零。如例图示。Ngm 0 gmN 0argm N NgmF i 0aa r物对车 在非惯性系内物体受力图Fi附加力应为amNgmFi 0amFi 0或对非惯性系有amFi 非惯系对惯系为 F惯amF i 0 可见，在非惯性系内，必须多考虑一个力 ，此力称为惯性力。它与其它力的矢量和构成的合力等于研究物的质量 与该物相对非惯性系的加速度 的积，mar对地面（惯性系）的牛二律形式为 aamamF rnj j 01地 a0m ar地面引入惯性力的另一种方法：a0 如图所示，车相对地面的加速度为 ，而物体相对车的加速度为 ，则物体对地面的加速度为

26、aaa r 0地ar对车（非惯性系）的牛二律形式为amamF rnj j 01 amFF rinj j 1或 上述的结论具有普遍的意义：在任何相对惯性系作加速直线运动的参照系的研究动力学问题（包括平衡问题），在考虑了惯性力后，仍可用牛顿定律。各量物理意义解释： 为研究物体的质量， 为非惯性系相对惯性系的加速度，负号表明惯性力的方向与 的方向相反。 在非惯性系下的牛二律形式amFF rin 其中amFF i 0惯m a0 a0 惯性力与其它力一起，作用在物体上，决定物体相对非惯性系的规律。 1 惯性力是由于非惯性系相对惯性系加速运动引起的，它不是物体间的相互作用，因而，无反作用力，也无施力的物体

27、。2 惯性力影响物体对非惯性系的运动。 * 举例 由车辆中的乘客在车加速，减速；电梯的加减速；等。a 0mar地面火车光滑地板 * 车地板上的物体相对车（非惯性系）向左做加速运动，对车而言，物体定受一力 产生加速度 ，此力为惯性力。a ramF i 0Fi 3 非惯性系中惯性力的确定。 惯性力：惯性力看似抽象，实则具体而现实。例如，当我们处在变速运动的交通工具中时，会直接感受到此的存在力。当火车沿路轨加速运动时，相对地面静止的房屋，树木等在乘客看来是向着火车运动的反方向加速运动，从动力学讲，既然有加速度，一定有力的作用，此力为惯性力。如a 车对地F惯F惯 摆无论在车上还是在地面，所受惯性力相同

28、。一个相对车（非惯）静止，而另一个相对车（非惯）加速运动。a* 惯性力与等效原理-广义相对论（略描述）。 F惯m a车对地m 再如，光滑的斜面上有一木块，二同样斜面，一个固定在地面，而另一个固定在车上。从非惯性系研究二木块：地上者车上者amgmNF 木对车惯 1 a木对车a木对地gmgm N1N 2 F惯amgmNF 木对车惯 2 aam 地对车木对地 a地对车Na地对车a木对地a木对车 然而，二木块（地面与车上者)对斜面的压力 不同。N因amamF 地对车车对地惯 amgmNF 木对车惯 2 aam 地对车木对地故在地上者可计为amgmN 木对地2 这表明，由地面惯性系和车的非惯性系来研究同

29、一木块，其动力学方程不同，运动规律（运动方程，速度及加速度等)也各异，但物体间的作用力是相同的。为惯性系的动力学方程。 1 在转动参照系（非惯性系）内物体也受到惯性力，即惯性离心力。分析如下：物体随盘一起匀速转动物体随盘一起转动。rmF 2 rF* 另外两种惯性力简介（了解）从惯性系（地面）看来Fi从非惯性系（盘）看来，物静，0FF i 0arFi沿 向外，故称惯性力为惯性离心力。r rmFi 2则必须为附加力，为Fi *举例（略） 在环绕地球飞行的宇宙飞船内，物体的惯性离心力与向心力即重力平衡。因而船内的所有物体包括宇航员都处于失重的状态。在太空舱内，宇航员成为一个飘忽不定的人。他可以毫不费

30、力握住一个东西，但转体等动作却十分困难。图象中所呈现的宇航员手舞足蹈，是为了自己前进或转体。 * 太空站内的微重力仅是地面上的百万分之一。比如，一个硬币下落1.8m，在太空站内用600s,而在地面上用0.6s。 * 微重力环境对晶体生长，化学反应，种子发育，植物生长，药物治疗，动物的心理和生理等产生显著和微妙的影响。 * 十六国计划在2005年建立大国际空间站，站内空间约为 ，飞行高度为 ，速度为 ，绕地球一周约90分钟，从船上可看到地球 面积。m1300 3 km350 hm10816.2 4%85 * 离心力对重力的影响c物体离心力方向地球自转重力方向引力方向 2 在匀速转动的参照系中运动

31、的物体，除了上述受的惯性离心力之外，还受到另一惯性力：科里奥利力，简述如下。质点对盘（惯性系）的相对速度圆盘o mVrRV Vr质点对地（惯性系）的速度则RVV r对地有RVmF 2 合力对盘有 RmmVRVmRRVmRVmF r 2222 2 合力 RmmVFRmRVmF rr 22 22 惯性离心力科里奥利力mVF r2科此时的科氏力方向同惯性离心力方向，沿Vr方向。 科氏力的矢量式 VmF r2科例如圆盘o m V rF科圆盘o mVr F科 三 应用 1 已知运动求力，如压力，张力等。此类问题大家相当熟悉，并做过大量的练习。 牛顿运动定律是整个经典力学的基础，用它可直接求解两类问题：

32、2 已知力求运动。知道力的形式，如 ，力是速度，时间或位置的函数，求运动规律 ， 。或给出速度是时间，位置或速度的函数，即 ，由此求运动规律 ， 。所用工具-高数的积分学。此类问题大家不熟悉，应掌握它。 VrVtF 2, tVV trr 无论哪类问题，但求解的思路是一样的。可归纳为以下几条。 VrVta 2, trr tVV 用牛顿运动定律求解题目步骤总结： 1 运用隔离体法，对所研究的各物体，分析其受力（若对非惯性系研究，勿忘惯性力），并画出受力图。2 列出各物体的牛二律的数学表达式（矢量式）。3 建立坐标系，写出上述表达式的投影式（代数式）。 4 若求解的方程数目小于未知量数目，应写出相应

33、的运动学关联式。 5 进行文字运算，然后带入数据求解 。 非惯性系中牛二律矢量式amFNgm ri 其中amFi 例 111如图所示，求木块的 。Na r ,光滑光滑ma解 1 在非惯性系中考虑。斜块相对地面（惯性系）加速运动，斜块为非惯性系。研究体木块，受力图gm Nm惯性力Fi y建立坐标系，写分量式（代数式）代数式maFmg ri cossin 0sincos FmgN ixya r xo 2 在惯性系中考虑a r a受力图m Ngm xyo矢量式 aamNgm r 对地的加速度 光滑光滑ma代数式 aammg r cossin sincos mamgN 分量式:x:y两种解法的结果相同

34、。 例 112 如图，斜面固定在地面上，不计所有摩擦，求斜面与A间，A与B间的作用。 AB m1m2例题 解：以地面为参照系（惯性系）的受力图N2gm 1 N1 xyo a1A木块：牛二律的矢量式的形式amgmNN 对地11221 :x:y amNgm 1121 sin 0cos211 NgmN投影式(代数式)（1)（2) 取向下为正方向，投影式(代数式）为amNgm 2222 运动学规律sin12 aa N2gm 2x a2B木块amNgm 2222 牛二律的矢量式的形式联立求解，运算及结果略。（4)（3) 因木块A相对地面加速运动，故为非惯性系，取A木块为参照系，本题也可在非惯性系内求解，

35、此时，木块A的受力图为N2 N1gm 1 aA对地FA惯在非惯性系内的牛二律形式0221 gmNNFA 惯amFA 11惯木块B的受力图为在非惯性系内的牛二律形式N2gm 2 xamFNgm rB 相惯2222 FB惯amF B 12惯0sin 1122 amNgm取向下为正方向，投影式(代数式）为在竖直方向B相对B无运动。计算略。 在物理中，物理量用三位有效数字表示。小数点后面取两位。如有效数字56.2 03.7 00.8 70.12或用指数表示1028.3 6 1070.2 4 dtdVVmkg 则 例 112 若物体从静止下落，空气阻力为 ，求物体的运动规律。kVfr （其中 为正常数）

36、k静止释放V mgmfr解：据牛二律amfgm r oxdtdVmkVmg makVmg 或以释放点为坐标原点，矢量式的投影式为 该式不是一个表示速度 和时间 间的代数式，不能表示速度随时间变化的显函数关系。该式为含有导函数的式子，为微分方程，欲得到速度随时间的变化显函数关系，则用积分法。V t 为此，需将式中的二变量 和 移到式的两边，称为分离变量法V t tV dtVmkg dV 00积分该式dtVmkg dV ekmgtV mkt1速度的表达式t ConstkmgtV 运动方程为k gmek gmtkmg dtekmgVdtx mktt mkt220 22 1 dtdxV Vdtdx 则

37、 例题 静止释放V mgmfrox解：据牛二律amfgm r dtdVmmakVmg 以释放点为坐标原点，选轴向上为正方向时，若选则轴向上为正时注意到此时速度 沿轴的负方向，投影为 ，0,0 KVV V V牛二律矢量式的投影式为 dtdVa 若速度 的投影为 ， ，则阻力为V V牛二律矢量式的投影式为 dtVdmmakVmg 0V0KV注意，该方向加速度分量是该方向速度投影（分量)的时变率；把加速度表为 是错误的，因 不是该方向上的速度分量。V 例 113如图，半径为 的圆环固定在光滑的水平面上，一物体沿圆环内壁作圆周运动 ，物体与内壁间的滑动摩擦系数为 ， 时， 速率为 ，求物体速率的表达式

38、， R 0t V0 VRo水平面圆环N f r 解：在平面内物体受力图为牛二律的分量式为切向：法向：dtdVmmaNf tr RVmmaN n 2 二式联立，消去 ，在利用分离变量法可得结果（略）。N 则amNf r 学习指导 V0oR VT gm t解：t时刻，amTgm 切向：法向：dtdVmmg sin RVmmgT cos 2以速度的方向为切向的正方向。又RVddVdtdddVdtdV 切向式变为 singddVRV 分离变量积分可得 1cos2 RgVV 2与法向式结合，可求张力的表达式。 例 114 如图所示，细绳栓一质量为 的小球，在竖直平面内绕 点以 为半径做圆周运动。 时，小球在最低点以初速度 运动，求小球速率与位置的关系。mR 0tV0o 在大学物理中，物理量通常为变量，这表明了自然界客观规律的复杂性。在物理学中，一些物理规律的数学表达式（物理量间的函数式）用代数式的形式表示，例如Van 2而另有一些规律以微分的形式表示，例如dtdVat 若想使变量间的微分形式变成代数式形式，即把微分式中的几个变量设法变成二个变量，使等号的两边各有一个变量，即使二个变量分离，积分等号两边的二变量即可。