数学物理方法解析函数

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1、1 教 材 ： 数 学 物 理 方 法 （ 第 二 版 ） 姚 端 正 梁 家 宝 编 著任 课 教 师 ： 刘 辛 3 数 学 物 理 方 法 数 学 物 理 方 法复 变 函 数 篇 4 数 的 扩 张 （ 完 善 化 ） 自 然 数 （ +负 整 数 ） 整 数 （ +分 数 ） 有 理 数 （ +无 理 数 ） 实 数 （ +虚 数 ） 复 数 5 第 一 章 解 析 函 数复 数 概 念 ： 一 对 有 序 的 实 数 （ x， y）代 数 表 示z = x + iyx = Real(z)（ 实 部 ） , y = Imagine(z)（ 虚部 ） ,i 2=-1(虚 单 位 ） 几

2、 何 表 示 关 系 x = r cos y =r sin = Arctan(y/x) 特 点 无 序 性 复 数 无 大 小 （ 模 比 较大 小 ） 矢 量 性 复 数 有 方 向 22 yxr 6 任 一 复 数 z0有 无 穷 多 个 辐 角 （ 相 差 2k） ， 以 argz表 示其 中 在 2范 围 内 变 换 的 一 个 特 定 值 ， 称 之 为 辐 角 的 主 值 ，通 常 取 - argz 则 Argz=argz+2k （ k=0， 1， 2， ） z处 于 第 一 象 限 ： argz=arctan（ y/x） ； 第 二 象 限 ： argz=arctan（ y/x）

3、 +； 第 三 象 限 ： argz=arctan（ y/x） -； 第 四 象 限 ： argz=arctan（ y/x） 。 7 三 角 表 示z =r (cos + i sin)r = |z|（ 模 ） , = Arg(z)（ 辐 角 ）指 数 表 示z =r exp(i)exp(i) = cos + i sin代 数 表 示z = x + iyx = Re(z), y = Im (z)复 数 的 表 示 8 9 实 部 相 同 而 虚 部 绝 对 值 相 等 符 号 相 反 的 两 个 复 数 称为 共 轭 复 数 . , 的 zz 共 轭 复 数 记 为 . , iyxziyxz 则

4、若例 .的 积与计 算 共 轭 复 数 yixzyixz 解 )( yixyix 22 )(yix .22 yx .22 yxzz 即 ： ., 的 积 是 实 数两 个 共 轭 复 数 zz结 论 ： 共 轭 复 数 10 共 轭 复 数 的 性 质;)1( 2121 zzzz ;2121 zzzz ;2121 zzzz ;)2( zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4( zizzzzz 以 上 各 式 证 明 略 . 11 例 1证 21(1) zz )()( 2121 zzzz )( 2121 zzzz)( 2211 zzzz .21 zz221(2

5、) zz )()( 2121 zzzz )( 2121 zzzz 21212211 zzzzzzzz 21212221 zzzzzz .(2);(1) : , , 21212121 21 zzzzzzzz zz 证 明为 两 个 任 意 复 数设 12 221 zz 2221 zz )Re(2 21zz212221 2 zzzz 212221 2 zzzz ,)( 221 zz ,)Re(2 212121 zzzzzz 因 为两 边 同 时 开 方 得 .2121 zzzz 1 2 1 2 .z z z z 同 理 可 证 ： 13 设 z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是 两 个 复

6、数加 减 运 算 z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 ) 复 数 加 减 法 满 足平 行 四 边 形 法 则z 1 +(- z2)- z2 222111 , iyxziyxz 复 数 的 运 算交 换 律 、 结 合 律 、 分 配 律 成 立 2121 zzzz 2121 zzzz 14 乘 法 运 算 1 2 1 2 1 2 1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) i( ) cos( ) isin( ) expi( )z z x x y y x y x y 两 个 复 数 相 乘等 于 它 们 的 模 相 乘 ，幅 角 相 加除 法 运 算 1 1 2 1

7、 2 1 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 221 1 2 2 i cos( ) isin( ) expi( )z x x y y x y x yz x y x y 两 个 复 数 相 除 等于 它 们 的 模 相 除 ，幅 角 相 减 乘 方 运 算 )sin(cos)sin(cos ninrirz nnn inn enini sincos)sin(cos当 r=1时 上 式 对 所 有 n取 整 数 ， 恒 成 立 。 15 16 )sin(cos),sin(cos iwirz 开 方 运 算 )2sin()2cos( 1 nkninknrzw nn zwn n

8、zw )sin(cos)sin(cos irninn .)2,1,0( 2, kknr n )2sin()2cos(1 nkninknrzw nn 从 这 个 表 达 式 可 以 看 出 ：1） 当 k=0,1,2 n-1时 ， 得 到 n个 相 异 的 值 ； 当k取 其 他 整 数 值 时 ， 将 重 复 出 现 上 述 n个 值 。 因此 ， 一 个 复 数 z的 n次 方 根 有 且 仅 有 n个 相 异 值 。 2） 上 述 n个 方 根 具 有 相 同 的 模 ， 而 每 个 相 邻 值的 辐 角 差 为 2 /n， 故 在 几 何 上 ， w的 n个 值 分 布在 以 原 点 为

9、 中 心 ， r 1/n为 半 径 的 圆 内 接 正 n边 形的 顶 点 上 。 17 模 有 限 的 复 数 和 复 数 平 面 上 的 有 限 远 点 是 一 一 对应 的 。 复 变 函 数 理 论 中 无 穷 大 也 理 解 为 复 数 平 面 上 的 一个 “ 点 ” ， 称 为 无 限 远 点 ， 记 为 ， 其 模 大 于 任何 正 数 ， 辐 角 不 定 。 平 面 上 的 具 体 点 难 以 描 绘 无限 远 点 ， 为 此 引 入 复 球 面 的 概 念 。 把 一 个 球 放 在 复 平 面 ， 使 其 南 极 S与 复 平 面 相 切 于 原 点 ， 复 平 面 上

10、任 一 点 A 与 球 的 北 极 N连 线 交 与 球 面 A点 ， 则 复 平 面 上 每 一 有 限 远 点 与 球 面 上 的 点 一 一 对 应 （ 此 对 应 称 测 地 投 影 ） ， A无 限 远 离 o 时 ， A点 无 限 趋 近 于 N， 故 可 将 N看 做 无 限 远 点 的 代 表 点 。 此 球 面 称 为 复 球 面 或 黎 曼 球 面 ， 复 平 面 上 只 有 一 个 无 穷 远 点 。 AxyoS AN 18 19 复 平 面 上 的 点 集 定 义 由 不 等 式(为 任 意 的 正 数 )所 确 定 的 复 平 面 点 集 (以 后 平 面 点集 均

11、简 称 点 集 )， 就 是 以 z0为 中 心 的 邻 域 或 邻 域 。而 称 由 不 等 式 0zz 00 z z 所 确 定 的 点 集 为 z0的 去 心 邻 域 或 去 心 邻 域 。 0z 20 定 义 设 D为 点 集 ， z0为 D中 的 一 点 。 如 果 存 在 z0的一 个 邻 域 ， 该 邻 域 内 的 所 有 点 都 属 于 D， 则 称 z0为 D的内 点 ； 若 点 z0的 某 一 个 邻 域 内 的 点 都 不 属 于 D ， 则 称点 z0为 D的 外 点 。 若 在 点 z0的 任 意 一 个 邻 域 内 ， 既 有 属于 D的 点 ， 也 有 不 属 于

12、 D的 点 ， 则 称 点 z0为 D的 边 界 点 ，点 集 D的 全 部 边 界 点 称 为 D的 边 界 。内 点 ， 外 点 ， 边 界 点 开 集 注 意 区 域 的 边 界 可 能 是由 几 条 曲 线 和 一 些 孤 立 的 点 所组 成 的 。定 义 若 点 集 D的 点 皆 为 内点 ， 则 称 D为 开 集 D z 0开 集 21 定 义 点 集 D称 为 一 个 区 域 ， 如 果 它 满 足 ： (1) 属 于 D的 点 都 是 D的 内 点 ， 或 D是 一 个 开 集 ； (2) D是 连 通 的 ， 就 是 说 D中 任 何 两 点 z1和 z2都可 以 用 完

13、全 属 于 D的 一 条 折 线 连 接 起 来 。 通 常 称 具 有 性 质 (2)的集 为 连 通 的 ， 所 以 一 个 区域 就 是 一 个 连 通 的 开 集 。区 域 D加 上 它 的 边 界 C(p)称 为 闭 区 域 或 闭 域 ， 记为区 域 D z1z 2 p rzz 0D 22 邻 域 z 复 平 面 上 圆 内 点 的 集 合 内 点 z 和 它 的 邻 域 都 属 于 D， 则 z 为 D 的 内 点外 点 z 和 它 的 邻 域 都 不 属 于 D， 则 z 为 D 的 外 点边 界 点 不 是 内 点 ， 也 不 是 外 点 的 点边 界 全 体 边 界 点 的

14、 集 合 z区 域 内 点 组 成 的 连 通 集 合闭 区 域 区 域 和 边 界 线 的 全 体 区 域 rzz 0 区 域 概 念 总 结 23 Rz | x yO R x yO RRz | x y RO r Rzr |1 0Im,| zRz x y R-R OxO y 0Im z 21 arg z xO y 21 曲 线 如 果 曲 线的 实 部 x(t)和 虚 部 y(t)均 为 t的 连 续 函 数 ， 那 么曲 线 就 叫 连 续 曲 线 。 )t( )()()(: tiytxtzz 对 于 连 续 曲 线 ，则 曲 线 没 有 重 点 （ 纽 结 ） ， 则 称 为 简 单 曲

15、 线 。当 时 ， 则 称 简 单 闭 曲 线 。 )()()(: 2121 tztztttzz 时 ，当)()( zz 光 滑 曲 线 ： 若 连 续 曲 线在 区 间 上 存 在 连 续 的 及 ， 且 两 者 不 同 时为 零 ， 则 在 曲 线 上 每 点 均 有 切 线 且 切 线 方 向 是连 续 变 化 的 。 )t( )(: tzz )(tx )(ty 简 单 闭 曲 线 把 扩 充 复 平 面 分 为 两 部 分 ， 一部 分 是 不 含 的 点 集 ， 称 为 该 曲 线 的 内 部 ； 另一 部 分 是 含 的 点 集 ， 称 为 该 曲 线 的 外 部 。 这两 个 区

16、 域 都 以 给 的 简 单 闭 曲 线 （ 也 称 若 尔 当 曲线 ） 作 为 边 界 。曲 线 内 外 部 区 分 （ 若 尔 当 定 理 ） 26 单 连 通 域 与 多 连 通 域 设 B为 复 平 面 上 的 一 个 区 域 ， 如 果 在 其 中 作 一条 简 单 的 闭 曲 线 （ 自 身 不 相 交 的 闭 合 曲 线 ） ， 而曲 线 内 部 总 属 于 B ， 则 称 B为 单 连 通 区 域 ， 否 则称 为 多 连 通 区 域 。B B 单 连 通 域 多 连 通 域 27 举 例 21Re,1)3( 2)2( 21Re)1( zz iiz z 指 出 下 列 不 等

17、 式 中 点 z在 怎 样 的 点 集中 变 动 ？ 这 些 点 集 是 不 是 单 连 通 区 域 ？是 否 有 界 ？ 28 复 变 函 数 的 定 义 E z= x+iy . , , E z, w=u+iv , w z (), w= f(z).设 是 一 个 复 数 的 集 合 如 果 有 一个 确 定 的 法 则 存 在 按 这 个 法 则 对 于 集 合 中 的每 一 个 复 数 就 有 一 个 或 几 个 复 数 与之 对 应 那 末 称 复 变 数 是 复 变 数 的 函 数 简 称复 变 函 数 记 作 . )( , 是 单 值 的我 们 称 函 数 那 末的 值的 一 个 值

18、 对 应 着 一 个如 果 zf wz . )( , 是 多 值 的那 末 我 们 称 函 数的 值 两 个 以 上的 一 个 值 对 应 着 两 个 或如 果 zfw z 29 映 射 (函 数 )的 概 念. , , , , 的 点 集 之 间 的 对 应 关 系 上必 须 看 成 是 两 个 复 平 面的 几 何 图 形 表 示 出 来 因 而 无 法 用 同 一 平 面 内之 间 的 对 应 关 系和 由 于 它 反 映 了 两 对 变 量对 于 复 变 函 数yx vu1.映 射 的 定 义 : ).( )( * )( )( , , 或 变 换 的 映 射函 数 值 集 合平 面 上

19、 的 一 个 点 集 变 到定 义 集 合平 面 上 的 一 个 点 集是 把 在 几 何 上 就 可 以 看 作那 么 函 数值 的平 面 上 的 点 表 示 函 数而 用 另 一 个 平 面 的 值平 面 上 的 点 表 示 自 变 量如 果 用 Gw Gz zfw ww zz 30. ),( , * )( 的 原 象 称 为而映 象的 象称 为那 么中 的 点 映 射 成被 映 射中 的 点如 果 wzzww GzfwzG . )( 所 构 成 的 映 射 函 数这 个 映 射 通 常 简 称 为 由 zfw 31 . )1( 构 成 的 映 射函 数 zw xyo uvoiz 321

20、iw 321 iz 212 iw 212 A BC A BC,11 wz ,22 wz .CBAABC 2. 两 个 特 殊 的 映 射. ibaw wibazz 的 点 平 面 上映 射 成平 面 上 的 点将 32xyo uvoiz 321 iw 321 iz 212 iw 212 A BC A BC,11 wz ,22 wz .CBAABC . , 映 射是 关 于 实 轴 的 一 个 对 称不 难 看 出重 叠 在 一 起 平 面平 面 和如 果 把 zwwz o 1w 2w 1z2z且 是 全 同 图 形 . 33 . )2( 2 构 成 的 映 射函 数 zw .1 ,43,1 1

21、,21, 321 321 wiwww zizizz平 面 上 的 点映 射 成 平 面 上 的 点显 然 将 xyo uvo1z 2z 2w 3w1w3z 34 根 据 复 数 的 乘 法 公 式 可 知 , . 2 的 辐 角 增 大 一 倍将映 射 zzw xyo uvo 2 . 2 的 角 形 域平 面 上 与 实 轴 交 角 为 的 角 形 域 映 射 成平 面 上 与 实 轴 交 角 为将 wz 35 : 2 数对 应 于 两 个 二 元 实 变 函函 数 zw .2,22 xyvyxu ,2, 2122 cxycyx xyz 曲 线标 轴 为 渐 近 线 的 等 轴 双 和 坐线平

22、 面 上 的 两 族 分 别 以 直它 把 (如 下 页 图 )., 21 cvcu w 平 面 上 的 两 族 平 行 直 线分 别 映 射 成 36 将 第 一 图 中 两 块 阴 影 部 分 映 射 成 第 二 图 中 同一 个 长 方 形 . xyo uyo 37 : 的 象 的 参 数 方 程 为直 线 x ) (.2,22 为 参 数yyvyu : 得消 去 参 数 y ),(4 222 uv 以 原 点 为 焦 点 ,开 口 向 左 的 抛 物 线 .(图 中 红 色 曲 线 ) : 的 象 为同 理 直 线 y ),(4 222 uv 以 原 点 为 焦 点 ,开 口 向 右

23、的抛 物 线 .(图 中 蓝 色 曲 线 ) 38 函 数 的 极 限1.函 数 极 限 的 定 义 : . )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 000 0时 的 极 限趋 向 于当为那 末 称 有时使 得 当 相 应 地 必 有 一 正 数对 于 任 意 给 定 的 存 在如 果 有 一 确 定 的 数内 的 去 心 邻 域定 义 在设 函 数 zzzfA Azfzz Azz zzfw )( .)(lim 0 0 AzfAzf zzzz 或记 作注 意 : . 0的 方 式 是 任 意 的定 义 中 zz 39 定 理 一 ).0()( )(lim (3) ;)()(lim

24、(2) ;)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00 0 00 BBAzg zf ABzgzf BAzgzf BzgAzfzz zz zz zzzz 那 么设与 实 变 函 数 的 极 限 运 算 法 则 类 似 . 2. 极 限 计 算 的 定 理 40 定 理 二 .),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 00000 00 0000 0 vyxvuyxu Azfiyxz ivuAyxivyxuzf yy xxyy xx zz 的 充 要 条 件 是那 么设证 ,)(lim 0 Azfzz 如 果根 据 极 限 的 定 义 , )()(0 00 时当

25、iyxiyx ,)()( 00 ivuivu(1) 必 要 性 . 41 , )()(0 2020 时或 当 yyxx ,)()( 00 vviuu , , 00 vvuu .),(lim,),(lim 00 0000 vyxvuyxu yy xxyy xx 故 ,),(lim,),(lim 00 0000 vyxvuyxu yy xxyy xx 若 , )()(0 2020 时那 么 当 yyxx(2) 充 分 性 . ,2 ,2 00 vvuu有 42 )()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu , 0 0 时故 当 zz ,)( Azf .)(lim 0 Azfzz 所 以 证

26、 毕 说 明 . ),( ),( , ),(),()( 的 极 限 问 题和 函 数转 化 为 求 两 个 二 元 实 变的 极 限 问 题该 定 理 将 求 复 变 函 数yxv yxu yxivyxuzf 43 例 1证 (一 ). 0 )Re()( 不 存 在 时 的 极 限当证 明 函 数 zzzzf , iyxz 令 ,)( 22 yx xzf 则 ,0),(,),( 22 yxvyx xyxu , 趋 于 零 时沿 直 线当 kxyz 2200 lim),(lim yx xyxu kxyxkxyx 220 )(lim kxx xx 44 )1(lim 220 kx xx ,11 2

27、k , 值 的 变 化 而 变 化随 k , ),(lim 00 不 存 在所 以 yxuyy xx ,0),(lim00 yxvyy xx根 据 定 理 二 可 知 , . )(lim0 不 存 在zfz证 (二 ) ),sin(cos irz 令 rrzf cos)( 则 ,cos 45 , arg 趋 于 零 时沿 不 同 的 射 线当 zz .)( 趋 于 不 同 的 值zf , 0arg 趋 于 零 时沿 正 实 轴例 如 zz ,1)( zf , 2arg 趋 于 零 时沿 z ,0)( zf . )(lim 0 不 存 在故 zfz 46 例 2证 . 0 )0( )( 限 不

28、存 在 时 的 极当证 明 函 数 zzzzzf ,)(, ivuzfiyxz 令 ,),( 22 22 yx yxyxu 则 ,2),( 22 yx xyyxv , 趋 于 零 时沿 直 线当 kxyz 2200 2lim),(lim yx xyyxv kxyxkxyx ,12 2kk 47 , 值 的 变 化 而 变 化随 k , ),(lim 00 不 存 在所 以 yxvyy xx根 据 定 理 二 可 知 , . )(lim0 不 存 在zfz 48 函 数 的 连 续 性1. 连 续 的 定 义0 00 lim ( ) ( ), ( ) . ( ) , ( ) . z z f z

29、f z f zz f z Bf z B 如 果 那 末 我 们 就 说在 点 处 连 续 如 果 在 区 域 内 处 处 连 续我 们 说 在 内 连 续 . ,)()(lim )( 0 0 0 Czzfzf zCzfzz 处 连 续 的 意 义 是上在 曲 线函 数 49 定 理 三 . ) ,( ),( ),( : ),(),()( 00 000处 连 续 在和连 续 的 充 要 条 件 是 在函 数 yxyxvyxu iyxzyxivyxuzf 例 如 , ),()ln()( 2222 yxiyxzf , )ln(),( 22处 连 续 在 复 平 面 内 除 原 点 外 处yxyxu

30、, ),( 22 在 复 平 面 内 处 处 连 续yxyxv . ),( 处 连 续在 复 平 面 内 除 原 点 外 处故 yxf 50 定 理 四 . ) ( )( )( (1) 000 处 仍 连 续在不 为 零分 母 在积 、 商 的 和 、 差 、和连 续 的 两 个 函 数在 zz zgzfz. )( , )( )( , )( (2) 000 0连 续 处在那 末 复 合 函 数连 续 在函 数连 续在如 果 函 数 zzgfwzgh hfwzzgh 51 例 3 . )( , )( : 00也 连 续 在那 末连 续在如 果证 明 zzfzzf证 ),(),()( yxivyx

31、uzf 设 ),(),()( yxivyxuzf 则 , )( 0 连 续在由 zzf ,) ,( ),( ),( 00 处 都 连 续在和知 yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00 处 连 续也 在和于 是 yxyxvyxu . )( 0 连 续在故 zzf 52 1.导 数 的 定 义 , , , )( 0 0的 范 围不 出点点 中 的 一为定 义 于 区 域设 函 数 Dzz DzDzfw , )(.)( 00的 导 数 在这 个 极 限 值 称 为可 导在那 么 就 称 zzfzzf .)()(limdd)( 0000 0 z zfzzfzwzf zzz 记 作 , )(

32、)(lim 000 存 在如 果 极 限 z zfzzfz 53 在 定 义 中 应 注 意 : .)0(00 的 方 式 是 任 意 的即 zzzz .)()( ,00 00 都 趋 于 同 一 个 数比 值 时内 以 任 意 方 式 趋 于在 区 域即 z zfzzf zDzz . )( , )( 可 导在 区 域 内就 称 我 们内 处 处 可 导在 区 域如 果 函 数 Dzf Dzf 54 例 1 .)( 2的 导 数求 zzf z zfzzfzf z )()(lim)( 0解 z zzzz 220 )(lim )2(lim0 zzz .2zzz 2)( 2 55 例 2 是 否 可

33、 导 ？ 问 yixzf 2)( z zfzzfzf zz )()(limlim 00解 z yixiyyxxz 2)(2)(lim0 yix yixz 2lim0 ，轴 的 直 线 趋 向 于沿 着 平 行 于设 zxzz xyo z 0y 56xyo z 0y yix yixz 2lim0 ,1lim0 xxx ，轴 的 直 线 趋 向 于沿 着 平 行 于设 zyzz 0 xyix yixz 2lim0 ,22lim0 yiyiy 不 存 在 的 导 数所 以 . 2)( yixzf 57 2.可 导 与 连 续 函 数 f (z) 在 z0 处 可 导 则 在 z0 处 一 定 连 续

34、 , 但 函数 f(z) 在 z0 处 连 续 不 一 定 在 z0 处 可 导 .证 , 0 可 导 的 定 义根 据 在 z ,0,0 , |0 时使 得 当 z,)()()( 000 zfz zfzzf有 )()()()( 000 zfz zfzzfz 令 ,0)(lim 0 zz 则 )()( 00 zfzzf 因 为 ,)()(lim 000 zfzzfz 所 以 . )( 0 连 续在即 zzf 证 毕 ,)( )( 0 zzzzf 58 3.求 导 法 则 由 于 复 变 函 数 中 导 数 的 定 义 与 一 元 实 变 函 数中 导 数 的 定 义 在 形 式 上 完 全 一

35、 致 , 并 且 复 变 函数 中 的 极 限 运 算 法 则 也 和 实 变 函 数 中 一 样 , 因而 实 变 函 数 中 的 求 导 法 则 都 可 以 不 加 更 改 地 推广 到 复 变 函 数 中 来 , 且 证 明 方 法 也 是 相 同 的 .求 导 公 式 与 法 则 : . ,0)()1( 为 复 常 数其 中 cc .,)()2( 1 为 正 整 数其 中 nnzz nn 59 ).()()()()3( zgzfzgzf ).()()()()()()4( zgzfzgzfzgzf )0)(.)( )()()()()( )()5( 2 zgzg zgzfzgzfzg zf

36、 )( ).()()()6( zgwzgwfzgf 其 中 0)( , )()( ,)(1)()7( w wzzfwwzf 且函 数两 个 互 为 反 函 数 的 单 值 是与其 中 60 4.微 分 的 概 念 复 变 函 数 微 分 的 概 念 在 形 式 上 与 一 元 实 变 函数 的 微 分 概 念 完 全 一 致 . )( )( , )(,0)(lim ,)()()()( ,)( 00 000 0线 性 部 分 的的 改 变 量是 函 数小 的 高 阶 无 穷是式 中 则可 导在设 函 数 wzfwzzf zzzz zzzzfzfzzfw zzfwz .)( , )( )( 0 0

37、0 zzfdw zzfwzzf 记 作 的 微 分在 点称 为 函 数定 义 61 . )( , 0 0可 微在 则 称 函 数的 微 分 存 在如 果 函 数 在z zfz特 别 地 , , )( 时当 zzf zw dd zzf )( 0 ,z ,d)()(d 00 zzfzzfw 0dd)( 0 zzzwzf 即 .)( 00 可 微 是 等 价 的可 导 与 在在函 数 zzzfw .)( ,)(内 可 微区 域在 则 称内 处 处 可 微区 域在如 果 函 数 Dzf Dzf 62 解 析 函 数 的 概 念 设 函 数 f(z)在 点 z0及 z0某 邻 域 内 处 处 可 导 ，

38、 则 称 函 数 f(z)在点 z0处 解 析 ； 又 若 f(z)在 区 域 B内 的 每 一 点 解 析 ， 则 称 f(z)在 区域 B内 是 解 析 函 数说 明 2. 称 函 数 的 不 解 析 点 为 奇 点1.解 析 与 可 导 的 关 系 函 数 在 某 点 解 析 ， 则 必 在 该 点 可 导 ； 反 之 不 然 在 区 域 B内 的 解 析 函 数 必 在 B内 可 导 例 ： 函 数 2( )f z z只 在 z=0点 可 导 ， 因 而 在 复 平 面 上 处 处 不 解 析f(z)在 点 z0 无 定 义 或 无 确 定 值 ；f(z)在 点 z0 不 连 续 ；f

39、(z)在 点 z0 不 可 导 ；f(z)在 点 z0 可 导 ,但 找 不 到 某 个 邻 域 在 其 内 处 处 可 导 由 解 析 函 数 的 定 义 和 函 数 的 求 导 法 则 可 得 : （ 1） 如 果 函 数 f（ z） 在 区 域 中 解 析 ， 则 它 在 这 个 区 域 中 是 连续 的 。 （ 2） 如 果 f1（ z） 和 f2（ z） 是 区 域 中 的 解 析 函 数 ， 则 其 和 、差 、 积 、 商 （ 商 的 情 形 要 求 分 母 在 内 不 为 零 ） 也 是 该 区 域 中的 解 析 函 数 。 （ 3） 如 果 函 数 =f（ z） 在 区 域

40、内 解 析 ， 而 函 数 w=g（ ） 在区 域 G内 解 析 ， 若 对 于 内 的 每 一 点 z， 函 数 f（ z） 的 值 均 属于 G， 则 函 数 w=gf(z)是 区 域 上 复 变 量 z的 一 个 解 析 函 数 。 （ 4） 如 果 w=f（ z） 是 区 域 上 的 一 个 解 析 函 数 ， 且 在 点 z 0 的 邻 域 中 |f（ z） |0， 则 在 点 w0=f（ z） G的 邻 域 中 函 数 f（ z） 的 值 定 义 一 个 反 函 数 z=（ w） ， 它 是 复 变 量 w的 解 析 函数 。 有 f（ z0） =1/ （ w0） 。 64 可 导

41、 ： 对 任 何 方 向 的 ， 极 限 都 存 在 并 唯 一 。xy z zz zz 复 数 复 函 数 z沿 任 一 曲 线 逼 近 零 。柯 西 黎 曼 方 程0 xx 实 数 x实 数 ： x沿 实 轴 逼 近 零 。因 此 ， 复 函 数 的 可 导 性 是 比 实 函数 的 可 导 性 条 件 强 得 多 。 Q： 当 u， v有 偏 导 时 ， 在 什 么 补 充 条 件 下 ，W=f(z)也 有 导 数 ？ 设 函 数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 区 域 D上 有 定 义 ， 在 D内 一 点 z=x+iy可 导 ， 有 ),(),(),(),( )()(, )

42、()()(lim 0 yxvyyxxvvyxuyyxxuu viuzfzzfyixz zfz zfzzfz 其 中 设 )(lim00 zfyix viuyx 66柯 西 黎 曼 方 程 z沿 实 轴 , y0 xvixuzf )( xvixuzf )(yi viyi uzf )( yuiyvzf )(可 导 ， 要 求 二 者 相 等 xvyu yvxu z沿 虚 轴 , x0 67 解 析 函 数 的 充 分 条 件设 函 数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 若 u(x,y)和 v(x,y)在 B内 满 足条 件内 每 一 点 满 足在 ；内 的 偏 导 数 存 在 且 连 续在

43、和 RiemannCauchy)2( ),(),()1( B Byxvyxu那 么 f(z)在 B内 解 析 （ 证 明 见 教 材 P15-16） 。注 意 ： 解 析 函 数 的 实 部 和 虚 部 满 足 C-R条 件且 都 是 调 和 函 数 （ 调 和 函 数 概 念 及 证 明 见 教材 P17） 解 析 函 数 的 实 部 和 虚 部 通 过 C-R条 件 联 系 着 ， 因 此 ， 只 要 知道 解 析 函 数 的 实 部 （ 或 虚 部 ） ， 就 能 求 出 相 应 的 虚 部 （ 或 实部 ） 。 具 体 可 以 用 以 下 两 种 方 法 求 ： （ 1） 已 知 u求

44、 v， 可 以 从 全 微 分 出 发 ： Cdyxudxyuv dyxudxyudyyvdxxvdv 68 （ 2） 已 知 u求 v， 还 可 以 由 关 系 ， 对 y积 分 来求 ： 当 然 也 可 以 由 关 系 两 边 对 x积 分 ， 类 似上 述 过 程 求 v。 像 解 析 函 数 的 实 部 和 虚 部 这 样 的 两 个 由 C-R条 件联 系 着 的 调 和 函 数 u和 v， 称 为 共 轭 调 和 函 数 。yuxdyxuxxv xdyxuxdyyvv )( )()( xuyv yuxv 69 例 ： 试 证 在 复 平 面 上解 析 ， 且 )sin(cos)(

45、yiyezf x )()( zfzf 证 ： yeyvyexv yeyuyexu yevyeu xx xx xx cos sin sin cos sin cos xvyuyvxu ,这 四 个 偏 导 在 复 平 面 处 处 连 续 ， 且 ：所 以 f(z)在 复 平 面 内 解 析 ， 同 时 )()( zfzf 70注 ： 最 后 的 求 导 利用 P16结 果 71 1.4 初 等 解 析 函 数 , . (cos sin )zxee y i y注意没有幂的意义只是一个符号代表1 指 数 函 数 .)sin(cos . 的 指 数 函 数为称 设 zyiyee iyxzxz 定 义 ;

46、)(,)( zzz eezeb 而 且平 面 上 处 处 解 析在 ;)( 2121 zzzz eeec .2)( 为 周 期 的 周 期 函 数是 以 ied z 这里的e x是实指数函数实的正余弦函数z x z za e e e ye y k k z( )| | 0, arg( ) e 0 Arg( ) 2 , Z 性 质 ： 72 ,sincos yiyeiy 因 为 ,sincos yiye iy 将 两 式 相 加 与 相 减 , 得,2cos iyiy eey .2sin ieey iyiy 现 在 把 余 弦 函 数 和 正 弦 函 数 的 定 义 推 广 到 自 变数 取 复

47、值 的 情 况 . 2 三 角 函 数 73 .,2cos .,2sin 余 弦 函 数正 弦 函 数定 义 称 为称 为iziz iziz eez ieez .cos,sin)1( 是 偶 函 数是 奇 函 数 zz 性 质 .cos)cos(,sin)sin( zzzz .cos)2cos(,sin)2sin( zzzz .sincos)3( zizeiz .2)2( 为 周 期以正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 都 74 , sin , cos . 2y ye ey yi yii 当时(注 意 ： 这 是 与 实 变 函 数 完 全 不 同 的 ) sinz的零点(i.e. sinz=

48、0的根)为z=ncosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(n+1/2)n=0,1, 2,n,2sin 0 0iz iz iz ize ez ei e 2 1 i ze z n n Z (4)(5) sinz,cosz在复数域内均是无界函数 75 .cossintan 正 切 函 数定 义 称 为zzz ).tan()tan(:tan)1( zzz 是 奇 函 数 性 质 .tan)tan( :tan)2( zzz 为 周 期 的 周 期 函 数是 以 ,sincoscot zzz余 切 函 数 ,cos1ec zzs 正 割 函 数 .sin1csc zz余 割 函 数 76 3 双

49、 曲 函 数 .,2ch .,2sh 双 曲 余 弦 函 数双 曲 正 弦 函 数定 义 称 为称 为zz zz eez eez ;sh)sh(:sh)1( zzz 是 奇 函 数 性 质 ;ch)ch(:ch zzz 是 偶 函 数 ;2ch,sh)2( 为 周 期 的 周 期 函 数都 是 以 izz ;sh)(ch,ch)(sh zzzz 且平 面 上 处 处 解 析在 ,ch ,sh )3( zzz ;1shch)4( 22 zz .ch)cos(,sh)sin()5( zizziiz 77 4 对 数 函 数 .Ln , )( )0( zw zfwzzew 记 为称 为 对 数 函

50、数 的 函 数满 足 方 程因 此 Ln ln Argw z z i z ln arg 2z i z k i ).,2,1,0( k所 以支的数 称 为 对 数 函其 中 ),(Ln )arg(arglnln 主 值z zzizz ).,2,1,0(2lnLn kikzz 78 . , , 的 一 个 分 支称 为 可 确 定 一 个 单 值 函 数对 于 每 一 个 固 定 的z kLn ;Ln )1( 是 一 个 无 穷 多 值 的 函 数z性 质 ;LnLnLn,LnLnLn ,0,0)2( 21212121 21 zzzzzzzz zz 则设 且处 解 析 处实 轴 外在 平 面 上

51、除 去 原 点 和 负, ln, )3( z.1)(ln zz 对 数 函 数 的 基 本 运 算 性 质 下 面 等 式 不 再 成 立 而 应 该 是 LnLn)Ln( 2121 zzzz LnLn)/Ln( 2121 zzzz ,Ln2Lnz2 z LnzLn 1n zn ikzizz ikzizz nn 2arg|lnLn ,2arg2|ln2Ln 11n2 79 多 值 函 数 的 概 念 初 等 复 变 多 值 函 数 的 多 值 性 是 由 于 辐 角 的多 值 性 引 起 的 ， 所 以 我 们 先 研 究 辐 角 函 数 ： w=Argz函 数 有 无 穷 个 不 同 的 值

52、 ： 其 中 argz表 示 Argz的 主 值 ：, Argzw 0),( 2argArg zZkkzzw zarg 为 了 研 究 方 便 起 见 ， 我 们 把 幅 角 函 数 在 某 些 区 域 内 分 解 为 一 些 单值 连 续 函 数 ， 每 一 个 单 值 连 续 函 数 称 为 幅 角 函 数 在 这 区 域 内 的 一 个单 值 连 续 分 支 。 考 虑 复 平 面 除 去 负 实 轴 （ 包 括 0） 而 得 的 区 域 D。 显 然 ， 在 D内Argz的 主 值 argz ： 是 一 个 单 值 连 续 函 数 。 对 一 个 固 定 的 整 数 k，也 是 一 个

53、 单 值 连 续 函 数 。 因 此 ， w=Argz在 区 域 D内 可 以 分 解 成 无 穷 多 个 单 值 连 续 函 数 ，它 们 都 是 w=Argz在 D内 的 单 值 连 续 分 支 。 zarg kz 2arg 我 们 研 究 下 图 的 情 形 ： 沿 负 实 轴 的 割 线上 沿下 沿 下 沿上 沿|arg |argzz 00 z不 变 。 一 圈 时 ，绕时 ，z zzzarg 0 00 00 z 2arg 0 00 增 加 或 减 少 一 圈 时 ，绕时 ，z zzz 0z 2arg 00 增 加 或 减 少 一 圈 时 ，绕时 ，z zzz 因 此 ， 对 于 幅

54、角 函 数 w=Argz， 0和 无 穷 远 点 是特 殊 的 两 点 。 在 复 平 面 上 ， 取 连 接 0和 无 穷 远点 的 一 条 无 界 简 单 连 续 曲 线 L作 为 割 线 ， 得 到一 个 区 域 D， 其 边 界 就 是 曲 线 L。 则 可 以 将 argz分 解 成 一 些 连 续 分 支 。 结 论 对 于 幅 角 函 数 w=Argz可 以 分 解 成 无 穷 个 单 值 连 续 分 支 Argz在 C内 上 任 一 点 （ 非 原 点 ） 的 各 值 之 间 的 联 系 ： 通过 作 一 条 简 单 连 续 曲 线 围 绕 0或 无 穷 远 点 ， 让 z从

55、某 点 按一 定 方 向 沿 曲 线 连 续 变 动 若 干 周 后 ， 回 到 该 点 时 ， Argz相 应 地 可 从 幅 角 函 数 的 一 值 连 续 变 动 到 它 在 预 先 指 定 的其 它 任 一 值 ， 即 从 Argz的 一 个 单 值 连 续 分 支 在 该 点 的 值， 连 续 变 动 到 预 先 指 定 的 其 它 单 值 连 续 分 支 在 该 点 的 值。 ),(arg2arg 11 zkz 三 种 对 数 函 数 的 联 系 与 区 别函 数 单 值 与 多 值xln zLnzln 单 值多 值单 值 定 义 域所 有 正 实 数所 有 非 零 复 数所 有

56、非 零 复 数 注 解一 个 单 值时 ，0 xz xln为 zln分 支 为 对 数 函 数 的 每 个 单 值 连 续 分 支 都 是 解 析 的 ， 我 们也 将 它 的 连 续 分 支 称 为 解 析 分 支 。 对 数 函 数 是 一个 无 穷 多 值 解 析 函 数 。 我 们 称 原 点 和 无 穷 远 点 是 对 数 函 数 的 无 穷 阶 支 点（ 对 数 支 点 ） ； 它 们 存 在 以 下 特 点 ： 1、 当 z绕 它 们 连 续 变 化 一 周 时 ， Lnz连 续 变 化 到 其 它 值 ； 2、 不 论 如 何 沿 同 一 方 向 变 化 ， 永 远 不 会 回

57、 到 同 一 个 值 。 的 值 。计 算例 ： )32(Ln i ， 所 以 有，解 ： 因 为 23arctan)32arg(13|32| ii )2k(arctan13ln3i)-Ln(2 23 i 。),2,1,0( )2(arctan13ln 2321 k ki 90 91 5 幂 函 数 : ,0,的 幂 函 数 用 下 列 等 式 定 义对 于是 任 意 复 数设z z定 义 ).0(Ln zezw z .0,0, zz 时补 充 规 定是 正 实 数 时当 ;,ln Ln., )1( ln 的 主 值称 为 幂 函 数时取 主 值 当是 一 个 无 穷 多 值 函 数一 般 说

58、 来 zezz zz z性 质 .)()2( 1 zz 幂 函 数 的 基 本 性 质 3） 当 a取 整 数 n时 ，幂 函 数 是 一 个 单 值 函 数 。 4） 当 a取 1/n（ n为 整 数 ） 时 ，幂 函 数 是 一 个 n值 函 数 。 nzz )2(arg|lnLn 111 kzizz nnn eezw ).1,2,1,0( | 2arg1 nkez n kzn i 92 的 所 有 值 。及计 算 ii21 .2,1,0 )22sin()22cos(1 22)21(ln2122 k kik eee kikiLn 由 定 义 ： .2,1,0 )22( )22()2arg1(ln k e eeei k kiiikiiiiiLnii 解 ： 本 章 小 结 复 数 复 变 函 数 解 析 函 数