理论力学-第2章平面任意力系

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1、1 1. 力 的 平 移 定 理 : 可 以 把 作 用 在 刚 体 上 点 A的 力 F平 行 移 到 任 一 点 B， 但 必 须同 时 附 加 一 个 力 偶 ， 这 个 附 加 力 偶 的 矩 等 于 原 来 的 力 F 对 新作 用 点 B的 矩 。 F = F = F B FMAB Fd FF B AFd M = Fd = M B ( F ) 作 用 在 物 体 上 的 力 的 作 用 线 任 意 分 布 在 同 一 平 面 内 （ 或近 似 分 布 在 同 一 平 面 内 ） 的 力 系 ； 当 物 体 及 所 受 的 力 都 对 称于 同 一 平 面 时 ， 也 为 平 面 任

2、 意 力 系 问 题 。 2 2 .平 面 任 意 力 系 向 作 用 面 内 一 点 简 化 主 矢 和 主 矩o MF1F2o Fn oFnM n F1M1F2M2任 意 点 O 为 简 化 中 心 F1 = F1 ， F2 = F2 ， ， Fn = Fn Mi = Mo ( Fi ) (i = 1， 2， ， n) 平 面 任 意 力 系 等 效 为 两 个 简 单 力 系 ： 平 面 汇 交 力 系和 平 面 力 偶 系 。 F R 3Mo = M1+M2+Mn= FR主 矢 Mo 主 矩 平 面 任 意 力 系 向 作 用 面 内 任 一 点 O简 化 ， 可 得 一 个 力 和

3、一 个力 偶 。 这 个 力 等 于 该 力 系 的 主 矢 ， 作 用 线 通 过 简 化 中 心 O。 这 个力 偶 的 矩 等 于 该 力 系 的 主 矩 。 平 面 汇 交 力 系 可 合 成 为 作 用 线 通 过 点 O的 一 个 力 FRFR = F1+ F2+ Fn = 平 面 力 偶 系 可 合 成 为 一 个 力 偶 ， 这 个 力 偶 的 矩 Mo等 于 各 附 加 力偶 矩 的 代 数 和 ， 又 等 于 原 来 各 力 对 点 O的 矩 的 代 数 和 。 n1i iFn1i iO )(M F o MO F R(31)(32)F1F2o Fn oFnMn F1M1F2

4、M2 4 oF1F2o Fn oFnMn F1M1F2M2 MO F R 取 坐 标 系 Oxy， i， j为 沿 x， y轴 的 单 位 矢 量 ， 则 力 系 主 矢的 解 析 表 达 式 为主 矢 FR的 大 小 和 方 向 余 弦 为主 矩 的 解 析 表 达 式 22 )( )( yx FFFR += FF),cos( RR xiF FF),cos( RR yjF yjxiRyRxR FF+FF=F += n1i n1i iiiiiOO )F-F()(MM xy yxF xyij y xij 5 一 物 体 的 一 端 完 全 固 定 在 另 一 物 体 上 ， 这 种 约束 称 为

5、 固 定 端 或 插 入 端 支 座 F AxFAyMAAA FA MA 6 3. 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果 分 析 简 化 结 果 可 能 有 以 下 几 种 情 况 ， 即 ： （ 1） FR= 0， Mo 0；（ 2） FR 0， Mo = 0； （ 3） FR 0， Mo 0； （ 4） FR= 0， Mo = 0。 FR= 0， Mo 0原 力 系 合 成 为 合 力 偶 ， 合 力 偶 矩 为（ 2） 平 面 任 意 力 系 简 化 为 一 个 合 力 的 情 形原 力 系 简 化 为 一 个 力 ， F R 就 是 原 力 系 的 合 力 ,合 力 作 用线 通

6、 过 简 化 中 心 O。 n1i iOO )(MM F（ 1） 平 面 任 意 力 系 简 化 为 一 个 力 偶 的 情 形(a) FR 0， Mo = 0 7 o FRMo o o o dFRFR FR do o FR 原 力 系 简 化 为 一 个 力 ， 合 力 矢 等 于 主 矢 ； 合 力 的 作 用 线 在点 O的 哪 一 侧 ， 根 据 主 矢 和 主 矩 的 方 向 确 定 ； 合 力 作 用 线 到 点 O的 距 离 为 d。 ROFMd 平 面 任 意 力 系 平 衡 。（ 3） 平 面 任 意 力 系 平 衡 的 情 形(b) FR 0， Mo 0FR= 0， Mo

7、= 0FR = FR = FR 8 平 面 任 意 力 系 的 合 力 矩 定 理由 图 (b), 合 力 FR 对 点 O的 矩 为由 式 （ 32）得合 力 矩 定 理 ： 平 面 任 意 力 系 的 合 力 对 作 用 面 内 任 一 点 的 矩 等 于 力 系 中 各 力 对 同 一 点 的 矩 的 代 数 和 。 n1i )( iOO MM F MO ( FR )=FRd = MO n1i )()( iORO FMFM (b)o FRMo o o o dFRFR FR do o FR(c)(a) 9 例 10 已 知 F1=150N， F2=200N ， F3=300N ， F= F

8、 =200N 。求 力 系 向 点 O的 简 化 结 果 ， 并 求 力 系 合 力 的 大 小 及 其 与 原 点 O的距 离 。解 ： N 437.652 101cos45 3 21 F FFFx N 161.651 103sin453 21 F FFFy F31 2100 20011F1 13 F2 80F FxyOj ijiF 161.6437.6R 10 mN 21.440.08510.2 sin45.0.1)(3 1 FF FFMM OO得 力 系 向 点 O的 简 化 结 果 如 图 （ b); MOF R O xy(b)466.5N )161.6(437.6)( )()( 22

9、 22 yxR FFF 466.5N RR FF合 力 及 其 与 原 点 O的 距 离 如 图 (c) 。mN 21.44 OM 45.96mm ROFMd (c)O xyFR dF31 2100 20011F1 13 F2 80F FxyOj i 11 例 11 水 平 梁 AB受 按 三 角 形 分 布 的 载 荷 作 用 ， 如 图 示 。 载 荷的 最 大 值 为 q， 梁 长 l， 求 合 力 作 用 线 的 位 置 。 解 : 在 梁 上 距 A端 为 x 处 的 载 荷 集 度 为 q(x) = qx/l。 在 此 处取 的 一 微 段 dx， 梁 在 微 段 d x 受 的

10、力 近 似 为 F(x) = qxdx/l。2)( 0 lqdxxqF l 设 合 力 作 用 线 到 A端 的距 离 为 xC ， llqlqxlxqFx lC 3223d1 20 2 x dx q(x)dx l xxxqxF 0c d)( FxcA Bl q梁 由 x=0 到 x=l 的 分 布 载 荷 合 力 为根 据 合 力 矩 定 理 12 小 结1. 力 的 平 移 定 理 :平 移 一 力 的 同 时 必 须 附 加 一 个 力 偶 ， 附 加 力 偶的 矩 等 于 原 来 的 力 对 新 作 用 点 的 矩 。2. 平 面 任 意 力 系 向 平 面 内 任 选 一 点 O简

11、化 :可 得 一 个 力 和 一 个 力偶 。 这 个 力 等 于 该 力 系 的 主 矢 ， 作 用 线 通 过 简 化 中 心 O。 这 个 力偶 的 矩 等 于 该 力 系 的 主 矩 。 jFiFFF yxiR 3. 平 面 任 意 力 系 的 简 化 结 果（ 1） FR= 0， Mo 0,（ 4） FR= 0， Mo = 0,（ 2） FR 0， Mo = 0,（ 3） FR 0， Mo 0, 合 力 偶 ， 合 力 偶 矩 ， 合 力 ， 合 力 作 用 线 通 过 简 化 中 心 O。平 衡 。合 力 ， 合 力 作 用 线 到 简 化 中 心 O的 距 离 为FMd RO )

12、( iOO FMM )( iOO FMM 13 讨 论 平 面 任 意 力 系 的 主 矢 和 主 矩 都 等 于 零 的 情 形 ： FR= 0 Mo = 0 主 矢 等 于 零 ， 表 明 作 用 于 简 化 中 心 O的 汇 交 力 系 为 平 衡 力 系 ；主 矩 等 于 零 ， 表 明 附 加 力 偶 系 也 是 平 衡 力 系 ， 所 以 原 力 系 必 为 平衡 力 系 。 即 上 式 为 平 面 任 意 力 系 平 衡 的 充 分 条 件 。 由 上 节 分 析 结 果 可 知 ： 在 另 外 几 种 情 况 下 力 系 都 不 能 平 衡 ， 只有 当 主 矢 和 主 矩 都

13、 等 于 零 时 ， 力 系 才 能 平 衡 ， 上 式 为 平 面 任 意 力 系平 衡 的 必 要 条 件 。 平 面 任 意 力 系 平 衡 的 充 分 必 要 条 件 ： 力 系 的 主 矢 和 对任 一 点 的 主 矩 都 等 于 零 。 140 xF 0)( FMB 0)( FMA 0 yF（ 或 ） 1.平 衡 条 件 的 解 析 式 (即 平 衡 方 程 ） ： 2. 二 力 矩 式3. 三 力 矩 式 条 件 是 ： A、 B两 点的 连 线 不 能 与 x 轴或 y 轴 垂 直条 件 是 ： A、 B、 C三 点 不 能 共 线0 xF 0 yF 0)( FMO 0)( F

14、MA 0)( FMB 0)( FMC 下 一 页 2223 15 例 12 图 示 水 平 梁 AB， A端 为 固 定 铰 链 支 座 ， B端 为一 滚 动 支 座 。 梁 长 为 4a， 梁 重 P， 作 用 在 梁 的 中 点 C。 在梁 的 AC段 上 受 均 布 载 荷 q作 用 ， 在 梁 的 BC段 上 受 力 偶 作用 ， 力 偶 矩 M = Pa。 求 A和 B处 的 支 座 约 束 力 。 A B4a2a MPq 16 解 ： （ 1） 取 AB梁 为 研 究 对 象 ， 画 受 力 图A B4a2a MPq FBFAxFAy联 解 上 各 式 得 0 xF 0 yF 0

15、)( FMA 0 xAF 02 ByA FpaqF4 2 2 0BF a M p a-q a a aqpFB 2143 aqpF yA 23410 xAF（ 2） 列 静 力 平 衡 方 程 17 例 13 如 图 所 示 平 面 刚 架 AB， 其 上 作 用 有 力 P 和 力偶 M， 力 偶 矩 等 于 Pa， 若 P、 a均 为 已 知 ， 求 A、 B两 处的 约 束 反 力 。 aa aM=PaP A BC 18 解 法 一 ： （ 1） 选 AB为 研 究 对 象 ， 画 受 力 图（ 2） 列 静 力 平 衡 方 程:0 xF :0 yF :0)( FM A aa aM=PaP

16、 A BC RB XA YA0PXA 0 BA RY 0 MaPaRB联 解 上 各 式 得 ： PXA PY A 2 PRB 2 19二 力 矩式 aa aM=PaP A BC RB XA YA解 法 二 ： （ 1） 选 AB为 研 究 对 象 ， 画 受 力 图（ 2） 列 静 力 平 衡 方 程:0 xF :0)( FMA 0PXA 0 MaPaRB联 解 上 各 式 得 ： PX A PYA 2 PRB 2 D:0)( FMD 0 MaPaYA 17 20 :0)( FMD aa aM=PaP A BC RB XA YA D解 法 三 ： （ 1） 选 AB为 研 究 对 象 ， 画

17、 受 力 图（ 2） 列 静 力 平 衡 方 程:0)( FMA 0 MaPaRB联 解 上 各 式 得 ： PX A PYA 2 0 MaPaYA :0)( FMB 02 MaPaYaX AA PRB 2 三 力 矩式 17 21 例 14 自 重 为 P=100KN的 T字 形 刚 架 ABD， 置 于 铅垂 面 内 ， 载 荷 如 图 示 。 其 中 M=20KNm,F=400KN, q=20KNm,l=1m。 求 固 定 端 A的 约 束 力 。MPA DB3l llqF30 22 解 ： T字 形 刚 架 ABD的 受 力 如 图 所 示 。解 方 程 得 0 xF 0 yF 0)(

18、 FM A MPA DB3l llqF30 FAxFAyM A0cos30321 FaqF xA 0sin30 FPF yA 03cos30sin30321 lFlFllqMMA 316.4kN321cos30 aqFFAx 300kNsin30FA FPy 1188kN3cos30sin30321 lFlFllqMMA 23 4. 平 面 平 行 力 系 的 平 衡 条 件 和 平 衡 方 程 xF1 F2 F3 FnyO如 图 ： 物 体 受 平 面 平 行 力 系 F1 ，F2 ， ， Fn的 作 用 。则 平 行 力 系 的 独 立 平 衡 方 程 为 ：如 取 x 轴 与 各 力 垂

19、 直 ， 不 论 力 系 是 否平 衡 ， 恒 有 0 xF 0 yF 0)( FMA 0)( FMA 0)( FMB平 行 力 系 平 衡 方 程 的 二 力 矩 式 ： 24Q W PA B6m 12m2m2m 例 15 塔 式 起 重 机 如 图 所 示 。 机 身 总 重 为 W=220kN， 作 用 线 通过 塔 架 的 中 心 。 最 大 起 重 量 P=50kN， 平 衡 块 重 Q 30kN。 求 ： 满 载和 空 载 时 轨 道 A 、 B的 约 束 反 力 ， 并 问 此 起 重 机 在 使 用 过 程 中 有 无翻 倒 的 危 险 。（ 1） 起 重 机 受 力 图 如

20、图 RA RB（ 2） 列 平 衡 方 程 ：解 ： :0 AM 0)212(24)26( PWRQ B:0 BM 04)212(2)26( ARPWQ解 方 程 得 : PRA 5.2170 PRB 5.380 25 Q W PA B6m 12m2m2mRA RBPRA 5.2170 PRB 5.380 满 载 时 ,P=50kN,则 空 载 时 , P=0,则RA=45kN RB=255kNRA=170kN RB=80kN讨 论 :(a)满 载 时 ， 为 了 保 证 起 重 机 不 致 绕 B点 翻 到 ， 必 须 使 RA0;同 理 ， 空 载 时 ，为 了 保 证 起 重 机 不 致

21、 绕 A点 翻 到 ， 必须 使 RB0;(b)由 上 计 算 知 ： 满 载 时 ， RA=45kN0; 空 载 时 ， R B=80 kN0; 所 以 此 起 重 机 在 使 用 过 程 中 无 翻 倒 的 危 险 。 26 例 16 塔 式 起 重 机 如 图 。 机 架 重 为 P1=700KN， 作 用 线 通 过 塔 架的 中 心 。 最 大 起 重 量 P2=200KN， 最 大 悬 臂 长 为 12m， 轨 道 AB的 间距 为 4m。 平 衡 荷 重 P3， 到 机 中 心 距 离 为 6m。 求 ：（ 1） 保 证 起 重 机 在 满 载和 空 载 时 都 不 致 翻 倒

22、， 平衡 荷 重 P3 为 多 少 ？（ 2） 当 平 衡 荷 重 P3 =180KN时 ， 求 满 载 时 轨 道 A 、 B给起 重 机 轮 子 的 反 力 ？ FA FBP3 P1 P2A B6m 12m2m2m 27 解 ： 选 起 重 机 为 研 究 对 象 。 （ 1） 要 使 起 重 机 不 翻 倒 ， 应 使 作 用 在 起 重 机 上 的 力 系 满 足 平衡 条 件 。 满 载 时 ， 为 使 起 重 机 不 绕 点 B翻 倒 ， 力 系 满 足 平 衡 方程 。 在 临 界 情 况 下 ， FA=0。 求 出 的 P3 值 是 所 允许 的 最 小 值 。 0)(FMB

23、空 载 时 ， 为 使 起 重 机 不 绕 点 A翻 倒 ， 力 系 满 足 平 衡 方程 。 在 临 界 情 况 下 ， F B=0。 求 出 的 P3 值 是 所 允许 的 最 大 值 。 0)(FMA 0)(FMB 02)(1222)(6 213min PPP 75kN)2(1081 123min PPP 0)(FMA 022)(6 13max PP Nk35042 13max PP 28 起 重 机 实 际 工 作 时 不 允 许 处 于 极 限 状 态 ， 要 使 起 重 机 不 翻倒 ， 平 衡 荷 重 P3应 在 两 者 之 间 ， 即 ： 75KNP3 350KN （ 2） 取

24、 P3 =180KN， 求 满 载 时 作 用 于 轮 子 的 反 力 FA和 FB。 由平 面 平 行 力 系 的 平 衡 方 程 ： 0)(FMB 042)(1222)(6 213 BFPPP 870kN)42(1441 312 PPPFB 0)(FMA 0 yF 0321 PPPFF BA解 方 程 得 210kNAF 042)(1222)(6 213 AFPPP 210kN)8210(41 312 PPPFA验 证 ： 29 小 结 0 iF 0 iM 0 xF 0 yF0)( iO FM 0 xF 0 yF 0 yF 0)( FMA 30 由 若 干 个 物 体 组 成 的 系 统

25、称 为 物 体 系 。 物 体 系 中 的 未 知 量 数 目 等 于 独 立 平 衡 方 程 的 数 目 时 ， 所 有未 知 量 都 能 由 平 衡 方 程 求 出 ， 这 样 的 问 题 称 为 问 题 。 物 体 系 中 的 未 知 量 数 目 多 于 独 立 平 衡 方 程 的 数 目 时 ， 未 知量 不 能 全 部 由 平 衡 方 程 求 出 ， 这 样 的 问 题 称 为 问 题 。 外 力 ： 外 界 物 体 作 用 于 系 统 上 的 力 叫 外 力 。 内 力 ： 系 统 内 部 各 物 体 之 间 的 相 互 作 用 力 叫 内 力 。 物 系 平 衡 的 特 点 ：

26、物 系 平 衡 时 ， 物 系 中 每 个 单 体 也 是 平 衡 的 。每 个 单 体 可 列 3个 平 衡 方 程 ， 整 个 系 统 可 列 3n个 方 程 （ 设 物 系 中有 n个 物 体 ） 31 A BFA FBPA BCPFA FBFC A BCPFA FBA BPFA FBFC AA PFAxFAyMA F1 F2BPFAxFAyMA F1 F2FB 32 PF1 F2 FBA BA B FByFBxFAxFAyMA FAxFAyMA P F2F1物 体 系 的 平 衡 问 题 求 解 ： （ 1） 可 以 选 每 个 物 体 为 研 究 对 象 ， 列 出 全 部 平 衡

27、方 程 ， 然后 求 解 ； （ 2） 也 可 先 取 整 体 为 研 究 对 象 ， 列 出 平 衡 方 程 ， 解 出 部 分未 知 量 ， 再 从 系 统 中 选 取 某 些 物 体 为 研 究 对 象 ， 列 出 另 外 的 平衡 方 程 ， 直 至 求 出 所 有 未 知 量 。 33 q0A BC DFP q1m 1m 1m 1m0.5m 0.5m例 17 图 示 组 合 梁 （ 不 计 自 重 ） 由 AC和 CD两 部 分 铰 接而 成 。 已 知 ： F=10kN， P=20kN， 均 布 载 荷 q=5kN/m，梁 的 BD段 受 线 性 分 布 载 荷 ， q0=6kN/

28、m， 求 A和 B处 的 约束 反 力 。 FBFAxFAyMA解 ： （ 1） 选 整 体为 研 究 对 象 。0 xF 0 yF 0)( FM A 0 xAF 01211 0 qqpFFF ByA 0)31(32111.510.52.53 0 qqPFFM BA 34 （ 2） 选 CD为 研 究 对 象 。 FBq0BC DF1m 1m0.5mFCy FCx0)( FMC 0)31(12110.5 0 qFFB解 得 9kN)31(12110.5 0 qFFB 0 xAF 29kNyAF 22.5kNAM 35 例 18 齿 轮 传 动 机 构 如 图 示 。 齿 轮 的 半 径 为 r

29、， 自 重 为 P1。齿 轮 的 半 径 为 R=2r， 其 上 固 结 一 半 径 为 r的 塔 轮 ， 轮 与 轮 共 重 P2=2P1 。 齿 轮 压 力 角 =20 ， 物 体 C重 为 P=20P1 。 求 ： (1) 保 持 物 体 C匀 速 上 升 时 ， 作 用 在 轮 上 力 偶 的 矩 M； （ 2） 光 滑 轴承 A,B的 约 束 力 。 A rB rR C P1P2P M 36 解 （ 1） 选 取 轮 ， 及 重 物 C为 研 究 对 象 。B rR CP P2FBy FBxF FtFr解 得 0F x 0F y 0)(MB F 0FF rB x 0PFPF 2tB

30、y 1rB 3.64PFF x 1t2B 32PFPPF y0RFrP t 由 平 衡 方 程 及 压 力 角 定 义 ,FFtan tr 201t 10PRPrF 1t r 3.64PtanFF 37 A r（ 2） 选 取 轮 为 研 究 对 象 。 FrFt P1 FAxFAy M0F x 0F y 0)(MA F 0FF rA x 0PFF 1tA y 0rFM t 解 得 1rA 3.64PFF x 1t1A 9PFPF y r10PrFM 1t 38 例 19 图 示 钢 结 构 拱 架 由 两 个 相 同 的 钢 架 AC和 BC铰 接 ， 吊车 梁 支 承 在 钢 架 的 D，

31、 E上 。 设 两 钢 架 各 重 为 P=60K N； 吊 车 梁重 为 P1=20K N， 其 作 用 线 通 过 点 C； 载 荷 为 P2=10K N ； 风 力F=10K N 。 尺 寸 如 图 。 D， E两 点 在 力 P的 作 用 线 上 。 求 固 定 铰支 座 A和 B的 约 束 力 。P PP 2 P1F5m 2m 8m2m 2m BA CD E 10m 39 解 （ 1） 选 整 个 拱 架 为 研 究 对 象 ,受 力 如 图 。0F x 0F y 0)(M A F 0FFF BA xx 02PPPFF 12BA yy 06P4P10P2P5F12F 12B y P

32、PP2 P1F 10m5m 2m 8m2m 2m BA CD E xy FAxFAy FByFBX 40 PFCxFCy FByFBXFE BC E4m（ 2） 选 右 边 拱 架 为 研 究 对 象 ， 受 力 如 图0)(MC F 0)F(P4F10F6 EBB xy（ 3） 选 吊 车 梁 为 研 究 对 象 ， 受 力 如 图 D EP 2 P1 FE FD 0)(MD F 0P2P4F8 21E 解 得 12.5KNFE 17.5KNFB x 77.5KNFB y 7.5KNFA x 41 例 20 图 示 构 架 ， 由 直 杆 BC， CD及 直 角 弯 杆 AB组 成 ， 各杆

33、 自 重 不 计 ， 载 荷 分 布 及 尺 寸 如 图 。 销 钉 B穿 透 AB及 BC两 构件 ， 在 销 钉 B上 作 用 一 铅 垂 力 F。 已 知 q， a， M， 且 M=qa2。 求固 定 端 A的 约 束 力 及 销 钉 B对 杆 BC、 杆 AB的 作 用 力 。 A B CDq F q3a aa aM 42 解 （ 1） 选 CD杆 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 示 。 CD qFCxFCyFDy FDx0)(MD F 02aqaFa C x解 得 2qaFC x（ 2） 选 BC杆 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 示 。MB C F Cx F

34、Cy FBCx FBCy0F x 0FF CBC xx0)(MC F 0MFa BC y解 得 2qaFF CBC xx qaaMFBC y 43 （ 3） 选 销 钉 B为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 示 。 BF FBCx FBCy FBAx FBAy 0F x 0F y 0FF BCBA xx 0FFF BCBA yy解 得 2qaFF BCBA xx FqaFFF BCBA yy即 销 钉 B对 杆 AB的 作 用 力 为 ：2qaFF BABA xx FqaFF BABA yy 44 （ 4） 选 直 角 弯 杆 AB为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 示 。 A

35、 Bq F AxFAy FBAx FBAyMA 0F x 0F y 0)(MA F 0F - 3aq21F BAA =+ xx 0FF BAA yy 0F3aFaa3aq21M BABAA xy解 得 aqFA x qaFFF BAA yy aF)a(qM A 45 例 21 图 示 一 结 构 由 AB、 BC 与 CE 三 个 构 件 构 成 。 E 处 有 一滑 轮 ， 细 绳 通 过 该 轮 悬 挂 一 重 为 1.2 kN 的 重 物 。 尺 寸 如 图 ， 不 计杆 件 与 滑 轮 的 重 量 。 求 支 座 A和 B处 的 约 束 反 力 ， 以 及 杆 BC 的 内力 FBC。

36、 A BCDE1.5m2m 2m1.5m解 ： （ 1） 选 整 体 为 研 究 对 象 ， 其 受力 如 图 所 示 。 FAy F F BFAx0F x 0F y 0)(MA F 0FFA x 0PFF BA y 0r)P(2r)F(1.54FB P 46（ 2） 取 ADB杆 为 研 究 对 象 ， 其 受 力如 图 所 示 。 A BDFAy FBFAx FDxFDy FBC0)(MD F 0F5322F2F BBA Cy 1.5KNF(F35F B)AyB C解 得 式 中 r为 轮 的 半 径 ， 细 绳 拉 力 F=P。解 得 1.2KNFA x 0.15KNFPF BA y 1

37、.05KNP43.5FB 47 思 考 题 怎 样 判 断 问 题 ？ 图 中 哪 些 是 问题 ， 哪 些 是 问 题 ？P P P(a) (b) (c)F A B A BF BA F(d) (e) (f) 48 桁 架 是 一 种 由 细 长 杆 在 其 两 端 用 铰 链 连 接 而 成的 结 构 ， 几 何 形 状 不 变 。 如 果 桁 架 所 有 杆 件 的 轴 线 与 其 受 到 的 载 荷 均 在 一个 平 面 内 ， 称 此 类 桁 架 为 平 面 桁 架 ， 否 则 称 为 空 间 桁架 。 本 节 的 研 究 对 象 为 平 面 桁 架 。 49 1、 平 面 桁 架 的

38、 静 力 学 模 型 (1) 桁 架 的 杆 件 都 是 直 的 ；构 成 桁 架 的 杆 件 均 为 二 力 杆（ 3） 桁 架 所 受 的 力 (载 荷 )都 作 用 在 节 点 上 ， 且 在 桁架 的 平 面 内 ； (2) 杆 件 用 光 滑 的 圆 柱 铰 链 连 接 。 桁 架 中 杆 件 的 铰链 接 头 称 为 节 点 ；（ 4） 杆 件 的 自 重 不 计 ， 或 平 均 分 配 到 杆 件 两 端 的 节点 上 。 50 2、 简 单 平 面 桁 架 的 构 成 平 面 桁 架 先 由 三 根 杆 与 三 个 节 点 构 成 一 个 三 角 形 ， 以 后 每增 加 一

39、个 节 点 增 加 两 个 杆 件 ， 从 而 得 到 几 何 形 状 不 变 的 结 构简 单 平 面 桁 架 。 (a) (b) 将 构 件 数 与 节 点 数 分 别 记 为 n 与 m， 根 据 上 述 的 规 则 ， 它 们 有 如 下 的 关 系32)3(23 mmn 对 于 简 单 平 面 桁 架 ， 每 个 节 点 受 到 的 是 一 个 平 面 汇 交 力 系 ， 存 在 两个 平 衡 方 程 。 因 此 共 有 独 立 的 平 衡 方 程 2m 个 。 由 上 式 可 知 ，它 可 以 求 解 n+3 个 未 知 数 。 如 果 支 承 桁 架 的 约 束 力 的 个 数

40、为 3， 平 面 桁 架 的 n 个 杆 件 内力 可 解 ， 故 简 单 平 面 桁 架 问 题 是 静 定 的 。 显 然 ， 如 果 在 简 单 平 面桁 架 上 再 增 加 杆 件 或 支 承 约 束 力 超 过 3， 则 使 该 静 力 学 问 题 由 静定 变 为 静 不 定 。 51 3、 桁 架 的 内 力 计 算 桁 架 都 是 二 力 杆 ， 其 内 力 一 定 沿杆 的 轴 线 方 向 ， 因 此 ， 内 力 为 拉 力或 压 力 。 统 一 设 拉 为 正 、 压 为 负 。# 内 力 计 算 的 节 点 法 ： 利 用 各 个 节 点 的平 衡 方 程 计 算 杆 的

41、 内 力 。# 内 力 计 算 的 截 面 法 ： 将 桁 架 部 分 杆 切断 ， 利 用 桁 架 子 系 统 的 平 衡 方 程 计 算 杆 的 内 力 。 FF (c)(a)F F(b) 52 例 22 平 面 悬 臂 桁 架 所 受 的 载 荷 如 图 所 示 。 求 各杆 的 内 力 。 AB CD E123456a a30F F解 （ 1） 选 节 点 E为 研 究 对 象 ，受 力 图 如 图 (b) 。0 xF 0 c 21 03os FF0 yF 0 sin302 FF（ 2） 选 节 点 C为 研 究 对 象 ， 受 力图 如 图 (c) 。0 xF 0 14 FF0 yF

42、 03 FFFF 2 2 FF 3 1 FFF 314 FF 3 FEF1F2 (b)F F1CF4 F 3(c) 53 （ 3） 选 节 点 D为 研 究 对 象， 受 力 图 如 图 (d) 。 AB CD E123456a a30F F0F x 0F y 0 60FF60FF 5632 COSCOS 0 60F60F 53 SinSin FF F 35 3F60)FF(FF 5326 COS D F2F3F5F6 xy (d) 54 例 23 平 面 悬 臂 桁 架 所 受 的 载 荷 如 图 (a)所 示 。 求 杆 1,2,3的 内 力 。解 （ 1） 用 I-I截 面 将 桁 架

43、截开 ， 取 桁 架 右 半 部 为 研 究 对象 。 其 受 力 图 如 图 (b) 所 示 。 II 2m 2m 2m 2m1 2 3F F F FF1 F2 FNC D(b)F F F F 2m 2m 2m 2m 3m AB 1 2 3(a)0)(MC F 0)(MD F 06F4F2F3F43 1 02F4FF)6(F2 2FF2 5.333FF316F1 （ 2） 选 节 点 E为 研 究 对 象 ， 受 力图 如 图 (c) 所 示 。0F y 0FF53F 32 1.667FF35F3 EF1F1 2 F23 F3(c) 55 例 24 如 图 所 示 桁 架 ， F=5kN，

44、b =1.5m。 求 杆 1、 2和 6的 内 力 。 0bF2bF3bF6bF B y5kNFFB y0F Ax 03FFF BA yy 10kNF3FF BA yy0F x 0F y 0)(MA F解 （ 1） 以 桁 架 整 体 为 对 象 ， 计 算 支 座 的 约 束 反 力 ： b b b b b bA B1 23 45 67 891112 10 CD bF F FFAyFAx FBy 56 （ 2） 计 算 杆 1的 内 力 ： 选 节 点 A为 研 究 对象 ， 受 力 图 如 图 (b) 1.581m/9bb 221 l 杆 1的 长 度 为 ： 01.5810.5FF 1A

45、 y 31.62kN0.51.581FF A1 y0F y F F F b b b b b bA B1 23 45 67 891112 10 CD bFAx FAy FByFAx FAy F3A F1(b) 57 （ 3） 计 算 杆 2 的 内 力 ： 用 I-I截 面 将 桁 架 截 开 ， 取 桁 架 左 半 部 为研 究 对 象 。 其 受 力 图 如 图 (c) 。1.803m/94bb 222 lF2对 点 A 的 力 臂 ： 2.496m2b/33bh 2 l 0hFbF2bF 29.01kNh3bFF2 （ 4） 计 算 杆 6 的 内 力 ： 以 节 点 C 为对 象 ， 其

46、 受 力 图 如 图 (d)。 0NF 6 杆 2 的 长 度 为 ：0)(MA F0F y IIF Ax FAyA 1 23 45 F2F5F F F4h(c) F7 F6 F8C (d)F F b b b b b bA B1 23 45 67 891112 10 CD bFAx FAy FByF 58 4、 零 杆 问 题 的 讨 论 桁 架 中 内 力 为 零 的 杆 件 称 为 零 杆 。 如上 例 的 杆 6。 零 杆 的 判 断 对 桁 架 内 力 的 计算 具 有 积 极 的 意 义 。 利 用 节 点 法 不 难 得 到判 断 零 杆 的 结 论 ： v一 节 点 上 有 三

47、根 杆 件 ， 如 果 节 点 上 无 外 力 的 作 用 ，其 中 两 根 共 线 ， 则 另 一 杆 为 零 杆 (见 图 c： F 5=0) ； v一 节 点 上 只 有 两 根 不 共 线 杆 件 ，如 果 节 点 上 无 外 力 的 作 用 ， 则 两 杆件 均 为 零 杆 (见 图 a： F1=0， F2=0)； v一 节 点 上 只 有 两 根 不 共 线 杆 件 ， 如果 作 用 在 节 点 上 的 外 力 沿 其 中 一 杆 ，则 另 一 杆 为 零 杆 (见 图 b： F4=0)； F 3 (c) F1F2 F5F 4F6 FA BC(a)(b) F7 59 上 例 中 已 知 杆 6为 零 杆 ， 考 虑 节 点 D， 由 结 论 (1)，可 知 杆 9为 零 杆 。 同 理 可 推 知 ， 杆 11与 12也 为 零 杆 。 F F F b b b b b bA B1 23 45 67 891112 10 CD bFAx FAy FBy 41 2 35F F 左 图 中 ， 可 知 杆 1 、 2 、 3 4为 零 杆 。 60 例 25 已 知 P d,求 ： a.b.c.d四 杆 的 内 力 ？ 解 ： 由 零 杆 判 式 0 adc SSS研 究 A点 ： 0Y由 045cos PS ob PSb 2 61