角的平分线的性质教案

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1、角的平分线的性质教案 证明:过P点作PAB，PFAC,BC，其中D、E、F是垂足. BM是ABC的角平分线，点在BM上， D=P(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理:P=PF. PD=PF. 点P在C的平分线上(在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上). C的三条角平分线相交于点P. 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢 (DPPF,即这个交点到三角形三边的距离相等.) 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论,即定理三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 下面我通过列表来比较三角形三

2、边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 问题2 分析：本例需要运用前面所学的多个定理,而且将计算和证明融合在一起,目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题第（)问中,求AC的长,需求出的长,而BC=C+D,CD=4 In,而BD在等腰直角三角形DBE中,根据角平分线的性质,DE=CD=m,再根据勾股定理便可求出DB的长第(2)问中,求证AB=AC+C.这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想BAE+E，所以需证=AE,CD=BE. （1）解:D是AB的角平分线， C=90,DEA =CD=m(角平分线上的点到这个角两边的距离相等) AC=C (等边对等角）

3、C=90， B=1/9=45. BD94=45 BE=(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中 BD=DE2=4 2 m（勾股定理)， AC=CCD+D=(4+4）c (2）证明:由(1）的求解过程可知, RtADRt(H定理) ACAE. BED=D, B=+E=AC+C. 例2已知:如图，P是么O平分线上的一点，POA，DOB，垂足分别为C、D 求证:（1)OC=O; ()P是C的垂直平分线. 证明:(1)P是AO角平分线上的一点,PA,PDOB， PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). 在RtOPC和RtPD中， OP=,PC=P， RtOCRtO(HL定理). OC=OD(

4、全等三角形对应边相等). (）又O是AOB的角平分线, P是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理). 思考:图中还有哪些相等的线段和角呢 (四)课时小结 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点,且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题. (五)课后作业 习题1第1、2题 四、板书设计 角平分线性质 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 五、教学反思 角的平分线的性质教案 一、内容和内容解析 (一）内容 角的平分线的性质 （二)内

5、容解析 本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续.用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质;角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质.角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式利用角平分线构造两个全等的直角三角形,进而证明相关元素相应相等. 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征,也是证明两条线段相等的常用方法.数学问题中涉及角的平分线时,就相当于已知一对线段(角的平分线上的点到角的两边的垂线段)相等.角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的

6、性质提供了思路和方法. 因此它既是对前面所学知识的应用,又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用.因此本节课在教材中占有非常重要的地位. 基于以上分析,确定本节课的教学重点:探索并证明角的平分线的性质. 二、目标和目标解析 （一)目标 .会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性 2.探索并证明角的平分线的性质. 3.能用角的平分线的性质解决简单问题 (二)目标解析 达成目标1的标志是:学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线. 达成目标的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法,发现角的平分线的性质,能准确表述性质的

7、内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质. 达成目标3的标志是:学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题. 三、教学问题诊断分析 本节课的学习中,学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时,不知“距离”应为“条件”还是“结论”.其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性.教学时,教师要引导学生分析性质中的条件和结论(必要时可让学生将性质改写成“如果那么”的形式)，找出结论中的隐含条件(垂

8、直)，正确写出已知和求证,并归纳出证明几何命题的一般步骤. 基于以上分析,本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质. 四、教学过程设计 (一)创设情景，提出问题 如图是小明制作的风筝，B=AD，BC=C不用度量，就知道AC是DAB的角平分线，你知道其中的道理吗 师生活动:学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课. 角的平分线的性质教案4 一、教学内容分析： 本节课是在刚学习完三角形全等的判定，利用平分角的仪器情境引入。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质、用数学语言表述角平分线及初步应用，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。 二、学生情况分析： 在学

9、生能利用定义、SSS、S、AS、AA、H判定两个三角形全等前提下,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线（不用角平分仪或量角器)能直观认识。学生自己动手实践,观察，组织讨论等方法，多媒体引导,以学生为主,给学生提供足够的活动时间,充分发挥他们的个性,让学生在实践中感受知识的力量,在探索中创新。 三、教学目标与重点: 教学目标 1、经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理。 、会用尺规作角平分线的作法。 、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。 教学重、难点 1、掌握角的平分线的性质定理。 、用数学语言表述角平分线 、角平分线定理的应用。 四、教学过程：探究活动1:

10、不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法学生讨论、动手。(对折) 师：再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系 探究活动2： 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢 已知：一个角平分仪，其中B=AD,C=DC。将点A放在角的顶点,AB和A沿着角的两边放下,沿C画一条射线A,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗证明：在ACD和AB中 DAB(已知) DB(已知) ACA(公共边) ACD A（SSS) CAD=CAB(全等三角形的对应边相等) AC平分DB(角平分线的定义) 探究活动3： 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线(不用角平分仪或量角器)

11、 探究活动4： 探究角平分线的性质 ()实验：将A对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 （2)猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 (）已知：如图，OC平分AB，点P在C上，DOA于点D，POB于点求证: PD=PE 证明: O 平 分 AOB ( 已知) AO= COB（角平分线的定义) PD OA，E OB（已知) DO= PEO(垂直的定义) 在PO和PO中 PDOEO(已证) AO= O (已证) OP=OP (公共边） PDO PEO(AAS) PD（全等三角形的对应边相等) ()得到角平分线的性质： 角平分

12、线上的点到角两边的距离相等。 2， D A，E OB(已知) PD（全等三角形的对应边相等)活动5: 学生展示,巩固角平分线的性质 、AB的角平分线BE、CF相交于一点O,求证：点到三边B、BC、A的距离相等. 2、在RtB中，BD平分AC,EAB于，则图中相等的线段有哪些相等的角呢 哪条线段与D相等为什么 若AB0，BC，AC，求B，AE的长和AED的周长。 3、如图:在ABC中,90，AD是BAC的平分线，E于E，F在AC上,CFE;求证:BD 4、已知:如图, AD平分BAC , EAC于E，CFB于F,BE、F相B交于D. B E A D C求证： BD=C 。 本节小结 1、情境观察

13、作图应用探究再应用 2、知识小结: 本节课学习了那些知识有哪些运用你学了吗做了吗用了吗 用尺规作角的平分线定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. C是AOB的平分线， P是C上任意一点PDOA,PEOB,垂足分别是D,(已知) =PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等) 角的平分线的性质教案5 【设计理念】 数学课堂是以学生为中心的活动的课堂，通过学生动手实践、自主探索、合作交流的过程，达到知识的构建,能力的培养和意识的创新及情感的陶冶,这也是实现数学教育从“文本教育”回归到“人本教育”。 【教材分析及教法】 角平分线的性质是人教版八年级数学上第十一章全等三角形第三节第一课时。它是在

14、学生已经掌握全等三角形的性质与判定基础上继续探究的一节新授课。学好本节内容是进一步学习轴对称和直角三角形知识的基础,在教材中起承前启后的作用。 本课以教师为指导，以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的,采用以探究式教学法和直观演示法为主的教学方法，注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣,引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。 【学情分析及学法】 因为学生课前已经自学了本节课的内容对本节课的知识已经有了初步的了解,并且已经掌握了角分线的定义,全等三角形等知识。这样有利于他们类比学习本节内容。初二学生有一定的观察分析能力、

15、逻辑思维能力和数形结合的能力，但对于角分线的特点具有的性质及逆定理比较模糊。在教学中通过分组讨论和多媒体演示能有效解决上述问题。 本节力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式。引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的点拨使观察、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。 【教学目标】 知识与技能：掌握角平分线的性质和判定，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题. 过程与方法:经历探究角平分线性质判定的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理力.了解角平分线的性质在生活、生产中的应用, 进一步发展学生的推理证明意识和能力。 情感

16、、态度、价值观：结合实际，创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心。 【教学重难点】 重点:角平分线性质和判定的应用 难点:运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题. 【课时安排】 课时 【教学设计策略】 依据教学目标和学生的特点,依据教学时间和效率的要求,在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略： 1、回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程。 2、原则性和灵活性相结合,既要完成教学计划，在教学过程中又可以根据现实的情况,安排问题的难度，体现一些灵活性。 3、教学的形式上注重个体化,

17、充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学习的参与性，努力避免以教师活动为主体的教学过程。 【教学效果预测】 本课设计力求让学生参与知识的发现过程,体现以学生为主体,以促进学生发展为本的教学理念,变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体，直观教具演示，营造一个声像同步，能动能静的教学情景，给学生提供一个探索的空间,促使学生主动参与,亲身体验探索过程，从而锻炼思维、激发创造,优化课堂教学。努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人,培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。 【教学过程】 一、导入新课 创设情境,提出问题 如图，要在区建一个集贸

18、市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处00米。这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置, 比例尺为1：20_(请自填)） 问题: 1、集贸市场建于何处 比例尺为 1:20_(请自填)是 2、比例尺为:20_（请自填)0是什么意思 什么意思 你能在图上找出S点的位置吗 答案 、这个集贸市场应该建在公路 与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处 、在纸上画图时，我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了1m=100cm,所以比例尺为:20_(请自填)0,其实就是图中cm表示实际距离200m的意思.作图如下: 第一步:尺规作图法作出OB的平

19、分线P 第二步:在射线OP上截取C=2.5cm，确定C点，点就是集贸市场所建地了. 设计意图通过实际问题的引入，让学生从生活中发现数学问题,激发学生的求知欲.通过对数学问题的讨论使学生知道数学来源于生活，生活离不开数学,激发学生学习的积极性. 二、探索新知 、问题：角平分线性质逆命题是否正确呢你能 B给出证明吗 E答案已知:如图,QDO,EB，点D、E为垂足,QD=QE. Q求证：点在AB的平分线上 证明:QDOA,QEOB QEO=9,QD=0 又D=QE ,OQ=OQ RtQEORDOQ=O 点Q在A的平分线上. 设计意图通过该问题让学生确信逆命题的正确性,并让学生试口述该性质,加深学生的

20、印象.这个提问设置为学生区分用哪个性质给出了说明,同时又验证了学生猜想的正确性,使学生获得成功的体验. 2、揭示课题,整理概念,板书点在角的平分线上 用符号语言表示为： 角的内部到角的两边距离相等的 QDOA，QEOB，QD=QE. A 点在B的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 OA，QEB,点Q在AOB的平分线上 D=QE. 总结:应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题 3、出示例题 如图，AC的角平分线BM、CN相交于点.求证:点P到三边AB、CA的距离相等. 点拨方法点到

21、AB、BC、C的垂线段PD、E、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=.而BM、N分别是B、的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题 证明：过点作P,PEBC，PFAC，垂足为、E、F.BM是ABC的角平分线，点在BM上 PDP. D同理PE=PF NPPD=PE=PF 即点P到三边AB、C、CA的距离相等 B探究：连接AP,请问AP平分C吗(能否给出简单证明) 设计意图该例题运用了角平分线的两个性质,起到巩固新 知的作用. 三、课堂反馈训练 1、已知：如下图，在B的外角CBD l1和BC的平分线相交于点F，求证：点lS2在DAE的平分线上. S4S1l2 A

22、 SG BC MDEFEMC 点拨方法要证明点在角平分线上,那就是要证明点到角两边的距离相等,那应该用用什么方法呢 答案 证明:过点F作GBC,FME,FNAD垂足分别为G、M、.F、FC分别为CBD、C的角平分线 G = FN， FG=FMFNFM点F在AE的平分线上. 2、如下图所示,直线l 1、 、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有: () A.一处 B.两处C三处 D.四处 点拨方法如上图此题可以用教科书115页第题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平地上修建”的限制,因此满足要求的地址共有四处. 答案D 设计意图引导

23、学生对问题进行变式，既培养学生发散性思维能力,同时也培养学生的辨别能力,让学生学会比较，养成良好的学习习惯，培养严谨的思维能力 四、小结归纳 今天你又学到了哪些新的知识有什么收获设计意图发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力. 五、堂堂清练习 、必做题:教科书第22页习题113第 3、题 2、选做题： (1)与相交的两条直线距离相等的点在：( ) A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上C.一条射线上D.两条互相垂直的射线上 答案 B 3、备选题： 如图，在AB中,AB=C,D是BC的角平分线，DEAB，FAC,垂足分 别为E、F，下面给出四个结论：DA平分EDF;E=A;AD上的点到、C两点

24、的距离相等;到AE、AF距离相等的点,到DE、 的距离也相等，其中正确的结论有：( )A.个B.2个 C3个 D.4个 答案DAFE CD 六、板书设计 【教学反思】 在设计这节课时，我想如果在一节课的时间里把性质和判定学完，那只能是把本节课设计为探究课,而对于性质与判定的应用只能放在下一节课，于是我把这节课设计为探究课，把对角平分线的性质与判定定理的探索作为本节课的重点。本节课的教学方法是启发探究式。为了增加课堂密度和教学效果以及突破本节课的教学难点，我运 、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律,精心创设问题和反馈练习,由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。 用几何画板和幻灯片制作了课件，以增加学生对角平分线上任意一点的理解。在学生探究角平分线的性质与判定时,我分别创设了情境，一是为了给学生的探究搭建平台，培养学生的动手操作能力。二是为使学生感受到数学知识来源于实际并应用于实际。同时也体现了新课程标准下的课堂应体现学生的主体性。 【教学评价】 1、本节课以学生已学知识为载体，以展示思维过程为主线，以探索猜测为途径,突出能力培养和数学思想方法的渗透。 2、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律,精心创设问题和反馈练习，由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。