中考数学压轴题汇编(几何1)解析版

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1、（ 2019 年安徽 23 题）23（ 14 分）如图， RtABC 中， ACB 90， ACBC ，P 为 ABC 内部一点，且 APB BPC 135（ 1）求证： PAB PBC；（ 2）求证： PA 2PC；（ 3）若点 P 到三角形的边AB， BC， CA 的距离分别为 h1 23，求证 h12 h23， h，h?h 【分析】（ 1）利用等式的性质判断出PBC PAB，即可得出结论；（ 2）由（ 1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（ 3）先判断出Rt AEP RtCDP ，得出，即 h3 2h2，再由 PAB PBC，判断出，即可得出结论【解答】 解：（ 1） ACB 90，

2、 AB BC， ABC 45 PBA+ PBC又 APB135， PAB+ PBA 45 PBC PAB又 APB BPC135， PAB PBC（ 2） PAB PBC在 RtABC 中， AB AC， PA 2PC（ 3）如图，过点 P 作 PD BC， PE AC 交 BC、 AC 于点 D ，E， PF h1， PD h2，PE h3， CPB+ APB 135 +135 270 APC 90， EAP+ ACP 90，又 ACB ACP+ PCD 90 EAP PCD ， RtAEP Rt CDP，即， h3 2h2 PAB PBC ，即： h12 h2?h3【点评】 此题主要考查了

3、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAP PCD 是解本题的关键（2019年北京27 题）27（ 7 分）已知 AOB30， H 为射线 OA 上一定点， OH M 为线段 OH 上一动点，连接PM，满足 OMP 为钝角，以点时针旋转150，得到线段PN，连接 ON（ 1）依题意补全图1；（ 2）求证： OMP OPN；+1，P 为射线 OB P 为中心，将线段上一点，PM 顺（ 3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON QP，并证明【分析】（ 1）根据题意画出图形（ 2）由旋转可得 MPN 150，故 OPN

4、150 OPM ；由 AOB 30和三角形内角和 180可得 OMP 180 30 OPM 150 OPM ，得证（ 3）根据题意画出图形，以 ONQP 为已知条件反推OP 的长度 由（ 2）的结论 OMP OPN 联想到其补角相等，又因为旋转有PM PN，已具备一边一角相等，过点N 作NC OB 于点 C，过点 P 作 PD OA 于点 D，即可构造出 PDM NCP，进而得 PD NC， DM CP此时加上 ON QP，则易证得 OCN QDP，所以 OC QD利用 AOB 30，设 PD NC a，则 OP 2a，OD a再设 DM CP x，所以 QD OC OP+PC 2a+x， M

5、Q DM +QD 2a+2x由于点 M、 Q 关于点 H 对称，即点 H 为MQ中点，故 MH MQ a+x，DH MH DM a，所以OH OD+DH a+a+1，求得 a 1，故 OP 2证明过程则把推理过程反过来，以证得 ON QP【解答】 解：（ 1）如图 1 所示为所求OP2 为条件，利用构造全等（ 2）设 OPM ，线段 PM 绕点 P 顺时针旋转150得到线段PN MPN 150， PM PN OPN MPN OPM 150 AOB 30 OMP 180 AOB OPM 180 30 150 OMP OPN（ 3）OP2 时，总有ON QP，证明如下：过点 N 作 NC OB 于

6、点 C，过点 P 作 PD OA 于点 D ，如图 2 NCP PDM PDQ 90 AOB 30， OP 2 PD OP 1 OD OH +1 DH OH OD1 OMP OPN 180 OMP 180 OPN 即 PMD NPC在 PDM 与 NCP 中 PDM NCP（ AAS） PD NC，DM CP设 DM CP x，则 OC OP+PC 2+ x，MH MD +DH x+1点 M 关于点 H 的对称点为 Q HQ MH x+1 DQ DH +HQ 1+x+1 2+x OC DQ在 OCN 与 QDP 中 OCN QDP （ SAS） ON QP【点评】 本题考查了根据题意画图，旋转

7、的性质，三角形内角和 180，勾股定理，全等三角形的判定和性质， 中心对称的性质第 （ 3）题的解题思路是以 ON QP 为条件反推 OP 的长度，并结合（ 2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以 OP2 为条件构造全等证明 ON QP（ 2019 年北京 28 题）28（ 7 分）在 ABC的内部或边上，则称中， D，E 分别是 ABC 两边的中点，如果为 ABC 的中内弧例如，图1 中上的所有点都在ABC是 ABC 的一条中内弧（ 1）如图 2，在 Rt ABC 中， ABAC ， D ，E 分别是 AB， AC 的中点，画出ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（ 2）在平面直角

8、坐标系中，已知点 A（ 0， 2）， B（ 0， 0），C（ 4t，0）（t 0），在 ABC 中， D， E 分别是 AB，AC 的中点 若 t，求 ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； 若在 ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在 ABC 的内部或边上，直接写出 t 的取值范围【分析】（ 1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE 2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以 DE 为直径的圆周长的一半；（ 2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上， 当 t 时，要注意圆心 P 在 DE 上方的中垂线上均符合要求，在 DE 下方时必须 AC 与

9、半径 PE 的夹角 AEP满足 90 AEP 135； 根据题意， t 的最大值即圆心P 在 AC 上时求得的 t 值【解答】 解：（ 1）如图2，以 DE 为直径的半圆弧，就是 ABC 的最长的中内弧，连接 DE ， A 90， AB AC， D， E 分别是 AB， AC 的中点， BC 4， DE BC 4 2，弧 2 ；（ 2）如图 3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作 DE垂直平分线 FP，作 EG AC 交 FP 于 G， 当 t时， C（ 2， 0）， D（ 0， 1）， E（ 1，1）， F （， 1），设 P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆

10、心线段DE 上方射线 FP 上均可， m 1， OA OC， AOC90 ACO 45， DE OC AED ACO 45作 EG AC 交直线 FP 于 G， FG EF 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G）直线 FP 上时也符合要求； m综上所述， m或 m1 如图 4，设圆心P 在 AC 上， P 在 DE 中垂线上， P 为 AE 中点，作PM OC 于 M，则 PM， P（ t，）， DE BC ADE AOB 90 AE， PD PE， AED PDE AED+ DAE PDE +ADP 90， DAE ADP AP PD PE AE由三角形中内弧定义知，PD

11、PMAE， AE 3，即 3，解得： t， t 0 0 t【点评】 此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题（ 2019 年福建 24 题）24（ 12 分）如图，四边形ABCD 内接于 O， AB AC， AC BD，垂足为E，点 F 在 BD的延长线上，且DF DC，连接 AF、 CF（ 1）求证： BAC 2 CAD ；（ 2）若 AF 10， BC 4，求 tan BAD 的值【分析】（ 1）根据等腰三角形的性质得出ABC ACB ，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可得到 ABC ADB

12、 ，根据三角形内角和定理得到ABC （180 BAC） 90 BAC， ADB 90 CAD，从而得到 BAC CAD，即可证得结论；（ 2）易证得 BC CF 4 ，即可证得 AC 垂直平分 BF，证得 AB AF 10，根据勾股定理求得 AE、 CE、 BE，根据相交弦定理求得 DE ，即可求得 BD，然后根据三角形面积公式求得 DH ，进而求得 AH ，解直角三角函数求得 tan BAD 的值【解答】 解：（ 1） AB AC， ABC ACB， ABC ADB ， ABC（ 180 BAC） 90 BAC， BD AC， ADB 90 CAD ， BAC CAD， BAC 2 CAD；

13、（ 2）解： DF DC， DFC DCF ， BDC 2DFC ， BFC BDC BAC FBC ， CB CF，又 BD AC， AC 是线段 BF 的中垂线， AB AF 10， AC10又 BC 4 ，设 AE x， CE10 x，由 AB2 AE2BC2CE 2，得 100 x2 80（ 10 x） 2，解得 x6， AE 6， BE8， CE 4， DE3， BD BE+DE 3+8 11，作 DH AB，垂足为 H ， AB?DH BD?AE， DH ， BH， AH AB BH 10 ， tan BAD 【点评】 本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆

14、心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题（2019 年甘肃兰州27 题）27（ 10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在 RtABC， ACB 90，将斜边AB 绕点 A 顺时针旋转90得到 AD，过点 D作 DE AC 于点 E，可以推理得到 ABC DAE ，进而得到 ACDE ， BC AE我们把这个数学模型成为“ K 型”推理过程如下：【模型应用】如图，在 Rt ABC 内接于 O， ACB90， BC 2，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到 AD ，过点 D 作 DE

15、 AC 于点 E，DAE ABC，DE 1，连接 DO 交 O 于点 F（ 1）求证： AD 是 O 的切线；（ 2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB 求证： FG 2 GO?GB【分析】（ 1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O 在 AB 上， AB 为 O 直径，故只需证 AD AB 即可由 ABC+ BAC 90和 DAE ABC 可证得 DAE + BAC 90，而 E、 A、 C 在同一直线上，用 180减去 90即为 BAD 90，得证（ 2）依题意画出图形，由要证的结论FG 2GO?GB 联想到对应边成比例，所以需证FGO BGF 其中 FGO BGF 为公共角，

16、即需证FOG BFG BFG 为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC 后有 BFG BOC，问题又转化为证FOG BOC把BOC只要DO 延长交 BC 于点 H 后，有 FOG BOH ，故问题转化为证 BOH OH BC，由等腰三角形三线合一即有 BOH BOC ，故问题继续转化为证DH CE联系【模型呈现】发现能证DEA ACB，得到AE BC2， AC DE 1，即能求AD AB又因为O 为AB 中点，可得到，再加上第（1）题证得BAD 90，可得DAO AED ，所以ADO EAD ， DO EA，得证【解答】 证明：（ 1） O为 Rt ABC的外接圆 O 为斜边 AB 中点， AB

17、 为直径 ACB 90 ABC+ BAC 90 DAE ABC DAE+ BAC 90 BAD 180（ DAE+ BAC） 90 AD AB AD 是 O 的切线（ 2）延长 DO 交 BC 于点 H，连接 OC DE AC 于点 E DEA 90 AB 绕点 A 旋转得到AD AB AD在 DEA 与 ACB 中 DEA ACB（AAS） AE BC 2，ACDE 1 AD AB O 为 AB 中点 AO AB DAO AED 90 DAO AED ADO EAD DO EA OHB ACB 90，即 DH BC OB OC OH 平分 BOC，即 BOH BOC FOG BOH ， BF

18、G BOC FOG BFG FGO BGF FGO BGF FG2 GO?GB【点评】 本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理其中第（2）题证明DO EA 进而得到DO 垂直 BC 是解题关键（2019 年甘肃陇南27 题）27. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC 中， MACH 的平分线上一点，且AM =MN点拨：如图，作CBE=60，BE 与是 BC 边上一点（不含端点B，C）， N 是 ABC 的外角求证： AMN=60 NC 的延长线相交于

19、点E，得等边 BEC，连接 EM易证：ABM EBM（ SAS），可得 AM =EM ，1=2；又 AM=MN ，则 EM=MN ，可得 3=4；由3+1=4+5=60，进一步可得 1=2= 5，又因为 2+6=120，所以 5+6=120，即： AMN=60 问题：如图，在正方形 A1B1C1D 1 中， M 1 是 B1C1 边上一点（不含端点 B1， C1 ）， N1 是正方形 A1B1C1D1 的外角 D1C1H 1 的平分线上一点，且 A1M1=M1N1求证： A1M 1N1=90 【答案】 解：延长 A1B1 至 E，使 EB1 =A1B1，连接 EM1C、EC1，如图所示：则 E

20、B1=B1C1， EB1M1 中 =90 =A1B1M1，EB1 C1 是等腰直角三角形，B1EC1=B1C1E=45 ，N1 是正方形 A1B1C1D1 的外角 D 1C1H1 的平分线上一点，M1C1N1=90 +45 =135 ，B1C1E+M1C1N1=180 ，E、 C1、 N1，三点共线，在A1B1M1 和 EB1M1 中，A1B1M1EB1M1（ SAS），A1M 1=EM 1， 1=2，A1M 1=M1N1，EM1=M1N1，3=4，2+3=45 ， 4+ 5=45 ，1=2=5，1+6=90 ，5+6=90 ，A1M1N1=180 -90 =90 【解析】延长A1B 1连则E

21、B 1=B 1C1，EB1 M 1 中 =90 =A 1B1M 1，得至 E，使 EB1=A 1B 1， 接 EM1 C、EC1，出 EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质证得出 B1EC1=B 1C1E=45， 出B 1C1E+ M 1C1N 1=180 ，得出 E、C1、N 1，三点共 线，由SAS 证明 A1B 1M 1EB1M 1 得出A M=EM1，1=2，得出 EM =MN1，由等腰三角形的性质得出 3=4， 出 1=2=5，得1111证出5+6=90，即可得出结论 此题是四 边形综合 题目，考查了正方形的性 质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰

22、三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识题综合性强练；本，熟 掌握正方形的性质过辅助线构造三角形全等是解本题的关键，通 作（2019 年甘肃天水25 题）25（ 10 分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（ 1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中， AB AD ，CB CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（ 2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC BD试证明：AB2 +CD2AD 2+BC2；（ 3）解决问题：如图 3，分别以 Rt ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 AB

23、DE ，连结 CE 、BG 、GE已知 AC4， AB 5，求 GE 的长【分析】（ 1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（ 2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（ 3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（ 2）的结论计算【解答】 解：（ 1）四边形 ABCD 是垂美四边形证明： AB AD，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， CB CD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， AC BD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；（ 2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等如图 2，已知四边形ABCD 中， ACBD ，垂足为E，求证： AD

24、2+BC2 AB2+CD 2证明： AC BD ， AED AEB BEC CED 90，由勾股定理得，AD2 +BC2 AE2+DE2+BE 2+CE2，AB2 +CD2AE 2+BE2+CE2+DE 2， AD2+BC2 AB2+CD 2；故答案为： AD2+BC2 AB 2+CD2（ 3）连接 CG、 BE， CAG BAE90， CAG+ BAC BAE+ BAC，即 GAB CAE，在 GAB 和 CAE 中， GAB CAE（SAS）， ABG AEC，又 AEC+ AME 90， ABG+ AME 90，即 CE BG，四边形CGEB 是垂美四边形，由（ 2）得， CG2+BE2

25、 CB2+GE2， AC 4，AB 5， BC 3，CG 4， BE 5， GE2 CG2+BE2 CB2 73， GE【点评】 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键（2019 年广东深圳23 题）239BC 为直径作圆，圆心为E，直线 AC（ 1）求证：直线OD 是 E 的切线；A 3 0 B 3 0 C 3 8 交 E 于点 D ，连接 OD（ 2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF交 E 于点G，连接BG； 当 tan ACF 时，求所有 F 点的坐标， F2（直接写出）；（5，0） 求的最

26、大值【分析】（ 1）连接 ED ，证明 EDO 90即可，可通过半径相等得到 EDB EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得 DO BO AO， ODB OBD，得证；（ 2） 分两种情况： a）F 位于线段 AB 上， b） F 位于 BA 的延长线上；过 F 作 AC 的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点 F 坐标； 应用相似三角形性质和三角函数值表示出，令 yCG2（64CG2）（ CG2 32） 2+32 2，应用二次函数最值可得到结论【解答】 解：（ 1）证明：如图1，连接 DE ， BC 为圆的直径， BDC 90， BDA 90 OA OB OD OB OA

27、 OBD ODB EB ED EBD EDB EBD+ OBD EDB +ODB即： EBO EDO CB x 轴 EBO 90 EDO 90点 D 在 E 上直线 OD 为 E 的切线（ 2） 如图 2，当 F 位于 AB 上时，过F 作 F1N AC 于 N， F 1N AC ANF1 ABC 90 ANF ABC AB 6， BC8， AC 10，即 AB： BC： AC 6：8： 103： 4： 5设 AN 3k，则 NF1 4k， AF1 5k CN CA AN10 3k tan ACF ，解得：k即 F 1（， 0）如图 3，当 F 位于 BA 的延长线上时，过F 2 作 F 2M

28、 CA 于 M， AMF 2 ABC设 AM 3k，则 MF 2 4k， AF 2 5k CM CA+AM 10+3k tan ACF 解得： AF2 5k 2OF2 3+2 5即 F 2（5， 0）故答案为： F1（， 0）， F2（ 5， 0） 如图 4， CB 为直径 CGB CBF 90 CBG CFB BC2 CG?CFCF CG2+BG2 BC2， BG2 BC2 CG2令 y CG2 （ 64 CG2） CG4 +64CG2 （ CG2 32）2 322 （ CG2 32） 2+32 2当 CG2 32 时，此时 CG 4【点评】 本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何

29、综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键（ 2019 年广东 24 题）24（ 9 分）如图 1，在 ABC 中， AB AC， O 是 ABC 的外接圆，过点 C 作 BCD ACB 交 O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CF AC，连接 AF （ 1）求证： ED EC；（ 2）求证： AF 是 O 的切线；（ 3）如图 2，若点 G 是 ACD 的内心， BC?BE 25，求 BG 的长【分析】（ 1）由 AB AC 知 AB

30、C ACB，结合 ACB BCD， ABC ADC 得 BCD ADC，从而得证；（ 2）连接 OA，由 CAF CFA 知 ACD CAF + CFA2 CAF，结合 ACBBCD 得 ACD 2ACB， CAF ACB，据此可知AF BC，从而得OA AF，从而得证；（ 3）证 ABE CBA 得 AB2 BC?BE，据此知 AB 5，连接 AG，得 BAG BAD + DAG，BGA GAC+ ACB，由点 G 为内心知 DAG GAC，结合 BAD + DAG GDC + ACB 得 BAG BGA，从而得出BG AB 5【解答】 解：（ 1） AB AC， ABC ACB，又 ACB

31、 BCD， ABC ADC， BCD ADC， ED EC；（ 2）如图 1，连接 OA， AB AC， OA BC， CA CF， CAF CFA， ACD CAF+ CFA 2 CAF ， ACB BCD， ACD 2ACB， CAF ACB， AF BC， OA AF， AF 为 O 的切线；（ 3） ABE CBA ， BAD BCD ACB， ABE CBA ， AB2 BC?BE， BC?BE 25， AB 5，如图 2，连接 AG， BAG BAD+ DAG， BGA GAC+ ACB，点 G 为内心， DAG GAC，又 BAD + DAG GDC+ ACB， BAG BGA，

32、 BG AB 5【点评】 本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点（2019 年广东广州24 题）24（ 14 分）如图，等边 ABC 中， AB 6，点 D 在 BC 上， BD 4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C 重合）， CDE 关于 DE 的轴对称图形为 FDE （ 1）当点 F 在 AC 上时，求证： DF AB；（ 2）设 ACD 的面积为 S1， ABF 的面积为 S2，记 S S1 S2， S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由；（ 3）当 B， F， E 三点共线时求 AE 的长【

33、分析】（ 1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得（ 2）过点 D 作 DM AB 交 AB 于点 M ，由题意可得点DFC A，可证 DF AB；F 在以 D 为圆心， DF 为半径的圆上，由 ACD 的面积为 S1 的值是定值，则当点 F 在 DM 上时， S ABF 最小时， S 最大；（ 3）过点 D 作 DG EF 于点 G，过点 E 作 EH CD 于点 H ，由勾股定理可求 BG 的长，通过证明 BGD BHE，可求 EC 的长，即可求 AE 的长【解答】 解：（ 1） ABC 是等边三角形 A B C 60由折叠可知：DF DC ，且点 F 在 AC 上 DFC C 60 DFC

34、 A DF AB；（ 2）存在，过点 D 作 DM AB 交 AB 于点 M， AB BC 6，BD 4， CD 2 DF 2，点 F 在以 D 为圆心， DF 为半径的圆上，当点 F 在 DM 上时， S ABF 最小， BD 4，DM AB， ABC 60 MD 2 SABF 的最小值 6（ 22） 6 6 S 最大值 （ 3）如图，过点（ 6 6） 3+6D 作 DG EF 于点 G，过点E 作EH CD于点H ， CDE 关于 DE 的轴对称图形为FDE DF DC2， EFD C 60 GD EF ， EFD 60 FG 1，DG FG BD2 BG2+DG2， 163+（ BF+1

35、） 2， BF 1 BG EH BC， C 60 CH ， EH HCEC GBD EBH ， BGD BHE 90 BGD BHE EC 1 AE AC EC 7【点评】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键（2019 年广西池州25 题）25（ 10 分）如图，五边形ABCDE内接于 O， CF 与 O相切于点C，交AB延长线于点F （ 1）若 AE DC， E BCD，求证： DE BC；（ 2）若 OB 2， AB BD DA， F45，求 CF 的长【分析】（ 1）由圆心角、弧、弦之间的关

36、系得出，由圆周角定理得出ADEDBC ，证明 ADE DBC，即可得出结论；（ 2）连接 CO 并延长交 AB 于 G，作 OH AB 于 H ，则 OHG OHB 90，由切线的性质得出 FCG 90，得出 CFG 、OGH 是等腰直角三角形， 得出 CFCG，OG OH，由等边三角形的性质得出 OBH 30，由直角三角形的性质得出 OH OB 1，OG ，即可得出答案【解答】（ 1）证明： AE DC， ADE DBC，在 ADE 和 DBC 中， ADE DBC（ AAS）， DE BC；（ 2）解：连接 CO 并延长交 AB 于 G，作 OH AB 于 H ，如图所示：则 OHG OH

37、B 90， CF 与 O 相切于点 C， FCG 90， F 45， CFG、 OGH 是等腰直角三角形， CF CG，OG OH， AB BD DA ， ABD 是等边三角形， ABD 60， OBH 30， OH OB 1， OG ， CF CGOC+OG 2+【点评】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键（2019 年广西贺州25 题）25（ 10 分）如图， BD 是 O 的直径，弦BC 与 OA 相交于点E，AF 与 O 相切于点A，交 DB 的延长

38、线于点 F ， F 30， BAC 120， BC 8（ 1）求 ADB 的度数；（ 2）求 AC 的长度【分析】（ 1）由切线的性质得出AF OA，由圆周角定理好已知条件得出F DBC ，证出 AF BC，得出 OA BC，求出 BOA 90 30 60，由圆周角定理即可得出结果；（ 2）由垂径定理得出BE CEBC 4，得出 AB AC，证明 AOB 是等边三角形，得出 ABOB，由直角三角形的性质得出OEOB，BEOE4，求出 OE，即可得出 AC AB OB 2OE【解答】 解：（ 1） AF 与 O 相切于点 A， AF OA， BD 是 O 的直径， BAD 90， BAC 120

39、， DAC 30， DBC DAC 30， F 30， F DBC， AF BC， OA BC， BOA 90 30 60， ADBAOB 30；（ 2） OA BC， BE CEBC 4， AB AC， AOB 60， OA OB， AOB 是等边三角形， AB OB， OBE 30， OE OB， BEOE 4， OE， AC AB OB 2OE【点评】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出 OA BC 关键是解题的（2019年广西柳州25 题）25（ 10 分）如图， AB 是 O 的直径， 弦

40、CD AB 于点 E，点 F 是 O 上一点， 且连接 FB ， FD， FD 交 AB 于点 N，（ 1）若 AE 1， CD 6，求 O 的半径；（ 2）求证： BNF 为等腰三角形；（ 3）连接 FC 并延长，交 BA 的延长线于点 P，过点 D 作 O 的切线，交 BA 的延长线于点 M求证： ON?OP OE?OM 【解答】 解：（ 1）如图 1，连接 BC， AC， AD， CD AB，AB 是直径，CEDE CD 3 ACD ABC，且 AEC CEB ACE CEB BE 9 AB AE+BE 10 O 的半径为 5（ 2） ACD ADC CDF ，且 DE DE ， AED NED 90 ADE NDE（ ASA） DAN DNA， AE EN DAB DFB ， AND FNB FNB DFB BN BF， BNF 是等腰三角形（ 3）如图 2，连接 AC， CE， CO，DO ，