层次分析法AHP、ANP与熵值法带例子和软件操作说明

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1、AHP、 ANP、 熵 值 法其 中 ， AHP、 ANP既 是 一 种 评 价 方 法 ， 但 更 常 用 来 计 算 指 标 权 重 。而 熵 值 法 则 是 一 种 根 据 指 标 反 映 信 息 可 靠 程度 来 确 定 权 重 的 方 法 。 一 、 AHPo 层 次 分 析 法 （ AHP） 是 美 国 著 名 的 运 筹 学 家 Satty等 人在 20世 纪 70年 代 提 出 的 将 一 种 定 性 和 定 量 分 析 相 结 合 的 多 准则 决 策 方 法 。 这 一 方 法 的 特 点 是 在 对 复 杂 决 策 问 题 的 本 质 、影 响 因 素 以 及 内 在 关

2、 系 等 进 行 深 入 分 析 之 后 ， 构 建 一 个 层 次结 构 模 型 ， 然 后 利 用 较 少 的 定 量 信 息 ， 把 决 策 的 思 维 过 程 数学 化 ， 从 而 为 求 解 多 目 标 、 多 准 则 或 无 结 构 特 性 的 复 杂 决 策问 题 ， 提 供 一 种 简 便 的 决 策 方 法 。 具 体 的 说 ， 它 是 指 将 决 策问 题 的 有 关 元 素 分 解 成 目 标 、 准 则 、 方 案 等 层 次 ， 用 一 种 标度 对 人 的 主 观 判 断 进 行 客 观 量 化 ， 在 此 基 础 上 进 行 定 性 和 定量 分 析 的 一 种

3、 决 策 方 法 。 他 把 人 的 思 维 过 程 层 次 化 、 数 量 化 ，并 用 数 学 为 分 析 、 决 策 、 预 报 或 控 制 提 供 定 量 的 依 据 。 它 尤其 适 合 于 人 的 定 性 判 断 起 主 要 作 用 的 、 对 决 策 结 果 难 于 直 接准 确 计 量 的 场 合 。 o 应 用 层 次 分 析 法 时 ， 首 先 要 把 问 题 层 次 化 。 根 据 问 题 的 性 质 和要 达 到 的 目 标 ， 将 问 题 分 解 为 不 同 组 成 因 素 ， 并 按 照 因 素 间 的 相 互关 联 影 响 及 其 隶 属 关 系 将 因 素 按

4、不 同 层 次 聚 集 组 合 ， 形 成 一 个 多 层次 的 分 析 结 构 模 型 。 并 最 终 把 系 统 分 析 归 结 为 最 底 层 ， 相 对 于 最 高层 目 标 的 相 对 重 要 性 权 值 的 确 定 或 相 对 优 劣 次 序 的 排 序 问 题 。 在 排序 计 算 中 ， 每 一 层 次 的 因 素 相 对 上 一 层 次 某 一 因 素 的 单 排 序 问 题 又可 简 化 为 一 系 列 成 对 因 素 的 判 断 比 较 。 为 了 将 比 较 判 断 定 量 化 ， 层次 分 析 法 引 入 了 1-9标 度 法 ， 并 写 成 判 断 矩 阵 形 式

5、。 形 成 判 断 矩 阵 后 ，即 可 通 过 计 算 判 断 矩 阵 的 最 大 特 征 值 及 其 对 应 的 特 征 向 量 ， 计 算 出某 一 层 对 于 上 一 层 次 某 一 个 元 素 的 相 对 重 要 性 权 值 。 在 计 算 出 某 一层 次 相 对 于 上 一 层 次 各 个 因 素 的 单 排 序 权 值 后 ， 用 上 一 层 次 因 素 本身 的 权 值 加 权 综 合 ， 即 可 计 算 出 层 次 总 排 序 权 值 。 总 之 ， 依 次 由 上向 下 即 可 计 算 出 最 低 层 因 素 相 对 于 最 高 层 的 相 对 重 要 性 权 值 或 相

6、 对优 劣 次 序 的 排 序 值 。 AHP的 模 型 与 步 骤假 设 某 一 企 业 经 过 发 展 ， 有 一 笔 利 润 资 金 ， 要 企 业 高 层领 导 决 定 如 何 使 用 。 企 业 领 导 经 过 实 际 调 查 和 员 工建 议 ， 现 有 如 下 方 案 可 供 选 择 ：o （ 1） 作 为 奖 金 发 给 员 工 ；o （ 2） 扩 建 员 工 宿 舍 、 食 堂 等 福 利 设 施 ；o （ 3） 办 员 工 进 修 班 ；o （ 4） 修 建 图 书 馆 、 俱 乐 部 等 ；o （ 5） 引 进 新 技 术 设 备 进 行 企 业 技 术 改 造 。从 调

7、 动 员 工 工 作 积 极 性 、 提 高 员 工 文 化 技 术 水 平 和 改 善员 工 的 物 质 文 化 生 活 状 况 来 看 ， 这 些 方 案 都 有 其 合理 因 素 。 如 何 使 得 这 笔 资 金 更 合 理 的 使 用 ， 就 是 企业 领 导 所 面 临 需 要 分 析 的 问 题 。 （ 1） 构 造 层 次 分 析 结 构资 金 合 理 使 用 A调 动 职 工 积极 性 B1 提 高 企 业 技术 水 平 B2 改 善 职 工 生活 B3C1 发 奖金 C2 扩 建福 利 设 施 C3 办 职工 进 修 班 C4 建 图书 馆 等 C5 引 进新 设 备目 标

8、 层准 则 层方 案 层 每 一 层 次 中 的 元 素 一 般 不 超 过 9个 ， 因 同 一 层 次 中 包 含 数目 过 多 的 元 素 会 给 两 两 比 较 判 断 带 来 困 难 。 （ 2） 构 造 判 断 矩 阵o 判 断 矩 阵 的 一 般 形 式性 质 ： （ 1） Cij0;（ 2） Cij=1/Cji;（ 3） Cii=1此 时 ， 矩 阵 为 正 反 矩 阵 。 若 对 于 任 意 i、 j、 k， 均 有C ij*Cjk=Cik， 则 C为 一 致 矩 阵 。1 21 1 1 1 2 12 2 1 2 2 21 2k nnnn n n n nB C C CC C

9、C CC C C CC C C C o 1-9标 度 方 法 1/9i元 素 比 j元 素 极 端 不 重 要9 1/7i元 素 比 j元 素 强 烈 不 重 要8 1/5i元 素 比 j元 素 明 显 不 重 要7 1/3i元 素 比 j元 素 稍 不 重 要6 9i元 素 比 j元 素 极 端 重 要5 7i元 素 比 j元 素 强 烈 重 要4 5i元 素 比 j元 素 明 显 重 要3 3i元 素 比 j元 素 稍 重 要2 1i， j两 元 素 同 等 重 要1 Cij赋 值重 要 性 等 级序 号 注 ： 2， 4， 6， 8和 1/2， 1/4， 1/6， 1/8介 于 其 间

10、。 对 于 上 述 例 子 ， 假 定 企 业领 导 对 于 资 金 使 用 这个 问 题 的 态 度 是 ： 首先 是 提 高 企 业 技 术 水平 ， 其 次 是 改 善 员 工物 质 生 活 ， 最 后 是 调动 员 工 的 工 作 积 极 性 。则 准 则 层 对 于 目 标 层的 判 断 矩 阵 A-B为 ： A B1 B2 B3B1 1 1/5 1/3B2 5 1 3B3 3 1/3 11 1/5 1/35 1 33 1/3 1A o 同 样 ， 可 得 ：1 1 2 3 4 71/3 1 3 2 51/5 1/3 1 1/2 11/4 1/2 2 1 31/7 1/5 1/2 1

11、/3 1B 2 1 1/7 1/3 1/57 1 5 33 1/5 1 1/35 1/2 3 1B 3 1 1 3 31 1 3 31/3 1/3 1 11/3 1/3 1 1B （ 3） 判 断 矩 阵 的 一 致 性 检 验o 判 断 矩 阵 的 一 致 性 ， 是 指 专 家 在 判 断 指 标 重 要 性 时 ，各 判 断 之 间 协 调 一 致 ， 不 致 出 现 相 互 矛 盾 的 结 果 。出 现 不 一 致 在 多 阶 判 断 的 条 件 下 ， 极 容 易 发 生 ， 只不 过 是 不 同 的 条 件 下 不 一 致 的 程 度 上 有 所 差 别 而 已 。o 根 据 矩

12、阵 理 论 可 知 ， 如 果 满 足 ：o 则 为 A的 特 征 值 ， 并 且 对 于 所 有 aii=1， 有Ax x 1n ii n o 显 然 ， 当 矩 阵 具 有 完 全 一 致 性 时 ， 其 余 特 征 根 均 为 0； 而 当 矩 阵 A不 具 有 完 全 一 致 性时 ， 则 有 ， 其 余 特 征 根 2， 3， n有 如 下关 系 ： n max1 n max1 max2n ii n o 上 述 结 论 告 诉 我 们 ， 当 判 断 矩 阵 不 能 保 证 具 有 完 全一 致 性 时 ， 相 应 判 断 矩 阵 的 特 征 根 也 将 发 生 变 化 ，这 样 就

13、 可 以 用 判 断 矩 阵 特 征 根 的 变 化 来 检 验 判 断 的一 致 性 程 度 。 因 此 ， 在 层 次 分 析 法 中 引 入 判 断 矩 阵最 大 特 征 根 以 外 的 其 余 特 征 根 的 负 平 均 值 ， 作 为 度量 判 断 矩 阵 偏 离 一 致 性 的 指 标 ， 即 用 ： 检 查 决 策 者 思 维 的 一 致 性 。 CI值 越 大 ， 表 明 判 断 矩阵 偏 离 完 全 一 致 性 的 程 度 越 大 ； CI值 越 小 （ 接 近 于0） ， 表 明 判 断 矩 阵 的 一 致 性 越 好 。max 1nCI n o 当 判 断 矩 阵 具 有

14、 完 全 一 致 性 时 ， CI=0；o 当 判 断 矩 阵 具 有 满 意 一 致 性 时 ， 需 引 入 判 断 矩 阵 的 平 均随 机 一 致 性 指 标 RI值 。 对 于 1-9阶 判 断 矩 阵 ， RI值 如 下 ：o 当 阶 数 大 于 2时 ， 判 断 矩 阵 的 一 致 性 指 标 CI与 同 阶 平 均随 机 一 致 性 指 标 RI之 比 称 为 随 机 一 致 性 比 率 CR， 当CR=CI/RI0.10时 ， 可 以 认 为 判 断 矩 阵 具 有 满 意 的 一致 性 ， 否 则 需 要 调 整 判 断 矩 阵 。1 2 3 4 5 6 7 8 90.00

15、0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 （ 4） 层 次 单 排 序o 理 论 上 讲 ， 层 次 单 排 序 计 算 问 题 可 归 结 为计 算 判 断 矩 阵 的 最 大 特 征 根 及 其 特 征 向 量 的 问题 。 但 一 般 来 说 ， 计 算 判 断 矩 阵 的 最 大 特 征 根及 其 对 应 的 特 征 向 量 ， 并 不 需 要 追 求 较 高 的 精确 度 ， 因 为 判 断 矩 阵 本 身 有 相 当 的 误 差 范 围 。而 且 ， 应 用 层 次 分 析 法 给 出 的 层 次 中 各 种 因 素优 先 排 序 权 值 从

16、本 质 上 来 说 是 表 达 某 种 定 性 的概 念 。 因 此 ， 一 般 用 迭 代 法 在 计 算 机 上 求 得 近似 的 最 大 特 征 值 及 其 对 应 的 特 征 向 量 。 在 此 给出 计 算 矩 阵 最 大 特 征 根 及 其 对 应 特 征 向 量 的 方根 法 的 计 算 步 骤 ： o 计 算 判 断 矩 阵 每 一 行 元 素 的 乘 积 Mio 计 算 Mi的 n次 方 根o 对 向 量 正 规 化 （ 归 一 化 处 理 ）iW 1ni ijjM a ni iW M 1 2, , , TnW W W W 1 ii n jj WW W 则 即 为 所 求 的

17、 特 征 向 量 。o 计 算 判 断 矩 阵 的 最 大 特 征 根其 中 ， （ AW） i表 示 向 量 AW的 第 i个 元 素 。 1 2, , , TnW W W W m ax 1n ii iA WnW o 对 于 判 断 矩 阵 A， 其 计 算 结 果 为 ：p 对 于 判 断 矩 阵 B1， 其 计 算 结 果 为 ：max0.1050.637 , 3.308, 0.019, 0.58, 0.0330.258W CI RI CR 0.4910.232 , max 5.126, 0.032, 1.12, 0.0280.0920.1380.046W CI RI CR o 对 于

18、判 断 矩 阵 B2， 其 计 算 结 果 为 ：o 对 于 判 断 矩 阵 B3， 其 计 算 结 果 为 ：max0.5500.564 , 4.117, 0.039, 0.90, 0.0430.1180.263W CI RI CR max0.4060.406 , 4, 0, 0.90, 00.0940.094W CI RI CR （ 5） 层 次 总 排 序层 次 B层 次 C B1 B2 B3 总 排 序 W0.105 0.637 0.258C1 0.491 0 0.406 0.157C2 0.232 0.055 0.406 0.164C3 0.092 0.564 0.094 0.393

19、C4 0.138 0.118 0.094 0.113C 5 0.046 0.263 0 0.1723 1 j ijj b c （ 6） 决 策o 企 业 领 导 根 据 上 述 分 析 结 果 ， 决 定 各 种 考 虑方 案 的 实 施 先 后 次 序 ， 或 者 决 定 分 配 企 业 留成 利 润 的 比 例 。 算 例o 有 5个 指 标 ： X1对 X2明 显 重 要 ； X1对 X3强 烈 重 要 ；X1对 X4同 等 重 要 ； X1对 X5稍 不 重 要 。 采 用 AHP方 法计 算 指 标 权 重 。 列 出 判 断 矩 阵 1 5 7 1 1/31/5 1 2 1/5 1

20、/81/7 1/2 1 1/7 1/91 5 7 1 1/3 3 8 9 3 1A 一 致 性 检 验求 最 大 特 征 根 ： 在 此 采 用 MATLAB软 件 求 取A=1,5,7,1,1/3;1/5,1,2,1/5,1/8;1/7,1/2,1,1/7,1/9;1,5,7,1,1/3;3,8,9,3,1B， D=eig（ A）则 ： B = 0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 -0.7071 0.0906 -0.0633 - 0.0182i -0.0633 + 0.0182i 0.2303 -0.0000 0.0595 -

21、0.0063 - 0.0620i -0.0063 + 0.0620i -0.1231 -0.0000 0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 0.7071 0.8455 0.9339 0.9339 0.8799 0.0000 D = 5.1141 0 0 0 0 0 -0.0177 + 0.7618i 0 0 0 0 0 -0.0177 - 0.7618i 0 0 0 0 0 -0.0786 0 0 0 0 0 -0.0000 max=5.1141CI=( max-n)/(n-1)=(5.1141-5)/(5-1)= 0.1141/

22、4=0.0285RI（ 5） =1.12CR=CI/RI=0.0285/1.12=0.02550.10因 此 ， 通 过 一 致 性 检 验 。 求 得 权 重权 重 即 为 最 大 特 征 根 对 应 的 特 征 向 量 W=0.3697,0.0906, 0.0595,0.3697,0.8455进 行 归 一 化 后 的 结 果 ，w=W./sum(W) =0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873 二 、 ANP（ 网 络 分 析 法 ）o AHP是 基 于 以 下 几 个 假 设 进 行 决 策 的 ， 而 这 几 个 假 设 与 某 些 实 际决 策 问 题

23、有 背 离 ：（ 1） 将 决 策 系 统 分 为 若 干 层 次 ， 上 层 元 素 对 下 层 元 素 起 支 配 作 用 ，同 一 层 元 素 之 间 是 相 互 独 立 的 ， 但 实 际 上 ， 一 般 各 层 内 部 的 元素 之 间 都 存 在 依 存 关 系 ， 同 时 下 层 对 上 层 也 有 反 支 配 （ 反 馈 ）的 作 用 ；（ 2） 决 策 问 题 可 分 为 多 个 层 次 ， 上 层 元 素 对 下 层 元 素 起 控 制 ， 同一 层 次 的 元 素 间 相 互 独 立 ， 不 存 在 内 部 的 相 互 依 赖 性 。 而 实 际决 策 问 题 中 某 些

24、 指 标 往 往 存 在 相 互 影 响 ；（ 3） 各 个 层 次 间 只 是 存 在 相 邻 两 个 层 次 间 自 上 向 下 的 影 响 作 用 ，没 有 考 虑 下 层 对 上 层 的 反 作 用 。 非 相 邻 层 次 间 的 相 互 影 响 也 没有 考 虑 。 而 在 实 际 决 策 中 下 层 元 素 对 上 层 元 素 有 反 作 用 （ 反馈 ） 。ANP则 取 消 了 这 些 假 定 ， 在 理 论 上 允 许 决 策 者 考 虑 复 杂 动 态 系 统 中各 要 素 的 相 互 作 用 ， 从 而 更 符 合 决 策 问 题 的 实 际 情 况 。 ANP基 本 结

25、构 目 标准 则 P1 准 则 Pn 元 素 组 C 1 元 素 组 C2元 素 组 C3 元 素 组 C4 元 素 组 C5 控制层网络层 ANP的 超 矩 阵 算 法o 设 网 络 ANP中 控 制 层 的 元 素 为 P1,P2,Ps, Pm， 网 络 层 有 元 素 组 为 C1,C2,Ci,Cj,CN。其 中 Ci有 元 素 ei1,ei2,eini。o 构 造 超 矩 阵 如 下 ， 其 中 行 表 示 汇 ， 列 表 示 源 。针 对 网 络 结 构 中 的 相 互 作 用 和 反 馈 信 息 ， 基于 源 对 汇 中 的 元 素 进 行 两 两 比 较 ， 求 解 源 对于 汇

26、 的 相 对 偏 好 和 重 要 性 。 1 21 2 1 211 1 21 2 1111 11 12 11212 21 22 2 2 1 1 2 NN Nn n N NnNn N nN N N NNN Nn C C Ce e e e e eeC W W WeeCW W W Wee W W WC e o 超 矩 阵 W的 每 一 元 素 Wij都 是 基 于 一 个 两 两 判 断 比 较矩 阵 获 得 的 归 一 化 特 征 向 量 ， 列 和 为 1， 但 是 ， W不 是 归 一 化 矩 阵 ， 为 此 ， 以 控 制 元 素 ps为 准 则 ， 对控 制 元 素 ps下 的 各 元 素

27、 组 对 各 元 素 组 Cj的 重 要 性 进行 比 较 ， 得 到 一 个 归 一 化 的 排 序 向 量 ：11 1 1 NN NNa aA a a o 把 矩 阵 A与 W相 乘 得 到 加 权 超 矩 阵 ：o 在 网 络 分 析 法 ANP中 ， 为 了 反 映 元 素 之 间 的 依 存关 系 ， 加 权 超 矩 阵 W需 要 做 一 个 稳 定 处 理 ， 即 计 算极 限 相 对 排 序 向 量 ：o 如 果 极 限 收 敛 且 唯 一 ， 则 W的 第 j列 就 是 控 制 元 素下 网 络 层 各 元 素 对 于 元 素 j的 极 限 相 对 排 序 。ij ijW a

28、W 1lim(1/ ) N KN kN W ANP的 决 策 步 骤o 1.基 于 网 络 模 型 中 各 要 素 间 的 相 互 作 用 ， 进 行 两 两比 较 ；o 2.确 定 未 加 权 超 矩 阵 （ 基 于 两 两 判 断 矩 阵 ， 使 用 特征 向 量 法 获 得 归 一 化 特 征 向 量 值 ， 填 入 超 矩 阵 列 向量 ） ；o 3.确 定 超 矩 阵 中 各 元 素 组 的 权 重 （ 保 证 各 列 归 一 ） ；o 4.计 算 加 权 超 矩 阵 ；o 5.计 算 极 限 超 矩 阵 ； （ 使 用 幂 法 ， 即 求 超 矩 阵 的 n次 方 ， 直 到 矩

29、阵 各 列 向 量 保 持 不 变 ） 。 案 例 选 车维 修成 本 耐 用 性美 国 车 日 本 车 欧 洲 车 控 制 层网 络 层 成 本 美 国车 欧 洲车 日 本车 特 征向 量美 国车 1 5 3 0.637欧 洲车 1/5 1 1/3 0.105日 本车 1/3 3 1 0.258CR=0.033 维 修 美 国车 欧 洲车 日 本车 特 征向 量美 国车 1 5 2 0.582欧 洲车 1/5 1 1/3 0.109日 本车 1/2 3 1 0.309CR=0.003 耐 用性 美 国车 欧 洲车 日 本车 特 征向 量美 国车 1 1/5 1/3 0.105欧 洲车 5 1

30、 3 0.637日 本车 3 1/3 1 0.258CR=0.033 美 国车 成 本 维 修 耐 用性 特 征向 量成 本 1 3 4 0.634维 修 1/3 1 1 0.192耐 用性 1/4 1 1 0.174CR=0.008 欧 洲车 成 本 维 修 耐 用性 特 征向 量成 本 1 1 1/2 0.25维 修 1 1 1/2 0.25耐 用性 2 2 1 0.50CR=0.008 日 本车 成 本 维 修 耐 用性 特 征向 量成 本 1 2 1 0.40维 修 1/2 1 1/2 0.20耐 用性 1 2 1 0.40CR=0.000 再 考 虑 成 本 、 维 修 和 耐 用

31、性 之 间 的 相 互 影 响 ， 得 到 三 者 的权 重 矩 阵 如 下 ： 成 本 维 修 耐 用 性成 本 0.3 0.2 0.6维 修 0.4 0.25 0.3耐 用 性 0.3 0.55 0.1 o 得 到 初 始 超 矩 阵成 本 维 修 耐 用 性 美 国 车 欧 洲 车 日 本 车成 本 0.3 0.2 0.6 0.634 0.25 0.4维 修 0.4 0.25 0.3 0.192 0.25 0.2耐 用 性 0.3 0.55 0.1 0.174 0.25 0.4美 国 车 0.637 0.582 0.105 0 0 0欧 洲 车 0.105 0.109 0.637 0 0

32、 0日 本 车 0.258 0.309 0.258 0 0 0 o 假 定 A=0.5,1;0.5,0,则 加 权 超 矩 阵 ：成 本 维 修 耐 用 性 美 国 车 欧 洲 车 日 本 车成 本 0.15 0.1 0.3 0.634 0.25 0.4维 修 0.2 0.125 0.15 0.192 0.25 0.2耐 用 性 0.15 0.275 0.05 0.174 0.25 0.4美 国 车 0.319 0.291 0.053 0 0 0欧 洲 车 0.053 0.055 0.319 0 0 0日 本 车 0.129 0.155 0.129 0 0 0 将 加 权 超 矩 阵 稳 定

33、处 理 ， 即 自 乘 4-6次 ， 得 到 稳 定 的 极 限 超 矩 阵 。（ 注 意 ， 每 一 步 自 乘 之 前 需 要 将 列 向 量 归 一 化 ， 否 则 加 权 超 矩 阵 会 越变 越 小 ， 不 会 收 敛 ）成 本 维 修 耐 用 性 美 国 车 欧 洲 车 日 本 车成 本 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 维 修 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 耐 用 性 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 美 国 车 0.159 0.159 0.159 0.159 0

34、.159 0.159 欧 洲 车 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 日 本 车 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 ANP决 策 结 果 表 明 ： 美 国 车 是 最 优 选 择 ， 成 本 是 决 定 性 因 素 。 软 件 ： Superdecision 图 元 素 组 权 重 矩 阵 权 重 矩 阵 三 、 熵 值 法o 熵 的 概 念 源 于 热 力 学 ， 是 对 系 统 状 态 不确 定 性 的 一 种 度 量 。 在 信 息 论 中 ， 信 息 是 系统 有 序 程 度 的 一 种 度 量 。 而 熵 是

35、 系 统 无 序 程度 的 一 种 度 量 ， 两 者 绝 对 值 相 等 ， 但 符 号 相反 。 根 据 此 性 质 ， 可 以 利 用 评 价 中 各 方 案 的固 有 信 息 ， 通 过 熵 值 法 得 到 各 个 指 标 的 信 息熵 ， 信 息 熵 越 小 ， 信 息 的 无 序 度 越 低 ， 其 信息 的 效 用 值 越 大 ， 指 标 的 权 重 越 大 。 o 熵 是 不 确 定 性 的 度 量 ， 如 果 用 Pj表 示 的 j个 信 息 不确 定 度 （ 也 即 出 现 的 概 率 ） 则 整 个 信 息 （ 设 有 n个 ）的 不 确 定 度 量 也 可 用 下 式

36、表 示 ：o 这 就 是 熵 。 其 中 K为 正 常 数 ， 当 各 个 信 息 发 生 的 概率 相 等 时 ， 即 Pj=1/n， S取 值 最 大 ， 此 时 熵 最 大 。1 ln( )n j jjS K P P 思 考 ： 为 什 么 熵 的 公 式 是 这 样 的 ？ 其 内 涵 是 什 么 ？其 实 ， 这 就 是 一 个 规 划 问 题 ， 目 标 函 数 为min=sum(Pj*ln(Pj);约 束 条 件 为 sum(Pj)=1;而 最 优 解 为P1=P2=Pn=1/n o 可 利 用 熵 信 息 的 概 念 确 定 权 重 ， 假 设 多 属 性 决 策 矩阵 如 下

37、 ：o 则 用o 表 示 第 j个 属 性 下 第 i个 方 案 Ai的 贡 献 度 。1 11 12 12 21 22 21 2 nnm m m mnA x x xA x x xM A x x x 1 ijij m iji xP x o 可 以 用 Ej来 表 示 所 有 方 案 对 属 性 Xj的 贡 献 总 量 ：其 中 ， 常 数 K=1/ln(m)， 这 样 ， 就 能 保 证 0=Ej=1， 即 Ej最大 为 1。由 式 中 可 以 看 出 ， 当 某 个 属 性 下 各 方 案 的 贡 献 度 趋 于 一 致时 ， Ej趋 于 1； 特 别 是 当 全 相 等 时 ， 也 就 可

38、 以 不 考 虑 该目 标 的 属 性 在 决 策 中 的 作 用 ， 也 即 此 时 属 性 的 权 重 为零 。这 样 ， 可 看 出 属 性 值 由 所 有 方 案 差 异 大 小 来 决 定 权 系 数 的大 小 。 为 此 可 定 义 d j为 第 j属 性 下 各 方 案 贡 献 度 的 一 致 性程 度 。 dj=1-Ej 1 ln( )mj ij ijiE K P P o 则 各 属 性 权 重 Wj如 下 ：o 当 dj=0时 ， 第 j属 性 可 以 剔 除 ， 其 权 重 等 于 0。o 如 果 决 策 者 事 先 已 有 一 些 经 验 的 主 观 估 计 权 重 j，

39、 则 可借 助 上 述 的 wj来 对 j进 行 修 正 。o 熵 值 法 最 大 的 特 点 是 直 接 利 用 决 策 矩 阵 所 给 出 的 信 息计 算 权 重 ， 而 没 有 引 入 决 策 者 的 主 观 判 断 。1 jj n jj dW d 0 1 j jj n j jj WW W 算 例o 购 买 轿 车 决 策 矩 阵 ：求 各 属 性 的 熵 权 ？油 耗 功 率 费 用 安 全 性 维 护 性 操 作 性本 田 5 1.4 6 3 5 7奥 迪 9 2 30 7 5 9桑 塔 纳 8 1.8 11 5 7 5别 克 12 2.5 18 7 5 5Ej 0.97 0.98 0.89 0.96 0.99 0.98dj 0.03 0.02 0.11 0.04 0.01 0.02wj 0.14 0.07 0.49 0.16 0.04 0.10