导数的几何意义(108)

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1、1.1.3导数的几何意义 1、 平 均 变 化 率 一 般 的 ， 函 数 在 区 间 上 的 平 均 变 化 率 为 )(xf 21，xx21 21 )()( xx xfxf 2.导 数 的 概 念 0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x f x x f xff x x x 一 般 地 ， 函 数 y =f(x) 在 点 x=x0处 的 瞬 时 变 化率 是 0 00 0( ) ( )lim limx xf x x f x fx x ox xy 0( )f x我 们 称 它 为 函 数 y = f (x)在 点 x=x0处 的 导 数 ，记 为 或 ， 即 )(xfy

2、0 x由 导 数 的 定 义 可 知 ， 求 函 数 在 处 的导 数 的 步 骤 : 0 0( ) ( )f f x x f x （ 1） 求 函 数 的 增 量 : ；0 0( ) ( )f x x f xfx x （ 2） 求 平 均 变 化 率 : ； 0 0( ) limx ff x x （ 3） 取 极 限 ， 得 导 数 : 2( ) , ( ), ( 1), (2)f x x f x f f 练 习 ： 设 求xx xxx x xxxx xfxxfxf x xx 2)2(lim )(lim)()(lim)( 0 2200 解 ： 由 导 数 的 定 义 有 422)()2( 2

3、)1(2)()1( 2 1 x xxff xff 下 面 来 看 导 数 的 几 何 意 义 : y=f(x)P Q M x yO xy 如 图 ,曲 线 C是 函 数 y=f(x)的 图 象 ,P(x0,y0)是 曲 线 C上 的任 意 一 点 ,Q(x0+x,y0+y)为 P邻 近 一 点 ,PQ为 C的 割 线 ,PM/x轴 ,QM/y轴 ,为 PQ的倾 斜 角 . .tan ,: xy yMQxMP则 yx请 问 ： 是 割 线 PQ的 什 么 ? 斜率 ! P Qo xy y=f(x) 割线切 线T请 看 当 点 Q沿 着 曲线 逐 渐 向 点 P接 近时 ,割 线 PQ绕 着 点P

4、逐 渐 转 动 的 情 况 . 我 们 发 现 ,当 点 Q沿 着 曲 线 无 限 接 近 点 P即 x 0时 ,割 线 PQ有 一 个 极 限 位 置 PT.则 我 们 把 直 线 PT称 为 曲 线 在 点 P处 的 切 线 . 设 切 线 的 倾 斜 角 为 ,那 么 当 x0时 ,割 线 PQ的 斜 率 ,称为 曲 线 在 点 P处 的 切 线 的 斜 率 .即 : 0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x f x x f xyk f x x x 切 线 这 个 概 念 : 提 供 了 求 曲 线 上 某 点 切 线 的 斜 率 的 一 种 方 法 ;切 线 斜 率

5、 的 本 质 函 数 在 x=x0处 的 导 数 . 初 中 平 面 几 何 中 圆 的 切 线 的 定 义 ： 直 线 和 圆 有 唯 一 公 共 点 时 ，叫 做 直 线 和 圆 相 切 。 这 时 直 线 叫 做 圆 的 切 线 ， 唯 一 的 公 共 点叫 做 切 点 。割 线 趋 近 于 确 定 的 位 置 的 直 线 定 义 为 切 线 .曲 线 与 直 线 相 切 ， 并 不 一 定 只 有 一 个 公 共 点 。 3)曲 线 的 切 线 ,并 不 一 定 与 曲 线 只 有 一 个 交 点 ,可 以 有 多 个 ,甚 至 可 以 无 穷 多 个 .1)与 该 点 的 位 置 有

6、 关 ;2)要 根 据 割 线 是 否 有 极 限 位 置 来 判 断 与 求 解 .如 有 极限 ,则 在 此 点 有 切 线 ,且 切 线 是 唯 一 的 ;如 不 存 在 ,则 在此 点 处 无 切 线 ;要 注 意 ,曲 线 在 某 点 处 的 切 线 : 1.在 函 数 的图 像 上 ， (1)用 图 形 来 体 现 导 数 ， 的 几 何 意 义 . 105.69.4)( 2 ttth 3.3)1(/ h6.1)5.0(/ h h 0.15.0O t (2)请 描 述 ， 比 较 曲 线 分 别 在 附 近 增 （ 减 ） 以 及 增 （ 减 ） 快 慢 的 情 况 。在 附 近

7、呢 ？ ,0t ,1t 2t,3t 4t h tO 3t 4t 0t 1t 2t (2)请 描 述 ， 比 较 曲 线 分 别 在 附 近 增 （ 减 ） 以 及 增 （ 减 ） 快 慢 的 情 况 。在 附 近 呢 ？ ,0t ,1t 2t,3t 4t 增 （ 减 ):增 （ 减 ） 快 慢 ： =切 线 的 斜 率附 近 ： 瞬 时 变 化 率 （ 正 或 负 ）即 ： 瞬 时 变 化 率 （ 导 数 ）（ 数 形 结 合 ， 以 直 代 曲 ）画 切 线 即 ： 导 数 的 绝 对 值 的 大 小=切 线 斜 率 的 绝 对 值 的 大 小切 线 的 倾 斜 程 度（ 陡 峭 程 度 ）

8、以简单对象刻画复杂的对象 (2) 曲 线 在 时 ， 切 线 平 行 于 x轴 ， 曲 线 在 附 近 比 较 平 坦 ， 几 乎 没 有 升 降 0t 曲 线 在 处 切 线 的 斜 率 0 在 附 近 ， 曲 线 ， 函 数 在 附 近 单 调0t ,1t,1t 2t 如 图 ， 切 线 的 倾 斜 程 度 大 于 切 线 的倾 斜 程 度 ， 2t 1t,3t 4t 大 于上 升递 增 2l 1l 3l 4l3t 4t 上 升 这 说 明 曲 线 在 附 近 比 在 附 近 得 迅 速 2t ,1l 2l,3l 4l 0)(),( 2/1/ thth 0)(),( 4/3/ thth ,

9、1t 2t,3t 4t递 减 下 降小 于下 降 ,3t 4t 2 如 图 表 示 人 体 血 管 中 的 药 物 浓 度 c=f(t)（ 单 位 ： mg/ml） 随 时 间 t（ 单 位 ： min） 变 化 的 函 数 图 像 ， 根 据 图 像 ， 估 计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（ min） 时 ， 血 管 中 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率 ， 把 数 据 用 表 格 的 形 式 列 出 。 (精 确 到 0.1) 血 管 中 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率 ,就 是 药 物 浓 度从 图 象 上 看 ,它 表 示曲 线 在 该 点 处 的 切 线 的 斜

10、 率 .函 数 f(t)在 此 时 刻 的 导 数 ,（ 数 形 结 合 ， 以 直 代 曲 ）以简单对象刻画复杂的对象 )( 0/ xf )(/ xf 抽 象 概 括 ： 是 确 定 的 数 是 的 函 数x 导 函 数 的 概 念 ：)(/ xf x xfxxfxf x )(lim 0000/ x xfxxfxf x )(lim0/ t 0.2 0.4 0.6 0.8药 物 浓 度 的瞬 时 变 化 率 4.0 0 4.17.0 求 函 数 y=f(x)的 导 数 可 分 如 下 三 步 : );()()1( xfxxfy 求 函 数 的 增 量 ;)()( :)2( x xfxxfxy

11、的 增 量 的 比 值求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 .lim)()3( 0 xyxfy x 求 极 限 ， 得 导 函 数 .1 yxy ， 求： 已 知例 ,xxxy 解 ： ,xxx xxxy .21 1limlimlim 000 x xxxx xxxxyy xxx 小 结 ： .函 数 在 处 的 导 数 的 几 何 意 义 ， 就 是 函 数 的 图 像 在 点 处 的 切 线 AD的 斜 率 （ 数 形 结 合 ） )(xf 0 xx 0/ xf)(xf )(, 00 xfxA x xfxxfxf x )()(lim)( 0000/ 切 线 AD的 斜 率3.导 函 数 (

12、简 称 导 数 ) x xfxxfxf x )()(lim)( 0/ 2.利 用 导 数 的 几 何 意 义 解 释 实 际 生 活 问 题 ，体 会 “ 数 形 结 合 ” ， “ 以 直 代 曲 ” 的 数 学思 想 方 法 。 以简单对象刻画复杂的对象 练 习 :如 图 已 知 曲 线 ,求 :(1)点 P处 的 切 线 的 斜 率 ; (2)点 P处 的 切 线 方 程 .)38,2(31 3 Pxy 上 一 点 y x -2 -1 1 2-2-11234O P313y x.)(33lim31 )()(33lim31 31)(31limlim,31)1( 2220 3220 33003

13、 xxxxx x xxxxx x xxxxyyxy xx xx 解 ： .42| 22 xy即 点 P处 的 切 线 的 斜 率 等 于 4. (2)在 点 P处 的 切 线 方 程 是 y-8/3=4(x-2),即 12x-3y-16=0. 先 来 复 习 导 数 的 概 念 定 义 ： 设 函 数 y=f(x)在 点 x0处 及 其 附 近 有 定 义 ,当自 变 量 x在 点 x0处 有 改 变 量 x时 函 数 有 相 应 的 改 变 量 y=f(x0+ x)- f(x0).如 果 当 x0 时 ,y/x的 极 限 存 在 ,这 个 极 限 就 叫 做 函 数 f(x)在 点 x0处

14、的 导 数 (或 变 化 率 )记作 即 :,|)( 00 xxyxf 或 0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim lim .x x f x x f xyf x x x 处 的 导 数 。在： 求 函 数例 12 xxyxxxy xy 11 11解 ： 2111 1lim 0 xx 21 1 xy 11 1 x P Qo xy y=f(x) 割线切 线T请 看 当 点 Q沿 着 曲 线 逐 渐 向 点 P接 近 时 ,割 线 PQ绕 着点 P逐 渐 转 动 的 情 况 . 例 1:求 曲 线 y=f(x)=x2+1在 点 P(1,2)处 的 切 线 方 程 .QPy=x2+1 xy -

15、1 11O j Myx求 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 方 程的 基 本 步 骤 :先 利 用 切 线 斜 率的 定 义 求 出 切 线 的 斜 率 ,然 后利 用 点 斜 式 求 切 线 方 程 . （ 1） 求 出 函 数 在 点 x0处 的 变 化 率 ， 得 到 曲 线 在 点 (x0,f(x0)的 切 线 的 斜 率 。 )( 0 xf （ 2） 根 据 直 线 方 程 的 点 斜 式 写 出 切 线 方 程 ， 即).)()( 000 xxxfxfy 归 纳 :求 切 线 方 程 的 步 骤 无 限 逼 近 的 极 限 思 想 是 建 立 导 数概 念 、 用 导 数 定 义

16、 求 函 数 的 导 数 的基 本 思 想 ， 丢 掉 极 限 思 想 就 无 法 理 解导 数 概 念 。 作业: 处 的 导 数 。在求 函 数 11.1 xxy2. 例 :求 函 数 y=x+1/x在 x=2处 的 导 数 . ,)2(2)212(2 1)2( xxxxxy 解 ： ,)2(2 11)2(2 xx xxxxy .43|,43411)2(2 11limlim 200 xxx yxxy 1.1 .3 导 数 的 几 何 意 义1.曲 线 的 切 线 y=f(x)P Q M x yO xy 如 图 ,曲 线 C是 函 数 y=f(x)的 图 象 ,P(x0,y0)是 曲 线 C

17、上 的任 意 一 点 ,Q(x0+ x,y0+ y)为 P邻 近 一 点 ,PQ为 C的 割 线 ,PM/x轴 ,QM/y轴 ,为 PQ的倾 斜 角 . .tan ,: xy yMQxMP则 .就 是 割 线 的 斜 率表 明 ： xy 我 们 发 现 ,当 点 Q沿 着 曲 线 无 限 接 近 点 P即 x 0时 ,割 线 PQ有 一 个 极 限 位 置 PT.则 我 们 把 直 线 PT称 为 曲线 在 点 P处 的 切 线 . 设 切 线 的 倾 斜 角 为 ,那 么 当 x0时 ,割 线 PQ的斜 率 ,称 为 曲 线 在 点 P处 的 切 线 的 斜 率 .即 : x xfxxfxy

18、k xx )()(limlimtan 0000切 线 这 个 概 念 : 提 供 了 求 曲 线 上 某 点 切 线 的 斜 率 的 一种 方 法 ; 切 线 斜 率 的 本 质 函 数 平 均 变 化 率 的 极 限 . 要 注 意 ,曲 线 在 某 点 处 的 切 线 :1)与 该 点 的 位 置 有 关 ;2)要 根 据 割 线 是 否 有 极 限 位 置 来 判 断 与 求 解 .如 有 极 限 ,则 在 此 点 有 切 线 ,且 切 线 是 唯 一 的 ;如 不 存 在 ,则 在 此 点处 无 切 线 ;3)曲 线 的 切 线 ,并 不 一 定 与 曲 线 只 有 一 个 交 点 ,可 以 有 多 个 ,甚 至 可 以 无 穷 多 个 .