平面图形上各点的加速度理论力学

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1、 如 已 知 某 瞬 时 平 面 图 形 S内 点 A的 加 速 度 ， 以 及 图 形 的角 速 度 w和 角 加 速 度 a， 则 可 以 A为 基 点 建 立 平 动 坐 标 系Axy， 而 将 图 形 的 运 动 分 解 为 ：跟 随 基 点 A的 平 动 (牵 连 运 动 ）和 绕 基 点 A的 转 动 （ 相 对 运 动 ） 。 根 据 牵 连 运 动 为 平 动 时 的 加 速 度 合 成 定 理 可 知 ，图 形 S内 任 一 点 B的 加 速 度 A BA=a a 由 于 点 B相 对 于 基 点 A作 圆 周运 动 ， 相 对 加 速 度 可 分 解 为 沿相 对 轨 迹

2、切 线 和 法 线 的 两 部 分 ，即 B e r a a a1、 牵 连 加 速 度 ： e Aa aA BA=a a2、 相 对 加 速 度 ： r BAa a BA BA BAn a a a 相 对 切 向 加 速 度 aBAt为 点 B 绕 基 点 A转 动 的 切 向 加 速 度 ，方 向 与 AB垂 直 ， 大 小 为 aBAt=ABa 相 对 法 向 加 速 度 aBAn为 点 B 绕 基 点 A转 动的 法 向 加 速 度 ， 指 向 基 点A， 大 小 为 a BAn=ABw2 3、 绝 对 加 速 度 即 ： 平 面 图 形 内 任 一 点 的加 速 度 等 于 基 点

3、的 加 速 度与 该 点 随 图 形 绕 基 点 转 动 的切 向 加 速 度 和 法 向 加 速 度 的矢 量 和 。B A BA BAn a a a a 例 5： 如 图 所 示 ， 半 径 为 r的 行 星 齿 轮 由 曲 柄 O A带 动 ， 沿 半径 为 R的 固 定 齿 轮 作 无 滑 动 的 滚 动 。 设 已 知 曲 柄 O A以 匀 角速 度 w0转 动 ， 求 轮 上 M点 的 速 度 和 加 速 度 ， 设 AM O A 解 ： M为 轮 上 的 点 ， 轮 作 平 面 运 动 ，又 轮 中 心 点 A的 速 度 vA （ R+r） w0=常 量方 向 垂 直 于 曲 柄

4、 O AA点 的 加 速 度 a A恒 指 向 曲 柄并 由 A指 向 O ， 其 大 小 为 aA （ R+r） w02 选 A为 基 点 ， 建 立 平 动 坐 标 系 Ax y 。M点 的 绝 对 轨 迹 是 在 轮 外 缘 上 的 外 摆 线 ， 其 运 动 较 为 复 杂 ，但 可 分 解 为 跟 随 基 点 的 运 动 和 相 对 于 基 点 的 圆 周 运 动 （ 轮 上 任 一 点 均 如 此 ） 。再 由 速 度 合 成 定 理 知 vM ve vr vA vMA (1)式 中M点 的 相 对 速 度 v MA沿 M点的 相 对 轨 迹 （ 即 轮 外 缘 的圆 周 ） 的

5、切 线 ， 如 图 所 示 。 为 求 M点 的 绝 对 速 度 vM， 还 须 先 求 出 M点 的 相 对 速 度 vMA的 大 小 。 考 虑 到 两 轮 上 在 它 们 节 圆 相 切 处 之 C点 的 速 度 彼 此相 同 而 均 为 零 ， 故 C点 即 为 轮 的 速 度 瞬 心 。 从 而 ， 轮 的角 速 度 w为于 是 MA II 0 ( )v r R r 2再 根 据 M点 的 速 度 平 行 四 边 形 ，即 可 求 出 M点 速 度 的 大 小 和 方 向 ：II A 0 /CA (R r) /rv 常 量M 02( )v R r M MA /4v va （ ， ）

6、aMA=aMAnaMA沿 轮 上 通 过 M点 的 半 径并 由 M指 向 A，由 牵 连 运 动 为 平 动 时 的 加 速 度 合 成 定 理 可 求 出 点 M的 加 速 度 。因 aA沿 曲 柄 由 A指 向 O ， 其 大 小 为 aA =(R+r)w02；w 常 量 ， 故 M点 的aMAn= r w 2=(R+r) 2w02/r； aMAt=0M e r A MA MAn a a a a a a aMA=aMAnaMA沿 轮 上 通 过 M点 的 半 径 并 由 M指 向 A，由 于 aA aMA， 故aA =(R+r)w02 M点 aMAn=(R+r) 2w02/r； aMAt

7、=0 2 20 222 20 1 R rR r rR r R r rr 2 2M A MAa a a M e r A MA MAn a a a a a a 又 aM的 方 向 可 表 示 如 下 : =（ aM， aA） =arctan(R+r)/r由 图 可 看 出 ， 轮 上 速 度 瞬 心C的 加 速 度 aC的 大 小 应 为可 见 ， 速 度 瞬 心 的 速 度 为 零 ， 但 加 速 度 却 不 为 零 。aC aCA ae aMA aA (R+r)w 02 (R+r)/r 1 R(R+r)w02/r 0 aA =(R+r)w02 aMAn=(R+r) 2w02/r 例 7 图 所

8、 示 机 构 中 ， O A 12cm， AB 30cm， AB杆 的 B端 以 速 度 vB 2 m/s， aB 1 m/s2 向 左 沿 固 定 平 面 运 动 。 求 图示 瞬 时 AB杆 的 角 速 度 AB和 角 加 速 度 aAB 。 解 ： AB杆 作 平 面 运 动 ，由 A、 B两 点 的 速 度 方 向可 知 ， 在 图 示 瞬 时 AB杆 作瞬 时 平 动 。 如 图 所 示 。则 有 v A vB， AB 0 ， 0 vA/O AnAatAa 方 向 假 设 如 图 所 示 ；以 A为 基 点 ， 求 点 B的 加 速 度 。作 出 加 速 度 图 如 图 所 示 ，

9、且方 向 由 A指 向 O 轴 ， t n t nB A BA (1)A BAa =a +a +a +a式 中 ： aB的 大 小 和 方 向 已 知 ； 的 大 小 为 ：nAa 2nA AOAa vt ?A a O A 12cm，AB 30cm，vB 2 m/s，aB 1 m/s2 ，求 AB和 aAB 的 方 位 垂 直 于 AB，指 向 假 设 如 图 ， 大 小 未 知 ；t n t nB A BA (1)A BAa =a +a +a +a2nA AOAa v t ?A atBAa n0, 0BA AB = a OA 12cm，AB 30cm，vB 2 m/s，aB 1 m/s2 ，

10、求 wAB和 aAB 将 （ 1） 式 在 y轴 上 投 影n t0 A BAa a cos30ncos30AtBA aa = t n 2 22 2 128.3 rad/scos30 0.12 0.3 3BA AAB a a= =AB ABa AB杆 的 角 加 速 度 t n t nB A BA (1)A BAa =a +a +a +a O A 12cm，AB 30cm，vB 2 m/s，aB 1 m/s2 ，求 wAB和 aAB 习题：曲柄OA以恒定的角速度=2rad/s绕轴O转动，并借助连杆AB驱动半径为r的轮子在半径为R的圆弧槽中作无滑动的滚动。设O A=AB=R=2r=1m，求图示瞬

11、时点B和C的速度和加速度。O O1A B C R 解 ： 如 图 所 示 AB杆 做 瞬 时 平 动 O O1A C rA Ava B aaBnBAA eBAn Ba v a a=1 2 2 /A Bv v OA m s 2 2 21 2 4 /Aa OA m s 2 2Bv rr r 轮 常 量0ABa 2 2 2 /cv r m s 轮0AB 4rad/s, 轮 =2rad/s，O A=AB=R=2r=1m，求图示瞬时点B和C的速度和加速度。 0a 轮轮心B以圆心O1，半径为 r 作圆周运动B点绝对加速度：O O1A C rA Ava B aaBnBAA eBAn Ba v a a=0BA

12、na 2 2 22 8m/s0.5BBn va r 0Ba 0AB 2 轮 常 量 2= 8 /B Bna a m s 以A点为基点， B 点加速度如图所示： 2 2 0.5 168 /CBna rm s 轮以B点为基点，C点加速度如图所示：O1r a轮 =0CBn CBaBnBvaB C= =aaa eBBn2 2 2128 11.31 /C Bn CBna a a m s CB0, =0a a 轮 28 /e B Bna a a m s Ca 2l 例 6 图 示 平 面 机 构 ， 滑 块 B可 沿 杆 O A滑 动 。 杆 BE与 BD分 别 与 滑 块 B铰 接 ， BD杆 可 沿

13、水 平 导 轨 运 动 。 滑 块 E以 匀 速 v沿 铅 直 导 轨向 上 运 动 。 图 示 瞬 时 杆 O A 铅 直 ， 且 与 杆 BE夹 角 为 45 。 求 该 瞬 时杆 O A的 wO A和 aO A。 解 ： BE杆 作 平 面 运 动 ， 可 先求 出 点 B的 速 度 和 加 速 度 。 点 B连同 滑 块 在 O A杆 上 滑 动 ， 并 带 动 杆O A转 动 ， 可 按 合 成 运 动 方 法 求 解杆 O A的 wO A和 aO A 2BE l 式 中 各 矢 量 方 向 如 图 所 示 。因 点 E作 匀 速 直 线 运 动 ， aE=0。aBEn的 大 小 为

14、BE杆 作 平 面 运 动 ， 在 图 中 ， 由 vE v及 vB方 向可 知 此 瞬 时 O 点 为 BE杆 的 速 度 瞬 心 ， 因 此以 E为 基 点 ， 点 B的 加 速 度 为 wBE 由 于 滑 块 B可 以 沿 杆 O A滑 动 ， 因 此可 利 用 点 的 合 成 运 动 方 法 求 杆 O A的wO A和 aO A。选 ： 动 点 滑 块 B， 动 系 杆 O A点 B的 绝 对 速 度 2BEB 2cos45naa vl 将 式 （ a） 投 影 到 沿 BE方 向 的 轴 上 ， 得 aBcos45 aBEn a e r v v v 其 转 向 如 图 所 示 。显

15、然 va=ve ； vr=0 即 ve= vB v于 是 得 杆 O A的 角 速 度 。a e r v v v式 中 ： 绝 对 速 度 va=vB ； 牵 连 速 度 ve ?， 方 向 垂 直 于 O A， 因 此 与 va同 向 ； 相 对 速 度 vr沿 O A杆 ， 垂 直 于 va。 滑 块 B的 相 对 加 速 度 ar也 O A方 向 。此 瞬 时 vr=0 ， 故 ak=0由 aa aet aen ar ak滑 块 B的 绝 对 加 速 度 aa aB其 牵 连 切 向 加 速 度 aet沿 杆 BD， 假 设 与 aB同 向牵 连 法 向 加 速 度 沿 AO 方 向投 影 得 aa=aet2 e B 2a a vl 2eOA 22OBaa vl 2B 2a vl