平面向量的数量积及平面向量应用举例

《平面向量的数量积及平面向量应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量的数量积及平面向量应用举例（43页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 1 .理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2 .了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3 .掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积 的运算. 4 .能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数 量积判断两个平 面向量的垂直关系.5 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6 .会用向量方法解决简单的力学问题与其他一 些实际问题. 1 .两个向量的夹角(1 )定义和范围 (2 )两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 思考探究1 在ABC中，设 a， b，则a与b的夹角为 ABC吗？提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为 ABC. 2 .平面向量的数量积 3

2、 .与平面向量的数量积有关的结论 已知a(x1，y1 )，b(x2，y2 ) 思考探究2 若a b，则a与b的数量积有何特点？提示：若a b，则a与b的夹角为0或1 8 0， ab|a|b|或ab|a|b|. 1 .已知a(1，2 )，b(5 ,8 )，c(2 ,3 )，则a(bc)() A.3 4B.(3 4，6 8 ) C.6 8 D.(3 4 ,6 8 )解析：a(bc)(1，2 )(5283 )(3 4，6 8 ).答案：B 2 .平面向量a与b的夹角为6 0，a(2 ,0 )，|b|1，则|a 2 b| ( ) A. B. C.4 D.1 2解析： |a|2， |a2 b|2(a2

3、b)2a24 ab4 b24421cos6 041 21 2， |a2 b| .答案：B 3 .已知|a|1，|b| ，且a (ab)，则向量a与向量 b的夹角是 () A.3 0 B.4 5 C.9 0 D.1 3 5 解析：设向量a与b的夹角为，由a (ab)，得a(ab)0，即|a|2ab0， |a|b|cos |a|2， cos 4 5.答案：B 4 .已知向量a(3 ,2 )，b(2 ,1 )，则向量a在b方向上的 投影为.解析： ab|a|b|cosa，b， |a|cosa，b答案： 5 .若b(1 ,1 )，ab2，(ab)23，则|a|.解析： (ab)23， |a|2|b|2

4、2 ab3， |a|2243， |a|25， |a| .答案： 1 .向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式ab |a|b|cos来计算，二是利用abx1 x2y1 y2来计算， 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注 意数量积运算律的应用.2 .利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握 此类问题的处理方法： (1 )|a|2a2aa； (2 )|ab| 2(ab)2a22 abb2 . 已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为 ，求：(1)(3a2b)(a2b)；(2)|ab|.思路点拨 课堂笔记(1 )ab|a|b|cos34( )6 .a23 29，b21 6 . (3 a

5、2 b)(a2 b)3 a28 ab4 b2398(6 )6 49 14 8 .(2 )|ab| 2(ab)2a22 abb292(6 )1 62 51 2 . |ab| 若将例题已知条件改为“已知a(3，4 )，b(2 ,1 )”，试解决上述问题.解：(1 ) a(3，4 )，b(2 ,1 )， 3 a2 b(9，1 2 )(4 ,2 )(5，1 4 )，a2 b(3，4 )(4 ,2 )(1，6 ). (3 a2 b)(a2 b)(5，1 4 )(1，6 )5(1 )(1 4 )(6 )58 47 9 .(2 ) ab(3，4 )(2 ,1 )(5，3 )， |ab| 已知a与b为不共线向

6、量，且a与b的夹角为 ，则(1 )ab0 09 0；(2 )ab0 9 0；(3 )ab0 9 0 1 8 0.特别警示在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线. 已知|a|1，ab ，(ab)(ab) ，求：(1 )a与b的夹角；(2 )ab与ab的夹角的余弦值.思路点拨 课堂笔记(1 ) (ab)(ab) ， |a|2|b|2 ，又 |a|1， |b| 设a与b的夹角为，则cos 4 5. (2 ) (ab)2a22 abb212 |ab| .(ab)2a22 abb212 |ab| ，设ab与ab的夹角为，则cos 1 .证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平

7、行 (共线)的充要条件： a b ab x1 y2x2 y10 (b0 ).2 .证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a b ab0 x1 x2y1 y20 . 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， (2，m)， (n,1 )， (5，1 )，且 ，求实数m，n的值.思路点拨 课堂笔记由于C、A、B三点在同一条直线上， 则 而 (7，1m)， (n2 ,1m)， 7 (1m)(1m)(n2 )0， 又 2 nm0， 联立解得 考题印证 (2 0 0 9 湖南高考)(1 2分)已知向量a(sin，cos2 sin)，b(1 ,2 ). (1 )若a b，求tan的值； (2 )若|a|b

8、|,0，求的值. 【解】(1 )因为a b，所以2 sincos2 sin，于是4 sincos，故tan (4分)(2 )由|a|b|知，sin2 (cos2 sin)25，所以12 sin2 4 sin2 5 .从而2 sin2 2 (1cos2 )4，即sin2 cos2 1，于是sin(2 ) .(8分)又由0知， 2 ，所以2 ，或2 .因此 ，或 .(1 2分) 自主体验 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2 ). (1 )若m n，求证：ABC为等腰三角形； (2 )若m p，边长c2，角C ，求ABC的面

9、积. 解：(1 )证明： m n， asinAbsinB，即a b ，其中R是三角形ABC外接圆半径， ab.ABC为等腰三角形.(2 )由题意可知mp0，即a(b2 )b(a2 )0 . abab. 由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23 ab，即(ab)23 ab40， ab4 (舍去ab1 )， S absinC 4 sin 1 .(2 0 0 9 宁夏、海南高考)已知a(3 ,2 )，b(1 ,0 )，向 量ab与a2 b垂直，则实数的值为 () 解析：a(3 ,2 )，b(1 ,0 ).ab(13 ，2 )，a2 b(1 ,2 ). ab与a2 b垂直， (ab)(a2 b)0，

10、 (13 )(1 )2 20，解得 .答案：A 2 .在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满 足 则 等于 () 解析：M为BC中点，得又 P为AM的 等分点，答案：A 3 .已知在ABC中，若 则ABC是 () A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析：由ABC是直角三角形.答案：C 4 .已知向量a与b的夹角为1 2 0，|a|1，|b|3，则|5 a b|.答案：7解析：|5 ab|22 5 |a|2|b|21 0 ab2 591 013( )4 9 . |5 ab|7 . 5 .已知向量a(2，1 )，b(x，2 )，c(3，y)，若 a b，

11、(ab) (bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 的模为. 解析： a b， x4， b(4，2 )， ab(6，3 )，bc(1，2y)； (ab) (bc)， (ab)(bc)0，即63 (2y)0， y4，故向量 (8 ,8 )， 8 .答案：8 6 .已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a (1 ,2 ). (1 )若|c|2 ，且c a，求c的坐标； (2 )若|b| ，且a2 b与2 ab垂直，求a与b的夹角. 解：(1 )设c(x，y)，由c a和|c| 可得： c(2 ,4 )或c(2，4 ).(2 ) (a2 b) (2 ab)， (a2 b)(2 ab)0，即2 a23 ab2 b20， 2 |a| 23 ab2 |b|20， 253 ab2 0， ab cos 1， 0， .