常系数线性齐次微分方程

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1、第 八 节 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 一 、 定 义 二 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 解 法 三 、 n阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 解 法 四 、 小 结 一 、 定 义 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn n阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 的 标 准 形 式0 qyypy二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式)(xfqyypy 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式 二 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 解 法-特 征 方 程 法,rxey 设 将 其 代

2、 入 上 方 程 , 得0)( 2 rxeqprr ,0rxe故 有 02 qprr 特 征 方 程,2 422,1 qppr 特 征 根 0 qyypy 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ,2 421 qppr ,2 422 qppr ,11 xrey ,22 xrey 两 个 线 性 无 关 的 特 解得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ;21 21 xrxr eCeCy )0( 特 征 根 为 有 两 个 相 等 的 实 根 ,11 xrey ,221 prr )0( 一 特 解 为得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ;)( 121 xrexCCy 代 入 原 方 程 并 化 简 ，将

3、 222 yyy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u知 ,)( xxu 取 ,12 xrxey 则,)( 12 xrexuy 设 另 一 特 解 为特 征 根 为 有 一 对 共 轭 复 根 ,1 ir ,2 ir ,)(1 xiey ,)(2 xiey )0( 重 新 组 合 )(21 211 yyy ,cos xe x )(21 212 yyiy ,sin xe x 得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ).sincos( 21 xCxCey x 特 征 根 为 定 义 由 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 特 征 方 程 的 根确 定 其 通 解 的 方 法 称 为

4、 特 征 方 程 法 .044 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 为 ,0442 rr解 得 ,221 rr故 所 求 通 解 为 .)( 221 xexCCy 例 1 .052 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 为 ,0522 rr解 得 ,2121 ir ，故 所 求 通 解 为 ).2sin2cos( 21 xCxCey x 例 2 三 、 n阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 解 法01)1(1)( yPyPyPy nnnn 特 征 方 程 为 0111 nnnn PrPrPr 特 征 方 程 的 根 通 解 中 的 对 应 项rk重 根若 是 rxkk

5、 exCxCC )( 1110 ik 复 根 重 共 轭若 是 xkk kk exxDxDD xxCxCC sin)( cos)( 1110 1110 注 意n次 代 数 方 程 有 n个 根 , 而 特 征 方 程 的 每 一 个根 都 对 应 着 通 解 中 的 一 项 , 且 每 一 项 各 一 个任 意 常 数 . nn yCyCyCy 2211 特 征 根 为 ,1 54321 irrirrr 故 所 求 通 解 为 .sin)(cos)( 54321 xxCCxxCCeCy x 解 ,0122 2345 rrrrr特 征 方 程 为 ,0)1)(1( 22 rr .022 )3()

6、4()5( 的 通 解求 方 程 yyyyyy例 3 四 、 小 结二 阶 常 系 数 齐 次 微 分 方 程 求 通 解 的 一 般 步 骤 :（ 1） 写 出 相 应 的 特 征 方 程 ;（ 2） 求 出 特 征 根 ;（ 3） 根 据 特 征 根 的 不 同 情 况 ,得 到 相 应 的 通 解 . (见 下 表 ) 02 qprr0 qyypy 特 征 根 的 情 况 通 解 的 表 达 式 实 根 21 rr 实 根 21 rr 复 根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xrexCCy 2)( 21 )sincos( 21 xCxCey x 思 考 题求 微 分 方

7、程 的 通 解 . yyyyy ln22 思 考 题 解 答,0y ,ln2 2 yy yyy ,ln yyy ,ln yyy x ,lnln yy 令 yz ln 则 ,0 zz 特 征 根 1通 解 xx eCeCz 21 .ln 21 xx eCeCy 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 04 yy ； 2、 025204 22 xdtdxdt xd ； 3、 0136 yyy ； 4、 0365)4( yyy . 二 、 下 列 微 分 方 程 满 足 所 给 初 始 条 件 的 特 解 : 1、 0,2,044 00 xx yyyyy ； 2、 3,0,0134

8、 00 xx yyyyy . 三 、 求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 ,使3,2,1 xxx eee 都 是 它 的 解 . 四 、 设 圆 柱 形 浮 筒 ,直 径 为 m5.0 ,铅 直 放 在 水 中 ,当 稍向 下 压 后 突 然 放 开 ,浮 筒 在 水 中 上 下 振 动 的s2周 期 为 ,求 浮 筒 的 质 量 . 练 习 题 练 习 题 答 案 一 、 1、 xeCCy 421 ； 2、 tetCCx 2521 )( ； 3、 )2sin2cos( 213 xCxCey x ； 4、 xCxCeCeCy xx 3sin3cos 432221 . 二 、 1、 )2(2 xey x ； 2、 xey x 3sin2 . 三 、 0 yy . (提 示 : 为 两 个xe,1 线 性 无 关 的 解 ) 四 、 195M kg.