已知平行截面面积函数的立体体积

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1、三 、 已 知 平 行 截 面 面 积 函 数 的 立 体 体 积第 二 节 一 、 平 面 图 形 的 面 积二 、 平 面 曲 线 的 弧 长 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 积 分 在 几 何 学 上 的 应 用 第 六 章 一 、 平 面 图 形 的 面 积1. 直 角 坐 标 情 形设 曲 线 )0()( xfy 与 直 线)(, babxax 及 x 轴 所 围 曲则 xxfA d)(d xbaoy )(xfy x xx dxxfA ba d)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 边 梯 形 面 积 为 A ,右 下 图 所 示 图 形 面 积 为

2、 yo b xa )(2 xfy )(1 xfy xxfxfA ba d)()( 21 x xx d 例 1. 计 算 两 条 抛 物 线 22 , xyxy 在 第 一 象 限 所 围图 形 的 面 积 . xxy 2oy 2xy x xx d解 : 由 xy 2 2xy 得 交 点 )1,1(,)0,0( )1,1(1 xxxA dd 2 2332x 01331x31 10A 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xxy 22 oy 4 xy例 2. 计 算 抛 物 线 xy 22 与 直 线的 面 积 . 解 : 由 xy 22 4 xy 得 交 点)4,8(,)2,2( )4

3、,8(yyyA d)4(d 221 18 4 xy 所 围 图 形)2,2( 221 y y4 42361 y为 简 便 计 算 , 选 取 y 作 积 分 变 量 ,则 有 yyy d 42A 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ab xoy x例 3. 求 椭 圆 12222 byax解 : 利 用 对 称 性 , xyA dd 所 围 图 形 的 面 积 . 有 a xyA 0 d4利 用 椭 圆 的 参 数 方 程 )20(sincos ttby tax应 用 定 积 分 换 元 法 得 024 A tbsin tta d)sin( 20 2 dsin4 ttbaba4 2

4、1 2 ba 当 a = b 时 得 圆 面 积 公 式 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xx d oy xa b a boy x一 般 地 , 当 曲 边 梯 形 的 曲 边 由 参 数 方 程 )()(ty tx 给 出 时 , 按 顺 时 针 方 向 规 定 起 点 和 终 点 的 参 数 值 21 ,tt则 曲 边 梯 形 面 积 21 d)()(tt tttA 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )(1 axt 对 应 )(1 bxt 对 应 例 4. 求 由 摆 线 )cos1(,)sin( tayttax )0( a的 一 拱 与 x 轴 所 围 平

5、面 图 形 的 面 积 .)cos1( tadA 解 : tta d)cos1( tta d)cos1(20 22 tta d2sin4 20 42 )2( tu 令uua dsin8 0 42 uua dsin16 20 42 216a 43 21 2 23 a 20A 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xyo a2 2. 极 坐 标 情 形 ,0)(,)( C设 求 由 曲 线 )(r 及 ,射 线 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 . )(r xd在 区 间 , 上 任 取 小 区 间 d, 则 对 应 该 小 区 间 上 曲 边 扇 形 面 积 近 似 值 (小 元

6、 素 )为 d)(21d 2A所 求 曲 边 扇 形 的 面 积 为 d)(21 2A 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 对 应 从 0 变例 5. 计 算 阿 基 米 德 螺 线解 : )0( aar xa2o d d)(21 2a 20A 22a 331 022334 a 点 击 图 片 任 意 处播 放 开 始 或 暂 停机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 到 2 所 围 图 形 面 积 . tta dcos8 20 42 例 6. 计 算 心 形 线 所 围 图 形 的面 积 . 解 : )0()cos1( aar xa2o d d)cos1(21 22 a

7、02A 02a d2cos4 4 (利 用 对 称 性 )2t令 28a 43 21 2 223 a 心 形 线 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 o xy a心 形 线 (外 摆 线 的 一 种 ) 2222 yxaxayx 即 )cos1( ar 点 击 图 中 任 意 点动 画 开 始 或 暂 停 尖 点 : )0,0( 面 积 : 223 a 弧 长 : a8参 数 的 几 何 意 义 2coscos21 )2cos1(21 a a2o xy d)cos1(21 22 a例 7. 计 算 心 形 线 与 圆所 围 图 形 的 面 积 . 解 : 利 用 对 称 性 , )0()c

8、os1( aar 2221 aA 2 2221 aa d)2cos21cos223( 所 求 面 积)243(21 22 aa 22 245 aa ar 2 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 a 2sin2a例 8. 求 双 纽 线 所 围 图 形 面 积 . 解 : 利 用 对 称 性 , 2cos22 ar d2cos21 2a 404 A 402 a )2(d2cos 0则 所 求 面 积 为4 2a思 考 : 用 定 积 分 表 示 该 双 纽 线 与 圆 sin2ar 所 围 公 共 部 分 的 面 积 .2A dsin20 26 a d2cos2146 2 a 机 动

9、 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 yo x4 4 答 案 : 二 、 平 面 曲 线 的 弧 长定 义 : 若 在 弧 AB 上 任 意 作 内 接 折 线 , 0M 1iM iM nMA Byo x当 折 线 段 的 最 大边 长 0 时 , 折 线 的 长 度 趋 向 于 一 个 确 定 的 极 限 ,此 极 限 为 曲 线 弧 AB 的 弧 长 , 即并 称 此 曲 线 弧 为 可 求 长 的 .ii MM 1定 理 : 任 意 光 滑 曲 线 弧 都 是 可 求 长 的 .(证 明 略 )ni 10lims 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 则 称 sdy xa

10、bo(1) 曲 线 弧 由 直 角 坐 标 方 程 给 出 :)()( bxaxfy )(xfy 弧 长 元 素 (弧 微 分 ) : x xx dxy d1 2因 此 所 求 弧 长 xys ba d1 2 xxfba d)(1 2 (P168)22 )(d)(dd yxs 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (2) 曲 线 弧 由 参 数 方 程 给 出 : )()()( tty tx弧 长 元 素 (弧 微 分 ) :因 此 所 求 弧 长 ttts d)()( 22 ttt d)()( 22 22 )(d)(dd yxs 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (3

11、) 曲 线 弧 由 极 坐 标 方 程 给 出 :)()( rr ,sin)(,cos)( ryrx 令因 此 所 求 弧 长 d)()( 22 rrs d)()( 22 yx d)()( 22 rr 则 得sd弧 长 元 素 (弧 微 分 ) : (自 己 验 证 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )ch( cxc cxcc sh1例 9. 两 根 电 线 杆 之 间 的 电 线 , 由 于 其 本 身 的 重 量 ,)(ch bxbcxcy 成 悬 链 线 .求 这 一 段 弧 长 . 解 : xys d1d 2 xcxdsh1 2 xcxdch b xcxs 0 dch

12、2 cxc sh2 0bcbcsh2 2ch xx eex )(chx 2sh xx eex )(shx xsh xch机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 c xb boy 下 垂悬 链 线 方 程 为 例 10. 求 连 续 曲 线 段 tty x dcos2 解 : ,0cos x 22 xxys d1 222 的 弧 长 .xx d)cos(12 202 xxd2cos22 20 0sin222 22 x4 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 11. 计 算 摆 线 )cos1( )sin( tay ttax )0( a 一 拱 )20( t的 弧 长 .解

13、: ts tytx d)()(d 2dd2dd )cos1( 22 ta ta 22sin tdtta d)cos1(2 tta d2sin2 ttas d2sin220 2cos22 ta 02 a8 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xyo a2 d222 aa 例 12. 求 阿 基 米 德 螺 线 相 应 于 02一 段 的 弧 长 . 解 : )0( aar xa2o ar d)()( 22 rrsd d1 2 a d120 2 as (P349 公 式 39) 212 a 21ln21 02)412ln(241 22 aa 小 结 目 录 上 页 下 页 返 回 结

14、束 三 、 已 知 平 行 截 面 面 积 函 数 的 立 体 体 积设 所 给 立 体 垂 直 于 x 轴 的 截 面 面 积 为 A(x), ,)( baxA 在则 对 应 于 小 区 间 d, xxx 的 体 积 元 素 为xxAV d)(d 因 此 所 求 立 体 体 积 为 xxAV ba d)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xa bx xx d )(xA上 连 续 , xyo a b)(xfy 特 别 , 当 考 虑 连 续 曲 线 段2)( xf轴 旋 转 一 周 围 成 的 立 体 体 积 时 , 有 轴绕 xbxaxfy )()( xd baV当 考 虑

15、连 续 曲 线 段 )()( dycyx 绕 y 轴 旋 转 一 周 围 成 的 立 体 体 积 时 ,有 2)( y yd dcV x xoy )(yx cdy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ay xb例 13. 计 算 由 椭 圆 12222 byax 所 围 图 形 绕 x 轴 旋 转而 成 的 椭 球 体 的 体 积 . 解 : 方 法 1 利 用 直 角 坐 标 方 程 )(22 axaxaaby 则 xxaab a d)(2 20 222 (利 用 对 称 性 ) 3222 312 xxaab 0a 234 ab o aV 02 xy d2 机 动 目 录 上 页

16、 下 页 返 回 结 束 x 方 法 2 利 用 椭 圆 参 数 方 程 tby tax sincos则 xyV a d2 0 2 ttab dsin2 32 22 ab 32234 ab 1 02特 别 当 b = a 时 , 就 得 半 径 为 a 的 球 体 的 体 积 .34 3a 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xyo a2例 14. 计 算 摆 线 )cos1( )sin( tay ttax )0( a 的 一 拱 与 y 0所 围 成 的 图 形 分 别 绕 x 轴 , y 轴 旋 转 而 成 的 立 体 体 积 .解 : 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 体 积

17、为xyV ax d20 2 利 用 对 称 性 20 22 )cos1( ta tta d)cos1( tta d)cos1(2 0 33 tta d2sin16 0 63 uua dsin32 20 63 332 a 65 43 21 2325 a ay 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )2( tu 令 xyo a2a绕 y 轴 旋 转 而 成 的 体 积 为 )cos1( )sin( tay ttax )0( a a2yyxV ay d)(20 22 22 )sin( tta tta dsin2 yyxa d)(20 21 )(2 yxx 22 )sin( tta tta

18、dsin0 注 意 上 下 限 ! 20 23 dsin)sin( tttta 336 a 注 注 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )(1 yxx 分 部 积 分 对 称关 于 2注 20 2 dsin)sin( tttt 20 322 d)sinsin2sin( tttttt )( tu令 uuu sin)2( 22 uu 2sin)(2 uu dsin3(利 用 “ 偶 倍 奇零 ” ) 0 dsin4 uuu 0 2 dsin4 uu24 uudsin8 20 2 22184 2 26 a2柱 壳 体 积说 明 : x xx dy也 可 按 柱 壳 法 求 出yV yx2柱 面

19、面 积 xyx d2 )cos1( )sin( tay ttax 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xyxV ay d2 20 2 )sin( tta )cos1( ta 2 2 td02 偶 函 数yV ttatta d)cos1()sin(2 2220 20 43 d2sin)sin(8 tttta 2tu 令 0 43 dsin)2sin2(16 uuuua 2uv令 vvvva dcos)2sin2(16 43 22 奇 函 数 336 a机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 15. 一 平 面 经 过 半 径 为 R 的 圆 柱 体 的 底 圆 中 心 ,

20、并与 底 面 交 成 角 , 222 Ryx 解 : 如 图 所 示 取 坐 标 系 ,则 圆 的 方 程 为垂 直 于 x 轴 的 截 面 是 直 角 三 角 形 , 其 面 积 为tan)(21)( 22 xRxA )( RxR R xxRV 0 22 dtan)(212 32 31tan2 xxR 0R tan32 3R利 用 对 称 性 计 算 该 平 面 截 圆 柱 体 所 得 立 体 的 体 积 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 o R x yx o R x y思 考 : 可 否 选 择 y 作 积 分 变 量 ?此 时 截 面 面 积 函 数 是 什 么 ?如

21、何 用 定 积 分 表 示 体 积 ? ),( yx)(yA提 示 : tan2 yx 22tan2 yRy V R0tan2 yyRy d22 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 a bzx yco垂 直 x 轴 的 截 面 是 椭 圆 1)1()1( 2222 2 22 2 axax c zb y例 16. 计 算 由 曲 面 1222222 czbyax 所 围 立 体 (椭 球 体 )解 :它 的 面 积 为 )1()( 22axbcxA 因 此 椭 球 体 体 积 为 xbc ax d)1( 22 bc2 0a bca34特 别 当 a = b = c 时 就 是 球 体

22、 体 积 . )( axa aV 02 x 233axx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 的 体 积 . 内 容 小 结1. 平 面 图 形 的 面 积边 界 方 程 参 数 方 程极 坐 标 方 程2. 平 面 曲 线 的 弧 长曲 线 方 程 参 数 方 程 方 程极 坐 标 方 程 22 )(d)(dd yxs 弧 微 分 : d)()(d 22 rrs 直 角 坐 标 方 程 上 下 限 按 顺 时 针 方 向确 定直 角 坐 标 方 程 注 意 : 求 弧 长 时 积 分 上下 限 必 须 上 大 下 小 21 d)()(tt tttA d)(21 2A 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3. 已 知 平 行 截 面 面 面 积 函 数 的 立 体 体 积 ba xxAV d)(旋 转 体 的 体 积 2)( yxA 绕 x 轴 : yxxA 2)( 绕 y 轴 : (柱 壳 法 )(xyy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束