对坐标曲面积分(IV)

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1、SzyxM d),( 定 义 : 设 为 光 滑 曲 面 ,“乘 积 和 式 极 限 ” kkkk Sf ),( nk 10lim都 存 在 ,的 曲 面 积 分 Szyxf d),(其 中 f (x, y, z) 叫 做 被 积据 此 定 义 , 曲 面 形 构 件 的 质 量 为曲 面 面 积 为 SS df (x, y, z) 是 定 义 在 上 的 一 个 有 界 函 数 , 记 作或 第 一 类 曲 面 积 分 .若 对 做 任 意 分 割 和 局 部 区 域 任 意 取 点 , 则 称 此 极 限 为 函 数 f (x, y, z) 在 曲 面 上 对 面 积函 数 , 叫 做 积

2、 分 曲 面 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ox yz定 理 : 设 有 光 滑 曲 面 yxDyxyxzz ),(),(:f (x, y, z) 在 上 连 续 ,存 在 , 且 有 Szyxf d),( yxD yxf ),( Szyxf d),( ),( yxz yxyxzyxz yx dd),(),(1 22 二 、 对 面 积 的 曲 面 积 分 的 计 算 法 则 曲 面 积 分 yxD ),( kkk yxk)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 设 是 四 面 体 的 表0,0,0,1 zyxzyx面 , 计 算 .d)1( 1 2 S

3、yxI 解 : 在 四 面 体 的 四 个 面 上yxz 1 yxdd3 xyxD yx 10,10: 1z yx1 1o0z yxdd0y xzdd zxzD xz 10,10:0 x zydd zyzD zy 10,10: 同 上平 面 方 程 Sd 投 影 域 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 yyz z d)1( 1d 10 210 xxz z d)1( 1d 10 210 2ln)13(2 33 yyxxI x d)1( 1d)13( 10 210 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 第 五 节一 、 有 向 曲 面 及 曲 面 元 素 的 投 影 二 、

4、对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质 三 、 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 计 算 法四 、 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 对 坐 标 的 曲 面 积 分 第 十 章 一 、 有 向 曲 面 及 曲 面 元 素 的 投 影 曲 面 分 类 双 侧 曲 面单 侧 曲 面莫 比 乌 斯 带 曲 面 分 上 侧 和下 侧曲 面 分 内 侧 和外 侧曲 面 分 左 侧 和右 侧(单 侧 曲 面 的 典 型 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 其 方 向 用 法 向 量 指 向方 向 余 弦 cos cos c

5、os 0 为 前 侧 0 为 右 侧 0 为 上 侧 0 为 下 侧 外 侧内 侧 设 为 有 向 曲 面 ,)( yxS S yxS)(侧 的 规 定 指 定 了 侧 的 曲 面 叫 有 向 曲 面 , 表 示 : 其 面 元 在 xoy 面 上 的 投 影 记 为,0)( yxyxS)( 的 面 积 为 则 规 定,)( yx ,)( yx ,0 时当 0cos 时当 0cos 时当 0cos 类 似 可 规 定 zxyz SS )(,)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质 1. 引 例 设 稳 定 流 动 的

6、不 可 压 缩 流 体 的 速 度 场 为求 单 位 时 间 流 过 有 向 曲 面 的 流 量 . S分 析 : 若 是 面 积 为 S 的 平 面 , 则 流 量 法 向 量 : 流 速 为 常 向 量 : ),(),(),( zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cos n vcosvS nvS n v 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 对 一 般 的 有 向 曲 面 ,用 “ 大 化 小 , 常 代 变 , 近 似 和 , 取 极 限 ” ni 10lim0lim ni 1 iiiiP cos),( iiiiR cos),(0lim ni 1 zyiiii SP

7、 )(,( xziiii SQ )(,( yxiiii SR )(,( iiiiQ cos),( iS对 稳 定 流 动 的 不 可 压 缩 流 体 的速 度 场 ),(),(),( zyxRzyxQzyxPv进 行 分 析 可 得 in iviii Snv )cos,cos,(cos iiiin 设 , 则 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 为 光 滑 的 有 向 曲 面 , 在 上 定 义 了 一 个意 分 割 和 在 局 部 面 元 上 任 意 取 点 ,0lim ni 1 zyiiii SP )(,( xziiii SQ )(,( 分 , yxRxzQzyP dddd

8、dd 记 作P, Q, R 叫 做 被 积 函 数 ; 叫 做 积 分 曲 面 . yxiiii SR )(,( 或 第 二 类 曲 面 积 分 . 下 列 极 限 都 存 在向 量 场 xdyd zdPQ R),(),(),( zyxRzyxQzyxPA 若 对 的 任 则 称 此 极 限 为 向 量 场 A 在 有 向 曲 面 上 对 坐 标 的 曲 面 积2. 定 义 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 引 例 中 , 流 过 有 向 曲 面 的 流 体 的 流 量 为 zyP dd xzQ dd 称 为 Q 在 有 向 曲 面 上 对 z, x 的 曲 面 积 分 ;

9、yxR dd 称 为 R 在 有 向 曲 面 上 对 x, y 的 曲 面 积 分 .称 为 P 在 有 向 曲 面 上 对 y, z 的 曲 面 积 分 ; yxRxzQzyP dddddd若 记 正 侧 的 单 位 法 向 量 为令 )cos,cos,cos( n )dd,dd,d(ddd yxxzzySnS ),(,),(,),( zyxRzyxQzyxPA则 对 坐 标 的 曲 面 积 分 也 常 写 成 如 下 向 量 形 式 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3. 性 质(1) 若 ,1ki i ki 1 之 间 无 公 共 内 点 , 则i且(2) 用 表 示 的

10、反 向 曲 面 , 则 SA d SASA dd i SA d yxRxzQzyP dddddd SnA d SA d 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 计 算 法定 理 : 设 光 滑 曲 面 yxDyxyxzz ),(,),(: 取 上 侧 ,),( zyxR 是 上 的 连 续 函 数 , 则 yxzyxR dd),( ) ,( yxD yxR ),( yxz yxdd证 : 0lim ni 1 yxiiii SR )(,( yxiS )( yxi)( 取 上 侧 ,),( iii z 0lim ni 1 ) ,( iiR ),(

11、 iiz yxi)( yxx,yzyxRyxD dd)(,( yxzyxR dd),( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 若 ,),(,),(: zyDzyzyxx 则 有 zyzyxP dd),( ), ( zy,PzyD ),( zyx zydd 若 ,),(,),(: xzDxzxzyy 则 有 xzzyxQ dd),( ) z, ,( xzD xQ ),( xzy xzdd(前 正 后 负 )(右 正 左 负 )说 明 : 如 果 积 分 曲 面 取 下 侧 , 则 yxzyxR dd),( ) ,( yxD yxR ),( yxz yxdd 机 动 目 录 上 页 下

12、页 返 回 结 束 例 1. 计 算 yxxzxzzyzyyx dd)(dd)(dd)(其 中 是 以 原 点 为 中 心 , 边 长 为 a 的 正 立 方体 的 整 个 表 面 的 外 侧 .解 : 利 用 对 称 性 .原 式 yxxz dd)(3 的 顶 部 ),(: 2221 aaa yxz 取 上 侧 的 底 部 ),(: 2222 aaa yxz 取 下 侧 1 dd)(3 yxxz yxD yxxa dd)2(3 yxxz 2 dd)( yxxayxD dd)2( yxD yxa dd3 33a x z y 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 解 : 把 分 为 上

13、 下 两 部 分 221 1: yxz 根 据 对 称 性 0dd yxxyz 思 考 : 下 述 解 法 是 否 正 确 :例 2. 计 算 曲 面 积 分 ,dd yxxyz 其 中 为 球 面 2x外 侧 在 第 一 和 第 八 卦 限 部 分 . o z yx 112yxD 0,0 1:),( 22 yx yxDyx yx 222 1: yxz 122 zy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 yxD yxyxyx dd 12 22 22 1cossin2 rryxD rrr d1 210 3 152 20 d2sin o z yx 112yxD yxzyx dd 2 dd

14、 yxzyx 1 dd yxzyx yxD yxxy dd )1( 22 yx yxD yxxy dd 221 yx ddrr 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. 设 S 是 球 面 1222 zyx 的 外 侧 , 计 算S xx zyI 2cosdd2解 : 利 用 轮 换 对 称 性 , 有S xx zy2cosdd2 0cosddcosdd 22 SS zyxyxz S zz yxI 2cosdd 10 222 1cos1 d rr rr 10 22 21cos 1d4 rr1tan4 yxz2cosdd zz yx 2cosdd,cosdd2 2 S zz yx

15、 1 2222222 1cos1 ddyx yxyx yx 20d2 2 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 四 、 两 类 曲 面 积 分 的 联 系ni 1 zyiiii SP )(,( xziiii SQ )(,( yxRxzQzyP dddddd yxiiii SR )(,( 0lim 0lim ni 1 iiiiP cos),( iiiiQ cos),( iiiiR cos),( iS SRQP dcoscoscos 曲 面 的 方 向 用 法 向 量 的 方 向 余 弦 刻 画 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 令 yxRxzQzyP dddddd SRQ

16、P dcoscoscos SAnd向 量 形 式 ),( RQPA )cos,cos,(cos n )dd,dd,d(ddd yxxzzySnS SA d nAAn SnA d( A 在 n 上 的 投 影 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 位 于 原 点 电 量 为 q 的 点 电 荷 产 生 的 电 场 为解 : Srq d2 SRq d2q4 。q )(),( 22233 zyxrzyxrqrrqE 求 E 通 过 球 面 : r = R 外 侧 的 电 通 量 . SE d SnE d Srrd rrq3 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 yx

17、 z 111例 5. 设 ,1: 22 yxz 是 其 外 法 线 与 z 轴 正 向夹 成 的 锐 角 , 计 算 .dcos2 SzI 解 : SzI dcos2 yxz dd2 rrr d)1(d 21020 2 yxD yxyx dd)1( 22 n 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 221cos yxx 例 6. 计 算 曲 面 积 分 其 中 解 : 利 用 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 , 有 zyxz dd)( 2 )( 2 xz Sdcos yxddcoscos o yx z2 原 式 = )( x )( 2 xz yxz dd ,dddd)( 2 yxz

18、zyxz旋 转 抛 物 面 )( 2221 yxz 介 于 平 面 z= 0 及 z = 2 之 间 部 分 的 下 侧 . )( 2 xz 221 1cos yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )( xxyxD 222 )(41 yx o yx z2原 式 = )( 2221 yx yxyxxyxD dd)( 22212 rrrr d)cos( 221220 2 20 d8 yxdd得代 入将 ,)( 2221 yxz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结定 义 : Szyxf d),( iiini i Sf ),(lim 10 yxRxzQzyP

19、 dddddd zyiiiini SP ),(lim 10 yxiiii SR ),( 1. 两 类 曲 面 积 分 及 其 联 系 xziiii SQ ),( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 性 质 : yxRxzQzyP dddddd yxRxzQzyP dddddd联 系 : yxRxzQzyP dddddd SRQP dcoscoscos 思 考 :的 方 向 有 关 , 上 述 联 系 公 式 是 否 矛 盾 ?两 类 曲 线 积 分 的 定 义 一 个 与 的 方 向 无 关 , 一 个 与 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 常 用 计 算 公

20、式 及 方 法面 积 分 第 一 类 (对 面 积 )第 二 类 (对 坐 标 ) 二 重 积 分(1) 统 一 积 分 变 量 代 入 曲 面 方 程 (方 程 不 同 时 分 片 积 分 )(2) 积 分 元 素 投 影 第 一 类 ： 面 积 投 影第 二 类 ： 有 向 投 影(4) 确 定 积 分 域 把 曲 面 积 分 域 投 影 到 相 关 坐 标 面 注 ： 二 重 积 分 是 第 一 类 曲 面 积 分 的 特 殊 情 况 .转 化 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 当 yxDyxyxzz ),(,),(: 时 ， yxzzyxzyxfSzyxf yxD yx

21、dd1),(,(d),( 22 yxyxzyxRyxzyxR yxD dd),(,(dd),( （ 上 侧 取 “ +”, 下 侧 取 “ ”)类 似 可 考 虑 在 yoz 面 及 zox 面 上 的 二 重 积 分 转 化 公 式 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 与 练 习1. P167 题 2提 示 : 设 ,),(,0: yxDyxz 则 取 上 侧 时 , yxzyxR dd),( yxD yxyxR dd),( 0 取 下 侧 时 , yxzyxR dd),( yxD yxyxR dd),( 02. P184 题 13. P167 题 3(3) 机 动

22、目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,),( Czyxf 是 平 面 1 zyx在 第 四 卦 限 部 分 的 上 侧 , 计 算 zyxzyxfI dd),( xzyzyxf dd),(2 yxzzyxf dd),( 提 示 : 求 出 的 法 方 向 余 弦 , 转 化 成 第 一 类 曲 面 积 分P167 题 3(3). 设 作 业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2) SzyxI d)(31 Sd31yx x d3d 0 11031 21 第 六 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,dddddd z yxy xzx zyI 备 用 题 求

23、 1: 222222 czbyax 取 外 侧 .解 : z yxdd dxdyc yxD byax , 22221 11 dxdyc yxD byax , 22221 11 yxc yxD byax dd1 12 , 2222 ,sin,cos rbyrax dddd rrbayx rrrabc d1d2 10 220 21c cba4 注 意 号1: 2222, byaxD yx 其 中 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 z yxdd 21c cba4利 用 轮 换 对 称 性 x zydd 21a cba4 y xzdd 21b cba4 222 111 cba cbaI 4 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束