产销平衡条件下的产量优化问题1

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1、产销平衡条件下的产量优化问题一个企业要在市场竞争中立于不败之地，就必须不断改善其经营管理，提 高经济效益。其具体内容主要包括：怎样合理安排生产任务、合理配置资源， 怎样制定最优的生产计划，并对瞬息万变的市场信息及时作出反应。线性规划 是数学规划与运筹学的一个分支，是运筹学中最常用的一种方法。线性规划所 处理的问题正是怎样以最佳的方式在各项经济活动中分配有限的资源，以便最 充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。企业在生产过程中，通常会同时 生产多种产品。这时就需要进行各种产品产量最优组合决策。在实践中，可以 运用线性规划的方法来进行产品产量最优组合的决策。1线性规划产量组合模型的一般形式线性规

2、划是一种广泛用来解决有约束条件下最优化问题的方法。其基本定 义是：求一组变量值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。 11线性规划的模型构成要素线性规划模型结构通常包括3个要素：(1) 变量。把企业看作一个系统，变量是系统中的可控因素，也是指实际系统中 有待确定的求知因素。这些因素对企业目标的实现和各项经济指标的完成具有 决定性影响，故又称为决策变量。(2) 目标函数。目标函数是指系统目标的数学描述。线性规划目标函数特征之一 是规划模型的基本条件和假设；特征之二是单目标，实现单目标的最优值。一 般是求效益性指标，如产值、利润等的极大值。或者是损耗性指标，如原材料 消耗、成本、费用的极小

3、值。极值的标准要根据系统的具体情况和决策的要求 来定。(3) 约束条件。约束条件是实现系统目标的限制因素，它涉及到系统的内外部条 件的各个方面，如内部条件的原材料的储备量、生产设备能力、产品质量要求； 外部环境的市场需求和上级的计划指标等。这些因素对实现系统目标都起着约 束作用，所以称为约束条件。线性规划的约束条件有3种形式：大于等于；等于； 小于。前两种形式多属于效益性指标或合同要求，必须按计划及合同要求超额 或如数完成；后者多属于资源供应约束，由于数量有限，一般不允许超出。目标函数约束条件12企业产量组合决策模型的一般形式max Z = c x + c x HF c x1 1 2 2 n

4、na x + a x HF c x b11 1 12 2 n n 1a x + a x HF c x b21 1 22 22 n n 2a x + a x HF c x 01 2 n这个模型由目标函数和约束条件两部分构成，即要求所确定的产品产量在 能满足企业资源数量的条件下，使利润最大。其中，z为总利润；x，x x为企业生产的各种产品；C，c，c为每种产品能提供的利润贡献；b，b ， n 1 2 n 1 2，b为可供使用的各种投人要素的数量；a. (i=l，2，m ； j =1，2，n) 为第m种产品每生产i个单位所需要的第i种投入要素的数量;非负值约束条件表 示各种产品的产量必须是正值，不可

5、能为负值。2线性规划产量组合模型的特点及应用条件21线性规划模型的特点(1) 线性函数。线性规划的目标函数与约束条件均为线性函数，这是线性规 划建模的前提。(2) 单目标。这与企业实际经济管理中多指标的要求是矛盾的。一般的处理 方法是抓主要矛盾，确定个目标最优，带动其他目标的实现，或者单目标多 方案择优。(3) 连续函数。线性规划的最优解值是连续的，可以是整数，也可以是分数 或小数。(4) 静态确定值。线性规划模型参数一般要求是确定型的，参数均应是已知 的，所以它只是一种实际活动的静态描述。22线性规划模型的应用条件为了能用线性规划方法来确定产品产量的最优组合，需要对有关的因素做 一些假设。(

6、1) 每种产品的单位产品利润是已知的常数。(2) 每种产品所使用的生产方法为已知，而且它们的规模收益不变，即如果 投入要素增加1倍，产量也增加1倍。(3) 企业能够得到的投入要素有限，而且已知。(4) 企业的目标是谋求利润最大。以上的假设是基本符合实际情况的。例如， 如果产品的价格不变，企业生产产品的平均成本不变，那么单位产品的利润也 就不变，这样利润就成为产量的线性函数。在实际生活巾，生产方法一旦确定， 就不会轻易变动，这时要增加产量就必须按比例增加投人要素。所以产量是投 入要素的线性函数。在短期内，企业可以利用的投入要素的数量是固定的，因 此，企业扩大产量要受到投人资源条件的约束。3线性规

7、划产量模型在产销平衡条件下的应用假定一家企业同时生产两种产品吊灯( x )和木质台灯( x )，生产每单位吊灯 的利润贡献为400元，生产每单位木质台灯的利润贡献为600元。生产中可使用3 种投人要素劳动力(A)、材料甲(B)和材料乙(C)。生产每单位吊灯要消耗劳动力 5个单位。材料甲8个单位(生产吊灯不需要消耗材料乙)。生产每单位木质灯要 消耗劳动力10个单位，材料甲6个单位和材料乙2个单位。企业年拥有劳动力如 个单位。材料甲48个单位和材料乙40个单位。这样可列出目标函数和约束条件 如下：目标函数：z二4x + 6x (使总利润最大)12约束条件：5x +10x 50128x + 6x 4

8、8122x 0用几何图解法1解2之，具体步骤如下：第一步，确定满足约束条件的可行域。z = 4 x + 6 x 是变量 x ，x的线性函数，其中z是待定值。将其改写为x223 x+专由解析几何知这是1 2 1参数为z、斜率为-3的-族平行线。由于位于同-直线上的点具有相同的目标 函数值，因而称它为“等值线”，如图。图2 日标函数变化的最优方向当z由小变大时，直线x =-? x +:Z其法线方向向右上方移动。这样，就确2 3 1 6定了目标函数变化的最优方向。第三步，确定最优解及最优值。上一步中，已确定了目标函数变化的最优 方向。但由于约束条件的限制，目标函数的等值线不能无限制地远离原点。为 了

9、得到所需的答案，需要在目标函数的平行线中，沿其变化的最优方向，找出 一条等值线，使该等值线与线性规划问题可行域的多边形ABCD至少有一点相 交。从图3中可以看出，B点是符合上述要求的唯一点，即B点坐标既能满足约 束条件，又能使目标函数取得最大值。B点坐标可由求解直线方程5x +10x二50和 128x + 6x二48的联立方程组得到，为(x，x )=(36 3.2)，即该企业生产吊灯3.6 个单位、生产木质台灯3.2个单位，将其代人目标函数得z =33.6百元，这时企业 的3种投入要素充分利用，并使利润达到最大值。在产销平衡条件下，即生产的产品都能够销售出去，应用线性规划产量模 型计算最优产量

10、需要考虑市场需求，这样就会有两种情况。第一种情况：市场需求量大于线性产量模型计算出的产量时，假设其他条 件不变，当根据市场预测，吊灯的年需求量为4个单位，木质台灯的年需求量为 5个单位，我们可以得到如下图的可行域多边形ABCDE，等值线z与多边ABCDE的最优交点是B(3.6, 3.2)，即该企业生产吊灯3.6个单位、生产木质台3.2个单位 将其代入耳标函数得z=33.6百元，这时企业的3种投人要素充分利用，并使利润 达到最大值。另一种情况：市场需求量小于用线性产量模型计算的产量时，假设其他条 件不变，当根据市场预测，吊灯的年需求量为4个单位，木质台灯的年需求量为 3个单位，由模型得到的木质台

11、灯的年需求量3.2个单位大于预测的年需求量3个 单位，显然生产出来的产品不能够全部销售出去。考虑到产销平衡的问题，我 们可以得到如下图的可行域多边形A，B C D E，等值线z与多边形A，B C D E的最优交点是曰B (3.75，3)，即该企业生产吊灯3.75个单位、生产 木质台灯3个单位。将其代入目标函数得：z=33百元，若按原方案，企业利润 Z = 4 X 3.6 + 6 X 3 = 32.4，可见这时企业的3种投入要素充分利图5第二种情况尤其是在产销平衡下的应用。实际问题比较庞大，也较复杂，但是它们用的都是同样的原理。当变量比较多时，可以用单纯形法或用计算机软件辅助求解。 都是比较简便

12、可行的。4应用线性规划产量组合模型应注意的问题41应注意的问题一在企业管理中，应用模型分析是“理性思考”的过程，但必须认识到理性 思考不等于简单的数学求解过程，而是提供有关决策制定过程的思维框架。提 高企业利润的关键在于现有资源的合理配置，而不是哪种产品的单件利润高就 多生产。理性思考的重点不是比较单件利润。而是从企业整体出发安排生产。 使投人要素配置产出结果最优。42应注意的问题二建立线性规划模型，并不涉及高深的数学问题和财务投资的业务知识，只 需要把管理常识问题用数学方式加以表达。线性规划模型过程比较复杂，但用 电脑求解比较方便，要购买相应的应用软件，进行辅助决策。管理决策人员在 破除对数学模型应用的畏难情绪的同时，要努力提高理论思考水平，利用电脑 帮助企业“挖掘数据潜力”，提高企业资源优化配置的科学水平，实现利润最 大化的目标。参考文献：【1】王昌贵.线性规划在企业管理中的应用J.研究与探索。2004( 12).【2】安劲萍.线性规划在经济分析中的应用J】.中国财经大学学报，2005(1).【3】邓正林，线性规划模型在企业产品产量组合决策中应用初探J.市场调查理论研究。2006(9).【4】洪国芳.生产管理学M】.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版杜。1994.【5】李英华，芏忠青.运筹学M.长春：吉林人民出版社，1994.