关系与映射学习指导重点

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1、关系与映射学习指导学习目标理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理 解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。内容提要(一) 二元关系笛卡尔积：AXB二(a,b) laA, bB，注意(a, b)为有次序的元素偶.从集合A到B中的关系：AXB中的每一子集R称为从A至UB中的关系.若(a,b)R,则 称a与b是R-相关的，记作aRb.关系R的定义域：Dom(R)二a l存在bB,使aRb(uA).关系R的值域：Ran(R) = b l 存在aA,使aRb(uB).关系R的象集：R( A) = b l存在aw A，使得aRb(uB).其中集合A

2、uA.关系R的逆：设RuAXB，贝ijBXA的子集R-i = (b, a) l aRb称为R的逆.关系的复合：S。R=(a, c) l 存在bWB，使得aRb, bSc，其中RuAXB, SuBXC. 设A, B, C, D为集合；R u AXB, S u BXC, T u CXD，则有关系的逆与复合运算满 足：(1) (R-i)-i=R；(2) (S o R)-1 二 R-1 o S-1 ；(3) To (S o R) = (To S) o R.(二) 映射映射： F：XY,即VxWX，有唯一yWY，使得xFy. 映射F的象：y=F(x)，即对于每一xWX,使得xFy成立的y.映射F的原象：

3、 F-1(y)，即对于yWY,使得xFy成立的x(xWX). 映射的复合：(GoF)(x)=G(F(x),其中F : X-Y, G : Y-Z. 满射： 若f(X)二Y,则称/为从X到Y上的满射.单射：若V X,EX, X工，有f(叮)考(),则称/为从X到Y上的单射.双射：若f即是单射又是满射的.逆映射：由y=f(x)确定的从Y到X的映射f-1: Y-X,其中f：X-Y是双射.结论1：设f ： X-Y, A, Bu Y,则逆映射f -1满足(1) f-1 (AUB) = f-1 (A) U f-1 (B)；(2) f-1 (AAB) = f-1 A f-1 (B)；(3) f -i (A-B

4、) = f-i (A)-f -i (B).结论2：设f ： X-Y(1) 若/是单射，则对于X的任意子集A,有f -1 (f(A)=A.(2) 若/是满射，贝U对于Y的任意子集B,有f( f -1 (B)=B.(三) 运算运算：映射f： AXB-C是一个从AXB到C中的运算.特别的，映射f: AXA-A是A上的一个运算，并且称运算f在A上封闭.若f(a, b)=f(b, a),则称运算f满足交换律；若ff(a, b), c)=f(a,f(b, c),则称运算f满 足结合律.f 的右零元e：V aEA, 使f(a, e)= a；f 的左零元e：V aEA, 使f(e, a)= a；f的零元e：既

5、是f的左零元，又是f的右零元.a的右逆元a:对于aA,若3 a WA,使f(a, a )= e； a的左逆元a:对于aA,若3 a丘人使代a , a)= e； a的逆元a: 既是a的左逆元，又是a的右逆元.重难点解析(二) 关于关系与映射世界上存在各种各样的事物,这些事物之间的相互联系,我们称之为“关系”. 本节用 统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的,但本质上却有其共性的“关系”. 本节 介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础,它们在后续各章节中都有应用. 因 此,我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念,理解映射、满 射、单射、双射等概念,掌握有关定

6、理的证明方法和有关的例题的处理方法。1 笛卡尔积是一种集合的二元运算，是本节最基本的概念之一.集合A与B的笛卡尔 积AxB = (a , b) | aeA , beB 是一个集合，这个集合的元素都是一些有序对，这些有序对 中的第一个成员都是取自集合A,第二个成员都是取自集合B,不能随意取出写之.集合A, B的笛卡尔积与这两个集合的次序有关.一般地，若A与B非空，只要AHB,贝9 有AXBBXA.也就是说交换律不成立.例如，集合A=a, b, c, B=1, 2，贝9AxB=a,b,cx1, 2 = (a, 1),(a, 2),(b, 1),(b, 2),(c, 1),(c, 2)AxB= 1,

7、 2xa,b,c = (1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,a)，(2,b)，(2,c)所以 AXBMBXA.2. 二元关系 R 是一个有序对组成的集合. 因此，一个二元关系是一个集合，可以用集 合形式表示. 但是任意一个集合就不一定是一个二元关系了，只有当这个集合是由有序对组 成的，才能称为二元关系.例如，叫=, 1), (b, 2), R2 =a, (b, 2),那么叫是二元关系，而R?不是二元关系， 仅仅是一个集合二元关系R也可以用关系图表示.设集合A =a1 , a2，,am , B=b1 , b2，,b” , 若R是从A到B的一个关系，则用m空心点表示a1 , a2，,a ，用n

8、空心点表示b1 , b2，,12m12b ,这些空心点统称为结点.如果a.Rb.,那么由结点a.到结点b.作一条有向弧，箭头指 向b.；如果(a. , b.) e R，那么结点a.与b.之间没有 弧连结，这样的图形称为R的关系图若R是A上一个关系，如果5% (.工.)，有向弧的画法与上面相同；如果a.Ra.,则画一条从结点a.到结点a. . . . .的带箭头的封闭弧，称为自回路例如，集合A=1, 2, 3, 4上的关系R =(1 , 1), (1 ,2)， (2 , 3)， (2 , 4)， (3 , 3)， (4 , 2)，贝 R 的关系图如图 1-6 所示.3关系R的定义域是指R中有序对

9、的第一元素所允许选取对象的集合，关系R的值 域是指 R 中有序对的第二元素所允许选取对象的集合.例如，集合A=a, b, c, B=1, 2, 3,从A到B的关系R= (a, 2), (b, 1), (b, 3)那么, Dom(R) = a,b, Ran(R) = 1, 2, 3.4.在映射的定义(定义2.5)中，条件“如果V xWX,有唯一 yGY,使得xFy, ”表示映 射是单值的，也就是说，定义域中的任意一个x与值域中唯一的y有关系，所以用y =F(x)表 示.另外，该条件还指出，集合X就是映射F的定义域，即Dom(F) =X.因此，从集合X到Y的映射F是一个二元关系，但是从X到Y的二元

10、关系R不一定是一个映 射.例如，实数集R上的二元关系/=(a, b)|a = b2不是映射，因为(4,-2)ef (4, 2)ef不满 足映射的单值性.由此可知,若映射F是双射，则存在逆映射F-1 ；若映射F不是双射，则不存在逆映射F-1, 或者说F -1不是映射.对于从集合X到Z中复合关系G。F,因为F是从X到Y的映射，G是从Y到Z的映射，由映射 的定义可知，映射F的值域是映射G的定义域的子集，即Ran(F)u Dom(G)，它保证了复合 映射G。F是非空的.典型例题解析例 1设集合A= 1, 2, 3, 4上的二元关系R= (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (

11、3, 3),S= (1, 3),(2, 2), (3, 2), (4, 4)，用定义求 S。R, R。S, R2 , R-1, S-1, S-1。R-1.思路求复合关系S。R，就是要分别将R中有序对(a, b)的第2个元素b与S中的每 个有序对(c, d)的第1个元素进行比较，若它们相同(即b=c)，则可组成S。R中的1个元素 (a, d),否则不能.幕关系的求法与复合关系类似.求关系R的逆关系，只要把R中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到R-1中 的所有有序对.解 S。R = (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)。(1, 3), (2, 2),

12、(3, 2), (4, 4) = (1, 3), (1, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 2)R。S =(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)。(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 4)R2 = R R = (1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)。(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3) =(1, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3)R-1

13、=(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)-1=(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2) S-1=(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)-1= (2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)S-1 R-1=(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4) =(1, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 3)注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即S R丰R S.例2对于以下给定的集合A

14、、B和关系f判断是否构成映射f： A T B.如果是，试 说明f： A T B是否为单射、满射或双射的.(1) A=1, 2,3,4, 5，B=6, 7,8,9,10，f=(1,8), (3, 9),(4,10),(2, 6), (5,9)；(2) A=1, 2,3,4, 5，B=6, 7,8,9,10，f=(1,7), (2, 6),(4,5), (1, 9), (5,10)；(3) A=1, 2,3,4, 5，B=6, 7,8,9,10，f=(1,8), (3, 10), (2, 6),(4, 9)(4) A=B=R,f (x) = x3， ( Vx & R)；1(5) A=B=R，f (

15、x)二，(Vx e R)；x 2 + 1思路首先按照1.2节的定义2.5，判断A、B和f是否构成映射，即判断f是否具有 单值性以及Dom(f )是否等于A.然后再按照定义2.6，说明f： A T B具有的性质.解(1)因为 Domf) = A，且对任意 i e A(i=1, 2, 3, 4, 5)，都有唯一的 j e B，使(i,j)e f .所以A、B和f能构成函数f： A T B.因为存在3, 5eA,且3丰5,但映射f (3)=f=9,所以f： A T B不是单射的； 又因为集合B中的元素7不属于f的值域，即f (A)丰B,所以f： A T B不是满射的.(2)因为对1 e A,存在7,

16、 9 eB,有f (1)= 7 , f (1)= 9，即f不满足映射定义的单值性图 1-12条件.所以A、B和f不能构成映射f： A T B.(3) 因为 Domf=1, 2, 3, 4丰 A,所以 A、B 和f不能构成映射f： A T B.(4) 因为对Vx e R,都有唯一的x3 eR,使 (x, x3)e f .所以A、B和f能构成映射f： A T B. 由图1-12可知，f： A T B , f (x)= x3是双射的.1(5)因为对Vx eR,都有唯一的G R,x 2 + 11使(x,) G f .所以A、B和f能构成映射x 2 + 1 f： A T B.因为该映射在x丰0处，f (

17、-x)=f (x),且f (R)丰R,所以映射f： A T B不是单射的，也不是满射的.例 3 证明：若 f： XT Y, A，Bu Y,则 f 1(A B) = f - 1(A)- f 1(B)证明 T V xG f -1(A- B), 3 y e (A- B),即 ye A 但 y G B,使得 y = f (x), 从而有 x e f -1 (A)但 x G f -1(B),故 x e (f -1-f -1(B). f -1 (A-B)u f -1(A) - f -1(B).又 VxG (f -1 (A)- f -1 (B)，由于 xG f -1 (A)但 x e f -1(B),从而f

18、 (x)GA 但f (x) G B, 即f (x)G(A-B),故xG f -1(A- B).f-1(A) - f-1(B)u f-1(A-B)因此, f-1(A- B) =f-1(A)-f-1(B).例4设有映射f:AA.若GaA, f(a)=a,则称映射f是恒等映射，表示为1 .设有A两个映射f:AB, g:BA.若gf =1 ,则f是单射，g是满射.A证明(1)证明映射f是单射.对任意的 bGB,如果存在 a1，a2G A, 使f (a1) = b, f (a2) = b, 即f (a1) = b = f (a2).因为 a1=IA(a1)=(gf)(a1)=g(f(a1) =g(f(a

19、2) =(gf)(a2) = IA (a2)= a2.所以f是单射的.(2)证明映射g是满射.因为(gf )(A)= I (A)= A,所以gf是满射的.A又对任意的cGA,由gf是满射的可知，存在aGA,使(gf )(a) = c.那么存在 bGB, 使f (a) = b, g(b) = c.所以存在b GB,使g(b) = c,即g是满射的.例5设函数f： ATB, g： BTC,且gf： ATC,证明：若f和g都是单射的，则 gf也是单射的.证明 因为对任意的a,a2 G A,如果a1丰a2,那么由f是单射的可知,f (a1)丰f (a2).而 由g是单射的可知，g (f (a1)丰g( f (a2).“a 2,a 3例 6 设f： R TR, f (a)= 3av3a 2, a 3(g f )(a)= g (f (a)=(a + 2)2,0,2, a v 3(f g)(a)= f (g(a) = f (a+2) =2)求逆映射.因为映射f： RTR, f (a) = a: a33不是满射的.所以f： RTR不是双射,| 2, a 3由1.2节注2.1可知，f不存在逆映射.又因为g： RTR，g(a) = a +2即是满射的，又是单射的.所以g： RTR是双射，因 此g存在逆映射，其逆映射为g-1: RTR，g-1(a) = a - 2.