充要条件的探求与证明

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1、专题一 充要条件的探求与证明第一课时：基础导引1. 若 a, b, cWR，贝0 b24ac0 恒成立的 条件答案：既不充分也不必要2. 函数f (x) = xlx+al+b是奇函数的充要条件是(用ab表示)解f (x)为奇函数，对任意实数x都有f(-x) = -f (x)成立.即 -xl-x+al+b = -(xlx+al+b)成立，即 -xlx-al+b= 一 xlx+al -b 成立.比较等式两边函数式结构可得：-a二a,即a = b二0,即a2 + b2二0.b = b考点搜索1. 根据已知，探求使一个命题成立的充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件等.2. 探求充要条件常用三种思维

2、方法: 先求必要条件，再验证充分性； 先求充分条件，再验必要性； 将命题作条件转化后再作探求，化难为易.链接高考例1设定义域为R的函数f (x)屮皿x - x丰1 ,0,x = 1则关于x的方程f 2( x)+bf (x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是b0b0且c0b0)有4 不同实根.若使关于x的方程f 2(x)+bfx)+c=0有7个不同的实根，贝0当且仅当关于t的方程 t2+bt+c=0有一个零根和一个正根.*.c=0,且b0恒成立的充要条 件是.解析设函数 fx)=asinx+bcosx+c, xR,据题意,fx)0 恒成立,fx)min 0.f (x) = a2 + b2

3、 sin(x + 申)+ c :. f (x)= ；a2 + b2 + c,minI1由- a 2 + b 2 + c 0得:cQa 2 + b 2.亍、j是不共线的单位向量,a = 5亍+3j,b = 3i-5j,贝ija丄b,则 a丄方的充要条件是a 丄 b o a - b = 0, 即(5i + 3 j) - (3i - 5 j )二 0,【解析】即15j2 -16/ 寸-15j2 二0,.軒二 |j|二二0,即F寸=0,二i 丄 j.例3已知函数fx)=2cosx(sinx+acosx)-a,其中a为常数，求函数y=fx)的图象关于直线x 兀=-一对称的充要条件.8兀/ f (x) =

4、 sin 2 x + a cos 2 x,若函数y = f (x)的图象关于直线x =-石对称，8则f (0) = f (-中)二 a = -1, 若a = -1则f (x) = cos2x =、Csin(2x -). f (- ) =sin(- ) =2,即f (-)是函数y = f (x)的最小值,4828.y = f (x)的图象关于直线x =-对称的充要条件是a = -18例4设命题p：函数f (x) = lg(ax2-x + a)的定义域为R；命题彳：不等式” 2x +1 0命题p为真命题o对任意实数x都有ax2x +16 0成立 o a2 o a 2.1 - 0时不等式迈x+1 仝

5、土!x恒成立o当x 0时,a 亏而 0时 J2x +1 1,- 2x +1 +1 2,从而0 设A = (2,+8),B = 1,+s),则“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题 oae A U B 且a 电 A n B o ae1,2故“p或q”为真命题且“p且q”为假命题的充要条件是1 a 0且a丰1, a=丄知(n e N *),设b = an+pn11n+11 + an ann(p丰0为常数),求数列b 为等比数列的充要条件.n解析 b = a p a =,n a n b - 12a11+a n ,. .nn+i 1+a a2ann+1n11m 而b 1 b 1 I,介、+,从而一n

6、+1 n +(p 丰 0),2a2p2 p2n2(b 1) b 1 + p即2b b + p +1,且b 纟 , n +1nn+1n1a1 故数列b 为等比数列的充要条件是p 1n在线探究1.设a,bR,则使lal+lbl1成立的一个充分不必要条件是 (1) a + b n 1(2). an 2 且 |b| 2(3). b 1答案：(3)2.已知a0,aH1,设P:函数y=loga(r+1)在区间(0,+8)内单调递减；Q:曲线y=x2+(2a-1)x+1与x轴交于不同的两点，求P与Q有且只有一个正确的充要条件. 解析P正确 o 0 a 0,即a -或a 0,a丰1 a e丄,1)U(-,+s

7、)为所求的充要条件.22【猜谜答案】1.异曲同工 2.自圆其说 3.可圈可点 4.一五一十 5.口是心非 第二课时基础导引1.设集合4 x lX 0,B x l X 一bl a,若 “a 1” 是 “A n B ”x +1的充分条件，则b的取值范围可以是(1). 2b 0(2).0b 2(3). 3b 1(4). 1 b 2据题意，当 a 1时,有A n B ,而当a 1时,A (1,1), B (b 1, b +1).A n B 鼻 o1 b +1 b,1 1, 即 2 b 2 b的取值范围是集合(-2,2)的子集，选项(2)( 4)符合要求.2.设p: |4x 3 1,q: x2 (2a

8、+1)x + a(a +1) 0,若p是q的必要而不充 分条件，则实数a的取值范围是由4x 3 1得丄 x 1 .由x 2 (2a +1)x + a(a +1) 0得：a x a +1.p: 2 x 1,q: a x a +1右是-i?的必要非充分条件，则P n -q,但-q书-q,即q n p,但p n q. 2,1 u a,a +1,/考点搜索1 充要条件的证明分两面证，即从条件成立来证明结论成立，同时也要从结论成立证 明条件也成立2为了证明充要条件的方便，可把命题的条件或结论价等价转化，目的是化生为熟，便 于证明链接高考冗例1已知a、卩均为锐角,若p: sin a sin(a +卩),q

9、: a +卩 ,p是q的条件2解析取a = 30。, p = 60。,贝ijsina sin(a + p )，但a + p冗2p n q.兀右0 a a + p ，贝ijsina sin(a + p ),. q n p .2故p是q的必要不充分条件.例 2 给出下列四个命题：设2为直线，a、p为平面，且l丄p,则a丄p的充要条件是lua;(2)复数Z为纯虚数的充要条件是z2 订2. 其中正确命题的序号是答案：(2)例 3设p: |2x - (a +1)21 (a -1)2 (a 丰 1),q: x2 - 4(a +1)x + 3(4a +1) 0,若p是q的充分非必要条件,求实数a的取值范围.

10、解析由2x - (a +1)21 (a 一 1)2 o-(a1)2 2x 一 (a +1)2 (a 一 1)2 o 2a x a 2 +1由x 2 一 4(a +1)x + 3(4a +1) 0 o (x 一 3)x 一 (4a +1) 0设集合A = x 12a x a2 +1,B = x 1(x 一 3)x 一 (4a +1) 3f4a +1 31a 2于是 a 2 +1 4a +1或 ! a 2 +1 3/. 0 a 4或-迈 a 32a 4a +1a -3一113.2 a 4或-2 a 一2古如的取值范围是12，-2U再例 41，X 2,a b c b，c a记实数兀,x，,x中的最大

11、数为max. ,x，x 1 2 n 1 2 n已知AAC的三边长为a,b,c(a b b 0)的左焦点F,任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,M为x轴上一点. a 2 b2求证：ZAMB被x轴平分的充要条件是点M的椭圆的左准线与x轴的交点.解过点M作x轴的垂线Z，过点A、B分别作Z的垂线，垂直为C、D,则ZAMB被x轴平分 o ZAMF = ZBMF o ZAMC = Z.BMD丄口八 rAC| CMo 血AACM相似于MABDM o1 = BD DMAC / FM /BD,AFCMtlACAFlAFBF_11从而有1iro=BFDMlBDllBFlACBD F为椭圆的左焦点 C、D两点在椭圆的左准线上，即Z为椭圆的左准线. 故ZAMB被x轴平分的充要条件是点M为椭圆的左准线的交点.