复变函数积分的概念

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1、第三章 复变函数的积分 1 复 变 函 数 积 分 的 概 念 一 复 变 函 数 积 分 的 定 义 二 积 分 存 在 的 条 件 及 其 计 算 法 三 积 分 的 性 质 设 C 是 复 平 面 一 条 光 滑 （ 或 按 段 光 滑 ） 的 曲 线 ，如 果 选 定 C 的 两 个 可 能 的 方 向 中 的 一 个 作 为 正 方 向 (或正 向 )， 那 么 我 们 可 以 将 C理 解 为 带 有 方 向 的 曲 线 ， 称为 有 向 曲 线 ， 如 果 C 是 一 条 以 A 与 B为 端 点 的 有 向 曲线 ， 如 果 从 A 到 B 为 C 的 正 向 ， 则 称 从

2、B 到 A 方 向为 的 有 向 曲 线 称 为 C 反 向 曲 线 ， 记 为。C 除 特别 声 明 外 ， 有 向 曲 线 C 的 正 向 总 是 指 起 点 到 终 点 的 方向 ， 对 一 简 单 闭 曲 线 总 是 指 逆 时 针 方 向 。一 复 变 函 数 积 分 的 定 义 在 区 域定 义 设 函 数 )(zfw D 有 定 义 ， C 为内 一 条 以D A 为 起 点 B 为 终 点 的 光 滑 的 有 向 曲 线 ，如 果 将 曲 线 C 从 起 点 到 终 点 依 次 任 意 分 成 n 个 小 弧 段 ，BzzzzzzA nkk , 1210分 点 为在 每 个 小

3、 弧 段 kk zz 1 任 取 一 点 ,k 作 和 式 nk nk kkkkk zfzzf1 11 )()(记 ks 为 小 弧 段 kk zz 1 小 的 弧 长 ， ,max1 knk s 趋 向 于 零 时 ， 当 如 果 对 C 的 无 论 怎 样 分 法 及 k 在 小弧 段 上 的 无 论 怎 样 取 法 ， 和 式 有 唯 一 的 极 限 ， 则 称 极 限 值 为 函 数 )(zf 在 C 上 的 积 分 ， 记 作。C dzzf )( 即)1.1.3()(lim)( 10 nk kkC zfdzzf如 果 C是 闭 曲 线 ， 则 我 们 将 沿 闭 曲 线 的 积 分

4、记 为 ：C dzzf )( 上 连 续 ，如 果 函 数 ),(),()( yxivyxuzf 在 区 域 D即 ),(),( yxvyxu、为 D 上 的 连 续 函 数 。 设 kkk i设 光 滑 曲 线 C 是 由 方 程 ： ),(,)()()( ttiytxtzz确 定 ， 其 正 向 是 从 起 点 A B到 终 点 的 方 向 ， 其 中 为起 点 A 参 数 ， 是 终 点 B 的 参 数 ，0)()()( tyitxtz 且由 于 kkkkkk kk yixyyixx zzz )( 111二 积 分 存 在 的 条 件 及 其 计 算 法 所 以 nk kkkkkknk

5、kkkkkknk kk yuxvi yvxuzf 110 ),(),( ),(),()(由 线 积 分 存 在 定 理 得 ， 当 0 上 面 的 两 个 和 式 的 极限 都 是 存 在 的 ， 且 有 )2.1.3()( CCC udyvdxivdyudxdzzf )2.1.3( 表 明 ：1） 当 )(zf 是 连 续 函 数 ， C 是 光 滑 曲 线 ， 则 C dzzf )(一 定 存 在 ； 2） 计 算 复 函 数 的 积 分 可 以 转 化 为 计 算 两 个 平 面 上对 坐 标 的 曲 线 积 分 。根 据 对 坐 标 的 曲 线 积 分 的 计 算 法 ， 有 dtty

6、tytxvtxtytxu dyyxvdxyxuC )()(),()()(),( ),(),( dttytytxutxtytxv dyyxudxyxvC )()(),()()(),( ),(),(因 此 )3.1.3()()()( C dttztzfdzzf 如 果 C 是 分 段 光 滑 的 有 向 曲 线 ， 即 C 是 由 几 段 光滑 的 有 向 曲 线 mCCC , 21依 次 首 尾 相 接 而 构 成 的 ， 则我 们 规 定 ： )4.1.3()()( 1 mk CC k dzzfdzzf例 11） 从 原 点 O 沿 曲 线 ittz 2 到 点 ;1 i2） 从 原 点 O

7、沿 曲 线 ittz 2 到 点 ;1 i3） 从 原 点 O 沿 实 轴 到 点 1， 再 平 行 于 虚 轴 到 点。i1 计 算 积 分 ,C zdz 其 中 C 为 xyO解 1） C zdz 10 23 )32( dtittt2） C zdz i1BA3） ,:, 121 xzCCCC 从 0 x 到 ,1x,1:2 iyzC 从 0y 到。1y 21 CCC zdzzdzzdz 10 23 )32( dtittt 10 xdx 10 )1( idyiy i 2z t it 2z t it )( 2itt dtit)21( 10 i10 )( 2 itt dtit )2( i 例 2

8、1） 从 原 点 O 沿 曲 线 ittz 2 到 点 ;1 i2） 从 原 点 O 沿 曲 线 ittz 2 到 点 ;1 i3） 从 原 点 O 沿 实 轴 到 点 1， 再 平 行 于 虚 轴 到 点。i1 计 算 积 分 ,C dzz 其 中 C 为解 1） C dzz 10 23 )2( dtittt2） C dzz 10 23 )2( dtittt 31 i31 i xyO i1A 2z t it 2z t it 10 2 )21)( dtititt 10 2 )2)( dtititt 3） ,21 CCC 从 0 x 到 ,1x,1:2 iyzC 从 0y 到。1y 21 CCC

9、 dzzdzzdzz 10 xdxi1 xyO i1BA 2z t it 2z t it ,:1 xzC 10 )1( idyiy 例 3 设 C为 正 向 圆 周 ,1| z 计 算 ：1） ;)2( 22 C dzxyiyx 2） 。 C dzxiy )(解 利 用 )2.1.3( 与 格 林 公 式 ，1） C xydydxyx 2)( 222） C xdyydx原 式 idydxdz C dyyxxydxi )(2 22 0原 式 C ydyxdxi2 例 4 设 C 为 正 向 圆 周 ： ),0(| 0 rzz 计 算 C n dzzz )( 1 0其 中 ， n 为 正 整 数

10、。解 设 C 的 方 程 为 ,0 irezz 从 0 到 ,2 则 C nzz dz )( 0因 此 ， 当 1n 时 ， C zz dz 0 20 )1(1 deir nin 20 inner direi 20 id i2 当 1n 时 ， C nzz dz )( 0即 C n dzzz )( 1 0 201 )1sin()1(cos( dninr in 20 )1(1 deir nin 0)5.1.3(i2 1n0 1n 1） )6.1.3()()( CC dzzfdzzf2） (,)()( CC dzzfdzzf 为 常 数 ) )7.1.3(3） )8.1.3()()()()( CCC dzzgdzzfdzzgzf4） )9.1.3(|)(|)(| CC dszfdzzf特 别 ， 当 曲 线 C弧 长 为 L 时 ， )(zf 在 C 上 满 足Mzf |)(|则 有 )10.1.3(|)(| MLdzzfC 三 积 分 的 性 质