柱面坐标和球面坐标计算定积分

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1、 ,0 r ,20 . z一 、 利 用 柱 面 坐 标 计 算 三 重 积 分的 柱 面 坐 标 就 叫 点个 数 ， 则 这 样 的 三的 极 坐 标 为面 上 的 投 影 在为 空 间 内 一 点 ， 并 设 点设 Mzr rPxoy MzyxM, ,),( 规 定 ： x yzo ),( zyxM ),( rP r . ,sin ,coszzry rx 柱 面 坐 标 与 直 角 坐标 的 关 系 为为 常 数r 为 常 数z 为 常 数如 图 ， 三 坐 标 面 分 别 为圆 柱 面 ；半 平 面 ；平 面 ),( zyxM ),( rP rzx yzo dxdydzzyxf ),(

2、 .),sin,cos( dzrdrdzrrf drx yzo dzdrrd 如 图 ， 柱 面 坐 标 系中 的 体 积 元 素 为 ,dzrdrddv 例 1 计 算 zdxdydzI ， 其 中 是 球 面 4222 zyx 与 抛 物 面 zyx 322 所 围 的 立 体 .解 由 zzry rx sincos , zr zr 3 42 22 ,3,1 rz知 交 线 为 232 420 30 rr zdzrdrdI .413面 上 ， 如 图 ，投 影 到把 闭 区 域 xoy .20 ,30 43: 22 r rzr ， 例 计 算 dxdydzyxI )( 22 ， 其 中 是

3、 曲 线 zy 22 ， 0 x 绕 oz轴 旋 转 一 周 而 成的 曲 面 与 两 平 面 ,2z 8z 所 围 的 立 体 .解 由 022x zy 绕 oz 轴 旋 转 得 ， 旋 转 面 方 程 为 ,222 zyx 所 围 成 的 立 体 如 图 ， :2D ,422 yx .22 20 20: 22 zr r:1D ,1622 yx ,82 40 20: 21 zr r所 围 成 立 体 的 投 影 区 域 如 图 ， 2D1D ,)()( 21 222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 1 2821 D r fdzrdrdI ,345 2 2222 D r fdzr

4、drdI ,625 原 式 I 345 625 336 . 8 24020 22r dzrrdrd 2 220 20 22r dzrrdrd 二 、 利 用 球 面 坐 标 计 算 三 重 积 分的 球 面 坐 标 就 叫 做 点 ，个 数面 上 的 投 影 ， 这 样 的 三在点 为的 角 ， 这 里段逆 时 针 方 向 转 到 有 向 线 轴 按轴 来 看 自为 从 正轴 正 向 所 夹 的 角 ， 与为 有 向 线 段间 的 距 离 ，与 点点 为 原来 确 定 ， 其 中，三 个 有 次 序 的 数 可 用为 空 间 内 一 点 ， 则 点设 M rxoyM POP xz zOMMO

5、rr MzyxM ),( ,r 0 .20 ,0 规 定 ：为 常 数r 为 常 数 为 常 数如 图 ， 三 坐 标 面 分 别 为圆 锥 面 ；球 面 ；半 平 面 .cos ,sinsin ,cossin rz ry rx球 面 坐 标 与 直 角 坐 标 的 关 系 为如 图 ， Px yzo ),( zyxM r zyxA，轴 上 的 投 影 为在点 ，面 上 的 投 影 为在设 点 AxP PxoyM ., zPMyAPxOA 则 dxdydzzyxf ),( .sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf球 面 坐 标 系 中 的 体 积 元 素 为,si

6、n2 ddrdrdv drx yzo dr dsinrrddd sinr如 图 ， 例 3 计 算 dxdydzyxI )( 22 ， 其 中 是 锥 面222 zyx ， 与 平 面 az )0( a 所 围 的 立 体 . 解 1 采 用 球 面 坐 标az ,cos ar222 zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI )( 22 drrdd a 40 cos0 3420 sin da )0cos(51sin2 5540 3.10 5a 解 2 采 用 柱 面 坐 标 ,: 222 ayxD dxdydzyxI )( 22 ara dzrrdrd 2020 a d

7、rrar0 3 )(2 542 54 aaa .10 5a222 zyx ,rz ,20,0,: arazr 例 4 求 曲 面 2222 2azyx 与 22 yxz 所 围 成 的 立 体 体 积 .解 由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，由 2222 2azyx ,2ar 22 yxz ,4 ,20,40,20: ar 由 三 重 积 分 的 性 质 知 dxdydzV , a drrddV 20 2020 sin4 40 33 )2(sin2 da .)12(34 3a 补 充 ： 利 用 对 称 性 化 简 三 重 积 分 计 算使 用 对 称 性 时 应

8、注 意 ： 、 积 分 区 域 关 于 坐 标 面 的 对 称 性 ； 、 被 积 函 数 在 积 分 区 域 上 的 关 于 三 个 坐 标 轴的 一 般 地 ， 当 积 分 区 域 关 于 xoy平 面 对 称 ， 且 被 积 函 数 ),( zyxf 是 关 于 z的 奇 函 数 ， 则 三 重 积 分 为 零 ， 若 被 积 函 数 ),( zyxf 是 关 于 z的 偶 函 数 ， 则 三 重 积 分 为 在 xoy平 面 上 方 的 半 个 闭 区 域 的 三 重 积 分 的 两 倍 . 奇 偶 性 例 利 用 对 称 性 简 化 计 算 dxdydzzyx zyxz 1 )1ln

9、( 222 222 其 中 积 分 区 域 1|),( 222 zyxzyx .解 积 分 域 关 于 三 个 坐 标 面 都 对 称 ，被 积 函 数 是 的 奇 函 数 ,z .01 )1ln( 222 222 dxdydzzyx zyxz 解 2)( zyx )(2222 zxyzxyzyx 例 6 计 算 dxdydzzyx 2)( 其 中 是 由 抛 物面 22 yxz 和 球 面 2222 zyx 所 围 成 的 空间 闭 区 域 . 其 中 yzxy 是 关 于 y的 奇 函 数 , 且 关 于 zox面 对 称 , 0)( dvyzxy , 同 理 zx是 关 于 x的 奇 函

10、 数 , 且 关 于 yoz面 对 称 , ,0 xzdv 由 对 称 性 知 dvydvx 22 , 则 dxdydzzyxI 2)( ,)2( 22 dxdydzzx 在 柱 面 坐 标 下 ：,20 ,10 r ,2 22 rzr ,122 yx 投 影 区 域 xyD ： 222 22220 10 )cos2(rr dzzrrdrdI ).89290(60 （ 1） 柱 面 坐 标 的 体 积 元 素 dzrdrddxdydz （ 2） 球 面 坐 标 的 体 积 元 素 ddrdrdxdydz sin2（ 3） 对 称 性 简 化 运 算三 重 积 分 换 元 法 柱 面 坐 标球

11、面 坐 标三 、 小 结 思 考 题 则上 的 连 续 函 数 为面 对 称 的 有 界 闭 区 域 ，中 关 于为若 , ),(3 zyxfxyR ;0),(,_),( dvzyxfzyxf 为 奇 函 数 时关 于当 1 ),(_),( ,_),( dvzyxfdvzyxf zyxf 为 偶 函 数 时关 于当 .1 面 上 方 的 部 分在为其 中 xy zz 2 一 、 填 空 题 : 1、 若 由 曲 面 和)(3 222 yxz 16222 zyx 所 围 ,则 三 重 积 分 dvzyxf ),( 表 示 成 直 角 坐 标 下 的 三 次 积 分 是 _;在 柱 面 坐 标 下

12、 的 三 次 积 分 是 _;在 球 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 是 _. 2、 若 由 曲 面 及222 yxz 22 yxz 所 围 , 将 zdv表 为 柱 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 _, 其 值 为 _. 练 习 题 3、 若 空 间 区 域 为 二 曲 面 azyx 22 及 222 yxaz 所 围 ,则 其 体 积 可 表 为 三 重 积 分 _;或 二 重 积 分 _;或 柱 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 _. 4、 若 由 不 等 式 2222 )( aazyx , 222 zyx 所 确 定 ,将 zdv表 为 球 面 坐 标 下 的 三 次 积 分

13、 为 _； 其 值 为 _.二 、 计 算 下 列 三 重 积 分 : 1、 dvyx )( 22 ,其 中 是 由 曲 面 24z )(25 22 yx 及 平 面 5z 所 围 成 的 闭 区 域 . 2、 dvyx )( 22 ,其 中 由 不 等 式 0,0 222 zAzyxa 所 确 定 . 3、 dxdydzczbyax )( 222222 , 其 中 1),( 222222 czbyaxzyx . 三 、 求 曲 面 225 yxz 及 zyx 422 所 围 成 的 立体 的 体 积 . 四 、 曲 面 222 4aazyx 将 球 体 azzyx 4222 分成 两 部 分

14、 ,试 求 两 部 分 的 体 积 之 比 . 五 、 求 由 曲 面 ,0,22 xayxyxz 0,0 zy 所 围 成 立 体 的 重 心 (设 密 度 1 ). 六 、 求 半 径 为 a ,高 为 h的 均 匀 圆 柱 体 对 于 过 中 心 而 垂 直 于 母 线 的 轴 的 转 动 惯 量 (设 密 度 )1 . 一 、 1、 22 2222 16 )(34422 ),(yx yxxx dzzyxfdydx )(3164422 22 2222 ),(yx yxxx dzzyxfdydx , 21632020 ),sin,cos(rr dzzrrfrdrd r r dzzrrfrd

15、rd 3162020 2 ),sin,cos( , 406020 ,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin 2 406520 ,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin 2 ； 练 习 题 答 案 2、 2221020 rr zdzrdrd ,127； 3、 dv, D dxdya yxyxa )2( 2222 , raara dzrdrd 2020 2 ； 4、 4cos20 34020 67,cossin adrrdd a . 二 、 1、 8 ； 2、 )(154 55 aA ； 3、 abc54 . 三 、 )455(32 . 四 、 27376276 37 3321 aaVV . 五 、 )307,52,52( 2aaa . 六 、 )3(4 22 haM (其 中 haM 2 为 圆 柱 体 的 质 量 ).