柯西中值定理和不定式极限

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1、 2 柯 西 中 值 定 理 和 不 定 式 极 限 首 页 一 柯 西 中 值 定 理 二 不 定 式 极 限 首 页 设 曲 线 （ 图 6-2-(d)） 的 参 数 方 程 为 ( )( )X g xY f x , x a b另 一 方 面 参 数 方 程 所 确 定 函 数 的 导 数 为 ( ( ), ( )A f a ga ( ( ), ( )B f b gb( ) ( )( ) ( )f b f ab ag g ( )( )f xdYdX xg 由 Lagrange定 理 知 道 ， 若 曲 线 C连 续 ， 且 处 处 有 不 平 行 于 轴的 切 线 ， 其 线 内 必 有

2、一 点 的 切 线 是 平 行 于 曲 线 两 端 点 的 连 线 . 现在 我 们 想 知 道 的 是 ： 当 平 面 曲 线 C是 用 参 数 方 程 表 示 时 ，Lagrange定 理 如 何 叙 述 ？且 是 连 续 的 、 处 处 有 不 垂 直 于 X轴 的 切 线 ， 端 点 、 的 连 线 弦 AB的 斜 率 是 首 页 这 个 结 论 实 际 上 是 由 数 学 家 Cauchy给 出 的 ， 但 他 并 没 有 局限 、 为 参 数 方 程 的 两 个 函 数 ， 而 是 作 为 两 个 一 般 的函 数 给 出 结 论 的 .f(x) g(x) 至 少 存 在 一 点

3、(a,b)， 使 得 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) f b f af b ag g g 所 以 应 有 结 论 ： 首 页 现 给 出 一 个 形 式 更 一 般 的 微 分 中 值 定 理 . 则 存 在 ， 使 得 f g , a b( , )a b( ) ( )f x g x 和( ) ( )g a g b( , )a b ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f f b f ag g b g a 一 柯 西 中 值 定 理 定 理 6.5 （ 柯 西 中 值 定 理 ） 设 函 数 和 满 足 （ i） 在 上 都 连 续 ； (ii) 在 上 都 可 导 ； (i

4、ii) 不 同 时 为 零 ； (iv) , (1) 首 页 在 uov平 面 上 表 示 一 段 曲 线 （ 图 6-5） .,f g ( ),( ).u g xv f x 注 1 柯 西 中 值 定 理 有 着 与 前 两 个 中 值 定 理 相 类 似 的 几 何 意 义 .只 是 现 在 要 把 这 两 个 函 数 写 作 以 x为 参 数 的 参 量 方 程 首 页 因 此 （ 1） 式 即 表 示 上 述 切 线 与 弦 AB互 相 平 行 .( ) ( )( ) ( )f b f ag b g a ( ) |( ) xf dvg du x ( ( ), ( )C g f ab时

5、， Cauchy中 值 定 理 的 结 论 仍 成 立 . 由 于 （ 1） 式 右 边 的 表 示 连 接 该 曲 线 两 端 的 弦AB的 斜 率 ， 而 （ 1） 式 左 边 的 则 表 示 该 曲 线 上与 相 对 应 的 一 点 处 的 切 线 的 斜 率 .注 2 首 页 Lagrange中 值 定 理 是 中 值 定 理 的 核 心 定 理 ，故 称 之 为 微 分 学 中 值 定 理 .( )g x x( ) ( )f a f b注 3 如 果 取 函 数 ， Cauchy中 值 定 理 就 变 成Lagrange中 值 定 理 了 ， 所 以 Cauchy中 值 定 理 是

6、Lagrange中 值 定理 的 推 广 ， Rolle中 值 定 理 是 Lagrange中 值 定 理 的 特 殊 情 况 （ 要求 ） ； 首 页 f a,b(a 0) ( , )a b (a,b) ( ) ( ) ( )ln .bf b f a f a 于 是 有 ， 使 得( ) lng x x , a b f x( , )a b ( ) ( ) ( ) .1ln lnf b f a fb a 上 式 整 理 后 便 得 到 所 要 证 明 的 （ 2） 式 .例 1 设 函 数 在 上 连 续 ， 在 内 可 导 ，则 存 在 ， 使 得 （ 2） 证 设 ， 显 然 它 在 上

7、与 一 起满 足 柯 西 中 值 定 理 条 件 ， 首 页 不 定 式 的 极 限 即 便 是 知 道 存 在 ， 也 不 能 用 商 的 极 限 法 则 来求 . 现 在 我 们 将 以 微 分 中 值 定 理 为 理 论 依 据 、 以 导 数 为 工 具 建立 一 个 简 便 而 又 有 效 的 求 型 、 型 不 定 式 极 限 的 方 法 LHospital法 则 . 00 0 sinlim 1x xx 0000 二 不 定 式 极 限 我 们 在 第 三 章 学 习 无 穷 小 （ 大 ） 量 阶 的 比 较 时 ， 已 经 遇到 过 两 个 无 穷 小 （ 大 ） 量 之 比

8、的 极 限 由 于 这 种 极 限 可 能 存 在 ，也 可 能 不 存 在 ， 因 此 ， 我 们 把 两 个 无 穷 小 量 或 两 个 无 穷 大量 之 比 的 极 限 统 称 为 不 定 式 极 限 ， 分 别 记 为 型 或 型不 定 式 极 限 .例 如 证 明 过 的 重 要 极 限 就 是 型 不 定 式 . 首 页 1. 型 不 定 式 极 限 00若 ， 求 lim ( ) 0 x a f x lim ( ) 0 x a x ( )lim ( )x a f xx 与 柯 西 中 值 定 理 的 结 论 右 端 很 相 似 ， 由 柯 西 中 值定 理 的 条 件 可 知 ，

9、 若 补 上 、 在 a的 某 个 空 心 邻 或 内 可 导 ,( )f x ( )x x a ( ) ( ) 0f a a ( ) ( ) ( )lim lim( ) ( ) ( )x a x af x f x f ax x a f(x)- f(a)(x)- (a) ( )f x ( )x 补 充 定 义 、 在 的 函 数 值（ 不 影 响 求 函 数 极 限 ） 有 首 页 则 有 在 该 邻 域 内 任 取 x、 、 在 内 连续 ， 在 可 导 ， 且 ， 从 而 存 在 ， 使 ( )f x ( )x 0 , x x0( , )x x ( ) 0 x 0( , )x x( ) (

10、 ) ( )( ) ( ) ( )f f x f ax a 0 0 x x x x （ 或 ）若 ， 有 ， 从 而x a a ( ) ( ) ( )lim lim( ) ( ) ( ) x a af x f a fx a 若 再 补 充 条 件 存 在 ，( )lim ( )a f ( ) ( ) ( )lim lim lim( ) ( ) ( )x a a x af x f f xx x 且 ， ( ) 0 x 则 有 首 页 综 上 所 述 ， 有 如 下 定 理 ： (3) (A可 为 实 数 ， 也 可 为 ） f g0 0lim ( ) lim ( ) 0 x x x xf x g

11、 x ( ) 0g x 0 x 0 ( )lim ( )x x f x Ag x , 则 0 0( ) ( )lim lim .( ) ( )x x x xf x f x Ag x g x 若 将 定 理 6 .6中 换 成只 要 相 应 地 修 正 条 件 （ 2） 中 的 邻 域 ， 也 可 得 到 同 样 的 结 论 .0 x x 0 0, , , ,x x x x x x 定 理 6.6 若 函 数 和 满 足 ： (1) ； (2)在 点 的 某 空 心 邻 域 内 两 者 都 可 导 ,且 ； 0 0U x注 1 首 页 21 coslim .tanx xx 容 易 检 验 与 在

12、 点( ) 1 cosf x x 2( ) tang x x 0 x 又 因 32( ) sin cos 1lim lim lim( ) 2tan sec 2 2x x xf x x xg x x x 故 由 洛 必 达 法 则 求 得 ( ) ( ) 1lim lim( ) ( ) 2 x xf x f xg x g x 例 2 求 解 的 邻 域 内 满 足 定 理 6.6的 条 件 （ 1） 和 （ 2） ， 首 页 当 然 这 时 和 在 的 某 邻 域 内 必 须 满 足定 理 6.6的 条 件 . ( )lim ( )x f xg x 00 ( )lim ( )x f xg x f

13、 g 0 x求 1220 (1 2 )lim .ln(1 )xx e xx 利 用 ， 则 得2 2ln(1 ) ( 0)x x x 1 1 12 2 22 20 0 0 320 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 )lim lim limln(1 ) 2(1 2 ) 2lim 1.2 2x x xx x xxx e x e x e xx x xe x 注 2 如 果 仍 是 型 不 定 式 的 极 限 ， 只 要 有可 能 ， 我 们 可 再 次 用 洛 必 达 法 则 ， 即 考 察 极 限是 否 存 在 .例 3 解 首 页 2. 型 不 定 式 极 限 若 是 “ ” 型 ， 仿 定

14、 理 6.6可 得 相 应 的 定 理 . +0 x x f(x)lim g(x) (3) (A可 为 实 数 ， 也 可 为 .则 0 0 x x x xf(x) f(x)lim = lim = A.g(x) g(x) f g + +0 0 x x x xlim f(x)= lim g(x)= ;0 x o+ 0U (x ) g(x) 0 +0 x x f(x)lim = Ag(x) , ) 定 理 6. 若 函 数 和 满 足 ： (1) (2) 在 点 的 某 空 心 邻 域 内 两 者 都 可 导 ,且 . 首 页 首 页 若 将 定 理 6 .7对 于 或等 情 形 也 有 相 同

15、的 结 论 . -0 0 x x ,x x x ,x 如 果 满 足 条 件 ， 我 们 可 以 再 次 应 用 定 理 6.7. f,g,f,g注 1 注 2 首 页 由 定 理 6.7， 有 x + lnxlim .x x + x + x +lnx (lnx) 1lim = lim = lim =0 x (x) x由 定 理 6.7， 有.x3x + elim x lim x x x x3 2 xx + x + x +e e e elim = lim = lim = =+ .x 3x 6x 6 例 5 求 解 例 6 求 解 首 页 就 会 因 右 式 的 极 限 不 存 在 而 推 出

16、原 极 限 不 存 在 的 错 误 结 论 . 0 x x f(x)lim g(x) 0 x x f(x)lim g(x) x x+sinxlim =1x x + x +x+sinx 1+cosxlim = lim ,x 1 注 3 若 不 存 在 ， 并 不 能 说 明 不 存 在 （ 试想 ， 这 是 为 什 么 ？ ） 注 4 不 能 对 任 何 比 式 极 限 都 按 洛 必 达 法 则 求 解 . 首 先 必 须 注意 它 是 不 是 不 定 式 极 限 ， 其 次 是 否 满 足 洛 必 达 法 则 的 其 他 条 件 .下 面 这 个 简 单 的 极 限 虽 然 是 型 ， 但

17、若 不 顾 条 件 随 便 使 用 洛 必 达 法 则 ： 3. 其 他 类 型 不 定 式 极 限 其 他 类 型 的 不 定 式 极 限 不 定 式 极 限 还 有 等 类 型 .经 过 简 单 变 换 ， 它 们 一 般 均 可 化 为 型 或 型 的 极 限 .00 +x 0lim xlnx.0 lnxxlnx= 1x + + + +x 0 x 0 x 0 x 021lnx xlim xlnx= lim = lim = lim(-x)=01 1-x x 例 7 求 解 这 是 一 个 型 不 定 式 的 极 限 . 用 恒 等 变 形 将 它 转 化 为 型 的 不 定 式 极 限 ，

18、 并 应 用 洛 必 达 法 则 得 到0 00 ,1 ,0 , , - 首 页 从 而 得 到 21xx 0lim(cosx)1 21 lncosxx21(cosx) =e ,x 2x 0 1lim lncosxx 00 2x 0 x 0lncosx -tanx 1lim =lim =- ,x 2x 2 21 1-x 2x 0lim(cos) =e . 例 8 求 解 这 是 一 个 型 不 定 式 极 限 . 作 恒 等 变 形 其 指 数 部 分 的 极 限 是 型 不 定 式 极 限 ， 可 先 求 得 首 页 当 时 上 面 所 得 的 结 果 显 然 成 立 . + k1+lnxx

19、 0lim(sinx)00 + + +x 0 x 0 x 0kcosxklnsinx xsinxlim = lim = lim kcosx =k,11+lnx sinxx + k k1+lnxx 0lim(sinx) =e (k 0) k=0 例 9 求 （ k为 常 数 ） . 解 这 是 一 个 型 不 定 式 极 限 ， 按 上 例 变 形 的 方 法 ， 先 求 型 的 极 限 ： 然 后 得 到 首 页 于 是 有 12 lnxx +lim(x+ 1+ x ) .0 2 2x + x + 1ln(x+ 1+ x ) 1+ xlim = lim =1,1lnx x 1 .2 lnxxl

20、im(x+ 1+ x ) =e. 例 10 求 解 这 是 一 个 型 不 定 式 的 极 限 . 类 似 地 先 求 其 对 数 的 极限 （ 型 ） ： 首 页 首 页 于 是 有 x 1 1 1lim( - ).x-1 lnx 1 .2 lnxxlim (x + 1 + x ) = e. 2 2x x + 1ln(x+ 1+x ) 1+xlim = lim =1,1lnx x 例 11 求 解 这 是 一 个 型 不 定 式 的 极 限 . 类 似 地 先 求 其 对 数 的极 限 （ 型 ） ： 首 页 且 已 知 ， 试 求 g(x), x 0f(x)= x0, x=0 g(0)=g

21、(0)=0,g(0)=3 (0).f因 为 2f(x)- f(0) g(x)= ,x-0 x所 以 由 洛 必 达 法 则 得 2x 0 x 0g(x) g(x)f(0)=lim =limx 2x x 01 g(x)-g(0) 1 3= lim = g (0)=2 x-0 2 2 例 12 设 解 首 页 所 以 由 归 结 原 则 可 得 n2n 1 1lim 1+ +n n x2x + 1 1lim 1+ +x x 1 2 22x + x +1 1 ln(1+ x+ x )-lnxlim xln 1+ + = lim 1x x x 22x + x +22x+1 2- x +2x1+ x+

22、x2 x= lim = lim =11 x + x+1- x n x2 2n n +1 1 1 1lim 1+ + = lim 1+ + =en n x x 例 13 求 数 列 极 限 解 先 求 函 数 极 限 ( 型 ). 类 似 于 例 8，取 对 数 后 的 极 限 为 首 页 应 用 洛 比 达 法 则 须 注 意 的 问 题 3).洛 比 达 法 则 的 条 件 为 充 分 条 件 ,若 条 件 不 满 足 (比 如 不 存 在 )并 不 能 说 明 不 存 在 , 此 时 计 算 极 限 ,就 只 能 用 以 前 所 学 的 有 关 计 算 方 法 .00 ,0,1,0 0 0

23、, 00 0 x x f(x)limg(x) 0 x x f(x)lim g(x) 1).验 证 计 算 的 极 限 是 不 是 不 定 式 极 限 .不 是 不 定 式 极 限 不能 使 用 洛 比 达 法 则 . 2).除 计 算 型 与 型 两 种 不 定 式 极 限 外 ,计 算 其 他 五种 不 定 式 型 : 都 要 用 对 数 式 代 数 运 算 将 它 们 化 为不 定 式 型 : 型 或 型 ,然 后 再 利 用 洛 比 达 法 则 . 首 页 5).一 般 来 说 ,应 用 洛 比 达 法 则 计 算 不 定 式 极 限 都 比 较 简 单 ,但 对 少 数 的 不 定 式

24、 极 限 应 用 洛 比 达 法 则 ,并 不 简 单 ,甚 至 很 繁 .x sinx x sinxx 0 x 0e -e e -cosxelim =limx-sinx 1-cosx x 2 sinx sinx x 0 e -cos xe +sinxelim sinx x sinx 3 sinx sinx sinxx 0 e +sin2xe -cos xe +sinxcosxe +cosxe=lim =1cosx例 如 : 4).应 用 洛 比 达 法 则 ,可 能 会 出 现 仍 是 不 定 式 极 限 ,这 时 只 要定 理 的 条 件 满 足 ,仍 可 继 续 用 洛 比 达 法 则 . 首 页 但 是 用 已 学 过 的 计 算 方 法 却 很 简 单 ： x sinx x-sinx x-sinxsinx sinxx 0 x 0 x 0 x 0e -e e -1 e -1lim =lime =lime limx-sinx x-sinx x-sinx t tt 0 t 0e -1=lim =lime =1.t