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1、2.2 无 穷 小 与 无 穷 大 1.定 义 X)(x )1()(. )(,0)(lim 1 Xx oxfXx xfxf 记下 的 无 穷 小 量 是 极 限 过 程则 称若定 义 . )(,)(lim 2 Xx下 的 无 穷 大 量 是 极 限 过 程则 称若定 义 Xx xfxf ,0)1(lim n nn .nn)1( n 时 的 无 穷 小 量是 当数 列 ,01lim xx .xx1 时 的 无 穷 小 量是 当函 数 ,x1lim0 x .0 xx1 时 的 无 穷 大 量是 当函 数 例 如 : ,0sinlim0 xx .0 xxsin 时 的 无 穷 小 量是 当函 数 ,
2、0)1x(lim1x .1x1x 时 的 无 穷 小 量是 当函 数 注 意 :1.无 穷 小 量 是 变 量 ,不 能 与 很 小 的 数 混 淆 ;2.无 穷 大 量 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;3.无 穷 大 量 ,无 穷 小 量 是 相 对 于 变 化 过 程 而 言 的 .0可 作 为 无 穷 小 量 ,但 不 等 于 无 穷 小 量 就 是 0。无 穷 大 量 必 无 界 ， 但 反 之 未 必 。 ._ ,_ 1)-lg(xf(x) 1 时 是 无 穷 小 量当 时 为 无 穷 大 量当例 x,1x 或2x 2.无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 的 关
3、系 X)(x )1(o)x(f 1,)x(flimXx 则若 X)(x )x(f 1,0)x(f,0)x(flimXx 为 无 穷 大 量则若3.无 穷 小 与 函 数 极 限 的 关 系 : Xx ),1()()(lim:P22) oAxfAxfXx定理2.2( 定 理 2.8 (P23) 4.无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 的 运 算 性 质 :.h(x)f(x) f(x)g(x),cf(x),g(x),f(x),c, h(x)o(1),g(x)o(1),f(x),Xx )1( 仍 为 无 穷 小 量则为 常 数界 变 量 为 有时设 .)x(g )x(f 未 必 为 无 穷 小 量但
4、 .f(x)g(x)f(x),h(x) w(x)f(x)cf(x),c0,w(x)lim, h(x),g(x)f(x), )2( Xx 仍 为 无 穷 大 量 则为 非 零 常 数界 变 量 为 有为 无 穷 大 量时设 Xx P22定 理 2.3,2.4P23定 理 2.5,2.6,2.7 注 意 无 穷 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 未 必 是 无 穷 小 .例 2 ).21(lim 222 nnnnn 求解 是 无 穷 小 之 和 时 ,n 2222 21lim)21(lim n nnnnn nn 2 )1(21lim nnnn )11(21lim nn .21先 变 形 再 求
5、极 限 . 4、 无 穷 小 量 的 阶 (无 穷 小 量 的 比 较 ) 20lim xxx ;2要 慢 得 多比 xx例 如 , xxx 3lim 20 xxx sinlim0 220 1sinlim x xxx . 1sin,sin,0 22 都 是 无 穷 小时当 xxxxxx 极 限 不 同 , 反 映 了 趋 向 于 零 的 “ 快 慢 ” 程 度 不同 . ;32 要 快 得 多比 xx ;sin 大 致 相 同与 xx 不 可 比 .,0 ,1 xx 1sinlim0 .不 存 在观察各极限 , g(x)f(x),g(x)f(x) 1 .g(x)f(x) 0)A(A .g(X)
6、f(x) o(g(x)f(x),g(x)f(x)0 )x(g )x(flimXx 记等 价 无 穷 小与称 为 同 阶 无 穷 小与 低 阶 无 穷 小比称 高 阶 无 穷 小比称如 果 定 义 : Xx ),1(o)x(g),1(o)x(f 设 .)()(,)( )(lim 不 能 比 较 的 无 穷 小 量与称不 存 在若 xgxfxg xfXx .(D);(C);(B);(A) .) (1000,0:3 3 同 阶等 价低 阶高 阶 无 穷 小相 比 是与时当例 xxxx 无 穷 小相 比 是与时当例 _1sin,0:4 xxxx C不 能 比 较 的的 无 穷 小 。相 比 是与 _sin xxx 高 阶
无穷小与无穷大(IV)
