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1、4.4 无 穷 区 间 上 的 广 义 积 分 定 积 分 的 概 念 中 ,积 分 区 间 是 一 个 有 限 区 间 ,但 在科 学 技 术 中 有 时 会 遇 到 区 间 是 无 限 区 间 ,为 此 需 要 将 定 积分 的 概 念 加 以 扩 展 ,得 到 下 列 无 穷 区 间 上 的 广 义 积 分 的 概念 . , a b 定 义 4.2 设 函 数 f (x) 在 a, + )上 连 续 ， 取 实数 b a， 如 果 极 限 bab xxf d)(lim 则 称 此 极 限 为 函 数 f (x) 在 无 穷 区 间 a, + ) 上 的 广 义 积 分 ， .d)(lim
2、d)( baba xxfxxf这 时 也 称 广 义 积 分 收 敛 ， ,d)(a xxf记 作 即存 在 ， 否 则 称 广 义 积 分 发 散 . 定 义 4.3 设 函 数 f (x) 在 (- , b 上 连 续 ， 取 实数 a b， 如 果 极 限 baa xxf d)(lim 则 称 此 极 限 值 为 函 数 f (x) 在 无 穷 区 间 (- , b 上 的 广 义 积 分 ， xxfxxf b baa d)(limd)( 这 时 也 称 广 义 积 分 收 敛 ， ,d)(b xxf记 作 即存 在 ， 否 则 称 广 义 积 分 发 散 . 定 义 4.43 设 函
3、数 f (x) 在 (- , + ) 内 连 续 ， 且对 任 意 实 数 c， 如 果 反 常 积 分 xxfxxf cc d)(d)( 与 则 称 上 面 两 个 广 义 积 分 之 和 为 f (x) 在 无 穷 区间 (- , + ) 内 的 广 义 积 分 ， ,d)(d)(d)( c c xxfxxfxxf这 时 也 称 广 义 积 分 收 敛 ， ,d)( xxf记 作 即都 收 敛 ， 否 则 称 广 义 积 分 发 散 . 为 了 书 写 上 的 方 便 ， 借 用 “ NL” 公 式 的 记 法 ，若 F(x) 是 f (x) 的 一 个 原 函 数 ， 并 记),(lim
4、)( xFF x ).(lim)( xFF x 则 定 义 1， 2， 3 中 的 反 常 积 分 可 表 示 为 a xxf d)( axF )( ，)()( aFF b xxf d)( bxF )( ，)()( FbF xxf d)( )(xF .)()( FF 例 1 计 算 0 .xx x e d解 用 分 部 积 分 法 ， 得0 xx de0 xx x e d 0 0 x xx x e e d 000 (0 ) 1.x e e 1lim lim lim 0,x x xx x xxxe e e注 ： 以 上 实 际即 0 0 ,xx e 1lim lim 0 x xx xe e 00
5、 (0 ) 1.x e e 补 例 计 算 .de0 xx x解 用 分 部 积 分 法 ， 得 0 dexxxx xde0 00 dee xx xx.1e 0 x xxxx xx elimelim其 中 ,0e1lim xx.0e 0 xx即 例 2 求 21 .1 xx d解 211 xx d arctan x ( ) .2 2 .dcos 0 的 收 敛 性xx补 例 判 断解 .sindcos 00 xxx由 于 当 x + 时 ， sin x 没 有 极 限 ， 所 以 原 广 义 积分 发 散 . 补 例 判 断 .lnde 的 收 敛 性xx x解 e lnlnd xxe lnd xx x elnln x故 该 积 分 发 散 . 补 例 证 明 反 常 积 分 1 ,d1 xx p 当 p 1 时 ，收 敛 ； 当 p 1 时 ， 发 散 .证 p = 1 时 ， 则 11 lnd xxx所 以 该 广 义 积 分 发 散 . * 111 11d pp xpxx .1, ,1,11 ppp 当当当 p 1 时 ，综 合 上 述 ， 该 反 常 积 分 收 敛 .当 p 1 时 ，该 反 常 积 分 发 散 . p 1 时 ， 则
无穷区间上的广义积分
