青岛理工大学高数下册答案第九章

《青岛理工大学高数下册答案第九章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《青岛理工大学高数下册答案第九章（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第八章 多元函数的微分法及其应用 1多元函数概念、设f (x,y)二 x2 + y2,g,y)二 x2 -y2,求:fg,y),y2.答案：f (申(x,y),y2) = (x2 - y2)2 + y4 = x4 -2x2y2 + 2y4二、求下列函数的定义域1、f (x, y)二严也1 - x2 - y 2 yz = arcsmx2、(X,y)1 y2 + x2 丰 1;(x, y)1 |y |x|, x 丰 0;三、求下列极限：x 2 sin y1、 lim(x,y)t(0,0) x 2 + y 20)2、ylim (1 + 工) 3x (x, y )t(8,2)x(e6)四、证明极限 l

2、im上不存在.(x,y)t(0,0) x 4 + y 2证明：当沿着 x 轴趋于(0，0)时，极限为零，当沿着y = x2趋于(o, 0)时，极限为*,二者不相等，所以极限不存在1xy sin x2 + y20,(x, y)丰(0,0) 在整个xoy面上连续。(x, y)二(0,0)证明：当(x, y)丰(0,0)时，f (x, y)为初等函数，连续。当(x, y)二(0,0)时， lim xy sin 1(x, y )t(0,0)x 2 + y 2在整个xoy面上连续。六、设z二x + y2 + f (x + y)且当y=0时z = x2，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)= x 2 一

3、 x， z 二 x 2 + 2 y 2 + 2xy - y 2 偏导数五、证明函数f (x, y)二0二f (0,0)，所以函数在(0, 0)也连续。所以函数y1、设 z=xy + xex ,验证证明：竺二 y + eX - !e： dxxdzQzx + y = xy + zQx QyQzQzQzy二 x + ex，x + y二 xy + xy + xex 二 xy + zQyQxQy2、求空间曲线r: z = x2 + y2；3 11在点(即3 1 y =2迈,1)处切线与y轴正向夹角中3、设 f (x, y) = xy + (y - l)2arcsin :4、zdu设U = Xy,求dxV

4、dudz求 f (x,1)x( 1)du z z i =- Xy lnXdyy 2du 1 z =Xy lnX dzy5、设 U = x/X2 + y 2 + z2 ,证明 :d 2u d2u d2u+ + dX2dy 2dz26、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导(偏导)？说明理由丨. 1x sinf ( x, y) = x 2 + y 2、0,X 2 + y 2 丰 0lim f (x, y) = 0 = f (0,0)连续； f (0,0) = lim sin 丄 不存在，f (0,0) = lim 斗=0 xt0Xxt0X2yyt0 y 0y t07、设函数f(x,y)在

5、点(a,b)处的偏导数存在，求limf(a + X,b f(a X,b) xtOX( 2fx(a,b) 3 全微分1、单选题(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件(2)对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是(A)偏导数不连续，则全微分必不存在(B)偏导数连续，则全微分必存在(C)全微分存在，则偏导数必连续(D)全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：yy y11) z = e x dz = e x (dx + dy)X 2X2)

6、z = sin(xy2) 解：dz = cos(xy2)(y2dX + 2xydy)yy y 1 yy y3) u = Xz 解：du = Xz dx + Xz lnxdy 一 Xz lnxdzzzz23、设 z = y cos(x 一 2y),求dz(0环解： dz=-ysin(x-2y)dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y)dy/. dz I (0, ) = dx dy442z4、设 f (x, y, z)=x2 + y 2求：df (1,2,1)125 (-2dx 一 4dy + 5dz)5、讨论函数f (x, y)二v(x 2 + y 2)sin .1 一Jx2+y2(xy

7、)丰(0,0)在(0, 0)点处(x, y)二(0,0)的连续性 、偏导数、 可微性1解： lim (x 2 + y 2 )sin (x, y)T(0,0)x 2 + y 2f (0,0) = lim f (心0) 一 f (00) = 0 , f (0,0)=x(x, y )t(0,0)Axyf (心,)一 0 T 0，所以可微。(Ax )2 + (Ay )24二0二f (0,0)所以f (x, y)在(o, o)点处连续。1、Axlim f G)一 f (00)= 0(x, y )t(0,0)Ay多元复合函数的求导法则dz设 z = uv,u = sint,v = et，求一dtdz解：

8、一 = cos t.(sin t)et-1 - et + lnsin t - (sin t)“ et dt2、设 z = (x + y)2x-3y,，求字,春 dx dydz=(2x - 3y)(x + y)2x-3y-1 - 3(x + y)2x-3y ln(x + y), dyydzdz3、设z = xnf ()，f可微，证明x亍+ 2y= nzx 2dxdy4、设z二f (x2 - y2,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数,、d 2 zd 2z求 dx2 ， dxdyd2 zdy2解:疥=2xf + 2f ,dx12dzd 2 z-=-2W+ 2xf , = 2x(f (-2y) + f

9、 2x) + 2f+ 2y(f (-2y) + f 2x)dy12 dxdy111222122=2f -4xyf +4(x2 -y2)f +4xyf1 11 12 22d z = 2 f + 4 x2 f + 8 xyf + 4 y 2 f = 2 f + 4 y 2 f 8 xyf + 4 x2 f dx21111222 dy 21111222yx5、设z = f (xyA) + g()，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数, xydzy 1解：G = f y f + g ，dx1 x2 2 yd2z11 y11=f + y (f x+f -) f (f x+f -) gdxdy11

10、112 xx2 2 x2 1222 x设u = F(x,y,z)，z = f (x,y)，y =9 (x)，求du dx三gy2y36、du解: dU 二 F + FV(x) + F(f + f(x)。dx 123 x yu = x 2 yd 2 zd 2 z可把方程6+v 二 x + ay其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值dzdzdz=2+ a dyd2u7、设z = z(u, v)，且变换证明dz _ dz + dz证明：T-二+-dx du dv d2 zd2 zd2 zdudvdy2+ a 2du 2dudvdv 2d2z=4 4adx2dxdydy 2(a = 3)d2zd2 z

11、d2 zd2u= + +dx2du 2dudvdv2d2 zd2 zd2 u+ (a 2)+ adu 2dudvdv 2=-2d2u得：(10 + 5a)+ (6 + a a2)- = 0dudvdv 28、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,又，9a=31、解：2、dzd2zd2z=0 化为 dUdV = of(l,l)=l, f/(l,l)二 a, f2/(1,1)二 b(x) = f x, f x, f (x, x)求申(1).和申 /(1)(1) , (a+ab+ab2+b3) 5 隐函数的求导公式 dy设yIny二x + y，求dx令F(x,y) = yIny x y，F =1,

12、F = Iny,. dy =丄xydx ln yz设z二z(x, y)由方程x2 + y2 + z2 = yf ()确定，其中f可微，证明 y(x2 - y2 - z2)+ 2xy 竺=2xzdxdy设z二z(x, y)由方程-二ey+z所确定，其中f可微, z、d 2 z求 dxdyzdz = z1 + zdxx(1 + z) dyd2 z = z dxdyx (1 + z )3x 2 + y 2 + z 2 二 1dydzdyxdz八4、设，求，丁(丁 = 一 ， T - )z 二 x 2 + y 2dxdxdxydx5、 设z二z(x,y)由方程F(xy,y + z,xz)二所确定，F可

13、微，求字，字ox oydzFF y + zFOzFFx + F解：令F(x，y,z) = F(xy,y + z,xz),则亍=卡，=一= = t乞OxFF+ xFyFF+ xFz 2 3 z 2 3 6、设 z 二 f (x, y)由方程 z + x + y ez+x+y 二 所确定，求 dz(dz 二dx dy)7、设 z=z(x,y)由方程 3xy + xcos(yz) z3 二 y 所确定，求 , oxozOz _ 3xy.y In 3 + cos(yz)ox3z2 + xy sin(yz)Oz _ x.3 xy In 3 xz sin( yz) 13z2 + xysin(yz) 6 微

14、分法在几何中的应用兀1、 求螺旋线x _ 2cos t, y _ 2sin t, z _ 3t在对应于t _ 处的切线及法平面方程解：3兀z -43l一_3兀法平面方程*2(x 丫2) + p2(y i.：2) + 3(z ) _ x2 + y 2 + z2 _ 52、求曲线在（3, 4, 5）处的切线及法平面方程z 2 _ x 2 + y 2x3 y 4 z 5解：切线方程为4 _ 3 _ ，法平面方程：4x 3y _ 3、求曲面2x2 + 3y2 + z2 _9在（1,-1, 2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为 2(x1) 3(y +1) +2(z 2) _ 及法线方程4、设f （u

15、, v）可微，证明由方程f （ax - bz,ay - bz） _ 所确定的曲面在任一点处的切平面与定向量平行证明：令 F(x, y, z) _ f (ax bz, ay bz)，则bf2)F _ f a,F _ f a,F _ bfx 1 y 2 z 1bf n _ (fa, f a,bf2 1 2 1n-（b,b,a） _，所以在（x,y,z）处的切平面与定向量（b,b,a ）平行。上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平2 i2 丿 2 i则 Fx _ 3 x3 Fy _ 3 y 3, Fz _ 3 z3在任一点x0y0, z0处的切平面方程为 X。1 (xX。)y03 (y y)z

16、0t(zz0)0_ 12 1212 一 Q 在在三个坐标轴上的截距分别为乂启肌，丫启肌冷启肌，在三个坐标轴上的截距的平方和为a 2 证明曲面z xf(=)上任意一点M (x y z0),(x0 o)处的切平面都通过原点x 0 0 0 07、设F(x,y,具有连续偏导数，且对任意实数t,总有F (txtytZ tF(x,y,z)1为自然数，试证：曲面F(x,y,z)二上任意一点的切平面都相交于一定点 证明：F (txtytZ tkF (x, y, z)两边对t求导，并令t=1xF yF zF kF (x,y,z)x y z设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：Fx(x0,y0,z0)(x x0

17、)+Fy(x0,y0,z0)(y y0)+Fz(x0,y0,z0)(z z0)=0 此平面过原点(0，0，0)7方向导数与梯度1、设函数 f (x, y) X2 xy y2,)求该1函数在点(1，3)处的梯度。2)在点(1, 3)处沿着方向1的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 gradf(1,3)i 5jfl (1,3)cos 5sin ，方向导数达到最大值的方向为S ( h5)，方向导数达到最小值的方向为s1，5)。2、求函数u xy2 yz2zx2在(1, 2, -1)处沿方向角为6009001500的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

18、解：:方向导数 为*|(12 1 ,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 0, y 0, z 0 )上求一点，使函数 f(x,y,z)=lnx+ln y+3lnz 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值 证明 Va,b,c 有abc3 27( + ； + C)5证明：令 L = In x + In y + 3ln z + 九(x 2 + y 2 + z 2 5r 2)QLQLQL令= 0,= 0,= 0, x2 + y2 + z2 = 5r2解得驻点 x = y = r,z = ：3厂。所以函数QxQyQzf (x, y, z) = In x + In y + 3ln z在x =

19、y = r, z = 3 处达到极大值。极大值为In(3j3r5)。即 xyz3 33厂5 n x2y2(z2)3 27(r2)5 = 27(x y2 + 步，令a+b+cx2y 2X2 = a，y2 = b z2 = C，得 abC3 - 27(5)5。7、求椭球面3 + 2 + Z2 = 1被平面x+y+z=O截得的椭圆的长半轴与短半轴的长度2 解:F = x2 + y2 + z2 + 人(+ y132九x 、F = 2 x +1X = 0x32F =2y +X y +X =0y12F = 2z + 2X1z + X2 = 0y12兰+兰+ z 2 = 132x+ y+z=01) + 九2

20、( x + y + z)x=2(3 + X1)九2 + 九z =22(1 + 九J九=_(x 2 + y 2 + z 2)= _d 2-11 土136长半轴严咅，短半轴$护第八章 自测题一、选择题：(每题2 分，共 14 分)(X, y)丰(0,0),(x, y) = (0,0),x y 21、设有二元函数 f (x, y ) = x 2 + y 40,A、limf (x, y)存在；(x, y )t(0,0)B、limf (x, y)不存在；(x, y )t (0,0)c、limf (x, y)存在，且f (x, y)在(o,o)处不连续;(x, y )t (0,0)D、limf(x,y)存

21、在，且 f(x,y)在(o,o)处连续。(x, y )t(0,0)2、函数f (x, y)在P (x , y )各一阶偏导数存在且连续是f (x, y)在P (x , y )连续的0 0 0 0 0 0A、必要条件；_B、充分条件；C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。xy、,x 丰 y,3、函数f(x，y) = ( x-y在(0,0)点处0, x = yA、极限值为1； B、极限值为-1；C、连续；_D、无极限。4、z = f (x,y)在P (x ,y )处f (x,y)，f (x,y)存在是函数在该点可微分的 0 0 0 xy(A)必要条件:(B)充分条件；(C)充要条件；(D)既非必

22、要亦非充分条件。5、 点0(0,0)是函数z二xy2的(A)极小值点；(B)驻点但非极值点;(C)极大值点；(D)最大值点。6、 曲面ez-z + xy二3在点P(2,l,0)处的切平面方程是(A) 2x + y 一4 二 0 :(B) 2x + y一z 二 4 :(C) x + 2y 一4 = 0 ；(d) 2x + y -5 = 07、 已知函数u二f (t,x,y),x = (s,t),y =(s,t)均有一阶连续偏导数，那么孚=ot(A)f p + f e ；f+f p + f e ；x t y ttx ty t(C)f -p + f ；(D)f+f -p + f ettttt二、填空

23、题：(每题3分，共18分)x 2 sin y1、lim= ( 0)(x,y)t(0,0) x 2 + y 2o 3 f2、设 f (x, y, z)二 exyz，则=(exyz (1+3xyz + x2 y2 z2)oxoyoz3、4、5、sin(xy)亠 0xy 丰 0,y 2则 f (0,1) = ( 0)0, xy = 0,设z = (x + 2y)x，则在点(1,0)处的全微分.dz = (dx + 2dy)y2 = xx1 y1 z 1在点P (1,1,1)处的切线方程为(=x 2 = z 0设 f (x, y)=曲线214I x2 + y 2 + z 2 = 3x曲线 在点(1,1

24、,1)处的切线方程为a c2x 4 y + 6 z = 42三、计算题(每题 6分)1、设f(x, y) = xln(x2 + y2)，求 f(x,y)的一阶偏导数2x 22xyf (x,y) = ln(x2 + y2) +-， f (x,y)=一 。xx2 + y 2 y x2 + y 2(x)2、 设f (x, y) = ln x + ，求此函数在点P (1,1)处的全微分。6、匕=匕=A )1 0 丿并求该函数在该点处沿着从P0到件(2，1)方向的方向导数(y A3、设z = f x2y， ,f具有各二阶连续偏导数,V x丿r 1 r解：云不=2乞一 -f + 2 x 3仁+ f axay1x 2 21112=dx I dy，a2z求 axayy f a 2 z22 SxSyx34、设 f (x, y)= 方和为 a22 2 2 2证明：令 F(x,y,z)_ x3 + y3 + z3 a3