广东省深圳市龙城高级中学2022-2023学年高三二模数学试题（文、理）试卷

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1、广东省深圳市龙城高级中学2022-2023学年高三二模数学试题（文、理）试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在

2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 “”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为( )ABCD3执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）A0B1CD4设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D充分不必要条件5 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ）ABCD6在三棱锥中，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD7若，则的值为（ ）ABCD8设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ）

3、ABCD9在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，那么（ ）ABCD10曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD11若点是角的终边上一点，则（ ）ABCD12已知角的终边经过点,则ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在的展开式中，项的系数是_（用数字作答）14如图所示，在直角梯形中，、分别是、上的点，且（如图）.将四边形沿折起，连接、（如图）.在折起的过程中，则下列表述： 平面；四点、可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直.其中正确的是_.15已知向量，若，则_.16如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以

4、及；从点测得已知山高，则山高_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数；（2）若在上单调递增，且求c的最大值.18（12分）如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形所在平面与圆所在平面垂直，且，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.19（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.20（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：2

5、1（12分）已知函数（1）若曲线在处的切线为，试求实数，的值；（2）当时，若有两个极值点，且，若不等式恒成立，试求实数m的取值范围22（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且， ，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：，可解得或，“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分条件

6、和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题2、B【解析】由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积【详解】由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，由于，点坐标为，代入抛物线方程得，故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解3、A【解析】根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入，因为，所以由程

7、序框图知，输出的值为.故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.4、D【解析】充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数，使得，则，得证；必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.5、A【解析】先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.【详解】由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.

8、故选：A【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.6、C【解析】首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积【详解】取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，为的中点由球的性质可知：平面，且设，在中，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为故选：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.7、A【解析】取，得到，取，则，计算得到答案

9、.【详解】取，得到；取，则.故.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.8、C【解析】根据偶函数的性质，比较即可.【详解】解：显然，所以是定义域为的偶函数，且在单调递增，所以故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.9、D【解析】由得，分别算出和的值，从而得到的值.【详解】，当时，当时，故选：D.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10、A【解析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线，即，当时，代入可得，所以切点坐标为，求得导函数可得，由导数几何意义可知，由点斜式可得切线方程为，即，故选

10、：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.11、A【解析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，点是角的终边上一点，根据三角函数的定义，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 【解析】的展开式的通项为：.令，得.答案为：-40.点睛：求二项展开式有关问题的常见

11、类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14、【解析】连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：则且，四边形是矩形，且，为的中点，为的中点，且

12、，且，四边形为平行四边形，即，平面，平面，平面，命题正确；对于命题，平面，平面，平面，若四点、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.所以，命题错误；对于命题，连接、，设，则，在中，则为等腰直角三角形，且，且，由余弦定理得，又，平面，平面，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，平面，平面平面，命题正确；对于命题，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，平面，平面，.，平面，平面，.，显然与不垂直，命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点

13、共面的判断，考查推理能力，属于中等题.15、10【解析】根据垂直得到，代入计算得到答案.【详解】，则，解得，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.16、1【解析】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，故答案为1考点：正弦定理的应用三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）2【解析】（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.【详解】（1）当时,

14、定义域为,由可得,令,则,由,得；由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,则的最大值为,且当时,；当时,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,设,则,若,则,则在上单调递减,显然,在上不恒成立；若,则,在上单调递减,当时,故,单调递减,不符合题意；若,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,由,得,设,则,当时,单调递减；当时,单调递增,所以,所以,又,所以,即c的最大值为2.【点睛】本题考查利用

15、导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.18、（1）见解析；（2）【解析】（1）取的中点，证明,则平面平面，则可证平面.（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，则点到平面的距离可求.【详解】解：（1）如图：取的中点，连接、.在中，是的中点，是的中点，平面平面,故平面在直角梯形中， ，且，四边形是平行四边形，同理平面又,故平面平面，又平面平面.（2）是圆的直径，点是圆上异于、的一点，又平面平面，平面平面平面，可得是三棱锥的高线.在直角梯形中，.设到平面的距离为，则，即由已知得，由余弦定理易知：，则解得，即点到平面的距离为故答案为：.【点睛】考查线面平行的判定和

16、利用等体积法求距离的方法，是中档题.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1），不等式，即或或，即有或或，所以所求不等式的解集为.（2），因为，所以要证，只需证，即证，因为，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.20、（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由短轴长可知，设，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求

17、；（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到与的关系，将表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果【详解】解：（1）由已知，得由，两式相减，得根据已知条件有，当时，即椭圆的标准方程为（2）当直线斜率不存在时，不等式成立.当直线斜率存在时，设由得，由化简，得令，则当且仅当时取等号当且仅当时取等号综上，【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题21、（1）；（2）【解析】（1）根据题意，求得的值，

18、根据切点在切线上以及斜率等于，构造方程组求得的值；（2）函数有两个极值点，等价于方程的两个正根，不等式恒成立，等价于恒成立，令，求出导数，判断单调性，即可得到的范围，即的范围.【详解】（1）由题可知，联立可得（2）当时，有两个极值点，且，是方程的两个正根，不等式恒成立，即恒成立，由，得，令，在上是减函数，故【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目.22、（1）；（2）【解析】方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式；（2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和.其余两个方案与方案一的解法相近似.【详解】解：方案一：（1）数列都是等差数列，且，解得，综上（2）由（1）得：方案二：（1）数列都是等差数列，且，解得，.综上，（2）同方案一方案三：（1）数列都是等差数列，且.，解得，.综上，（2）同方案一【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.