微积分学PPt标准课件01-第1讲集合与映射

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1、高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 脚 本 编 写 、 教 案 制 作 ： 刘 楚 中 彭 亚 新 邓 爱 珍 刘 开 宇 孟 益 民 第 一 章 集 合 与 函 数本 章 学 习 要 求 ： 正 确 理 解 函 数 概 念 ， 能 熟 练 求 出 函 数 的 定 义 域 。 掌 握 函 数 的 单 调 性 、 有 界 性 、 奇 偶 性 、 周 期 性 的 分 析 表 示 和 图 形 特 征 。 正 确 理 解 初 等 函 数 、 复 合 函 数 概 念 ， 能 正 确 将 复 合 函 数 进 行 分 解 。 会 求 函 数 （ 包 括 分 段 函 数 ） 的 反 函 数

2、 。 了 解 “ 取 整 函 数 ” 和 “ 符 号 函 数 ” 。 能 对 常 见 的 实 际 问 题 进 行 分 析 ， 建 立 函 数 关 系 。 第 一 节 集 合 与 映 射一 、 集 合 的 基 本 概 念二 、 集 合 的 基 本 运 算三 、 映 射 的 基 本 概 念四 、 实 数 、 区 间 、 邻 域 一 、 集 合 的 基 本 概 念 集 合 论 是 现 代 数 学 的 基 础 。 集 合 论 的 创 始 人 是 丹 麦 人康 托 尔 （ 犹 太 人 ） ， 他 在 柏 林 大 学 学 习 （ 工 科 ） 期 间 受 大数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 的 影 响 ，

3、 转 而 攻 读 数 学 ， 最 后 成 为 一名 数 学 家 。 他 于 1847年 提 出 集 合 论 ， 解 决 了 当 时 一 系 列 悬而 未 决 的 问 题 ， 奠 定 了 现 代 数 学 基 础 。 但 康 托 尔 创 建 集 合论 的 过 程 是 十 分 艰 难 的 ， 为 此 他 几 乎 献 出 了 生 命 。 这 也 说明 如 何 一 件 新 生 事 物 的 出 现 往 往 都 不 是 一 帆 风 顺 的 。 康 托 尔 将 集 合 定 义 为 ： 所 谓 集 合 是 把 我 们 直 观 和 思 维 中 确 定 的 、 相 互 间有 明 确 区 别 的 那 些 对 象 （

4、这 些 对 象 称 为 元 素 ） 作 为 一个 整 体 来 考 虑 的 结 果 。1. 集 合 , 。或， 记 为集 合 不 属 于； 元 素， 记 为属 于 集 合元 素 。哪 些 元 素 不 属 于 集 合 属 于 集 合， 也 就 是 规 定 哪 些 元 素定 义 一 个 集 合 放 在 一 起 就 构 成 集 合 。简 言 之 ， 把 考 察 的 对 象AxAxA xAxAx A AA 关 于 集 合 的 几 点 注 意 ：v 集 合 的 元 素 是 确 切 定 义 的 ， 不 能 含 糊 不 清 。v 集 合 中 的 元 素 互 不 相 同 。v 当 只 研 究 一 个 集 合 时

5、 ， 则 可 不 考 虑 其 结 构 ， 视 集 合 中 的 元 素 一 律 平 等 。 2. 集 合 的 表 示 法(1) 列 举 法 ： 将 集 合 A的 所 有 元 素 一 一 列 举 出 来 ， 并 用 花 括 号 括 上 。表 示 集 合 的 方 法 有 两 种 : )( | )( )2( 。具 有 特 性来 表 示 如 下 列 出所 具 有 的 特 性中 元 素将 集 合描 述 法 ： xpxxA xpxA注 意 ： 不 论 用 那 一 种 方 法 表 示 集 合 ， 集 合 中 的 元 素 不 得 重 复 出 现 。 01 | 1 1, ) ( 1 | ),( ,3 ,2 ,1

6、222 。 ；平 面 上 的 单 位 圆 周；东 ， 南 ， 西 ， 北； xxH xyyxyxGBA 有 些 集 合 可 以 用 两 种 表 示 法 表 示 ， 此 时 可 根 据需 要 选 择 其 中 的 一 种 方 法例 1 3. 子 集 、 集 合 相 等 )1( 。的 子 集 ， 记 为为， 则 称若 BABABaAa )2( 。相 等 ， 记 为与， 则 称 集 合且若 BABAABBA ) ( )3( 的 元 素 。中 至 少 存 在 一 个 不 属 于此 时 ， 的 真 子 集 。为， 则 称且若 AB BABABA 规 定 ： 空 集 是 不 含 任 何 元 素 的 集 合

7、， 记 为 。 空 集 是 任 何 一 个 集 合 的 子 集 ： 。， 则 AA )( 2 )4( 。或记 为 的 幂 集 ，称 为的 所 有 子 集 组 成 的 集 合非 空 集 合 AP AAA 5 3 1 4 2 4 3 2 1 ， BAG 086 | 2 ， 则 xxxC ；， CAGAGG );5 ( GGB 因 为但 ) 2 ( 4,3,2,1 ,4,3,2 ,4,3,1 ,4,2,1 ,3,2,1 ,4,3 ,4,2 ,3,2 ,4,1 ,3,1 ,2,1 ,4 ,3 ,2 ,1 , 2 4 项共 计。G 想 到 什 么 没 有 ？例 2 4. 有 限 集 、 无 限 集 ：含

8、 有 有 限 个 元 素 的 集 合 称 为 有 限 集 ；含 有 无 限 个 元 素 的 集 合 成 为 无 限 集 。 2 2 项 。含 有个 元 素 ， 则 它 的 幂 集含 有如 果 有 限 集 nAnA空 集 是 任 何 一 个 非 空 集 合 的 幂 集 的 元 素 ： 2 。， 则 AA 二 、 集 合 的 基 本 运 算 。成 的 集 合 ， 称 之 为 全 集 象 （ 元 素 ） 的 全 体 所 构来 表 示 所 考 虑 的 某 种 对或 便 ， 我 们 常 常 用 记 号为 了 研 究 和 叙 述 上 的 方 X 也 有 一 些 书 将 全 集 称 为 “ 空 间 ” 、

9、“ 原 集 合 ” 、 “ 万 有 集 合 ” 等 。在 wen图 中 ， 用 矩 形 表 示 全 集 。1. 集 合 运 算 的 概 念 ， 则，设 有 集 合 BA ) ( | | | 。或 记 为的 补 集 （ 或 余 集 ） ： ；且的 差 ：与 ；且的 交 ：与 ；或的 并 ：与 CAAAA BxAxxBABABA BxAxxBABA BxAxxBABA ? )( ABBA A BBA A BBAA B ABA )AB( | BxAxxBABA 或的 并 ：与 A B A B A B BA BA BA )AB( | BxAxxBABA 且的 交 ：与 互 斥与称 BA A BAA C

10、ABBAAB 时 ， )BA(ABA BA B BABBA (A B) B = A? | BxAxxBABABA 且的 差 ：与 ) ( 的 余对称 为 AB 一 般 说 来 , ABB)(A A BA B ABB)( 仅 当 B A 时 , 才 有 ABB)(A A BBA ABB)(A AA AA ) ( CAAAA 或 记 为的 补 集 （ 或 余 集 ） ： = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 。B = 4, 5, 6, 7, 8, 9 ，设 A = 1, 2, 3, 4, 5 ，则 BA例 3 B = 6, 7, 8 ，= 0, 1, 2, 6, 7, 8 .设

11、A = 0, 1, 2 ，则 BA例 4 A = x | x2 2x 3 0 ，= x | 1 x 3 . B = x | x = 1, 3 ，设则 BA例 5 6 ,5 ,4 ,3 3 ,2 ,1 ， 则，设 BA , 2 ,1 BA 6 ,5 ,4 ,3 2 ,1 )( BBA 。A 6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 例 6 = x | 1 x 1 或 2 x 3 。 故 B = x | x 2 ，解 不 等 式 得 ,023|B 2 xxxA = x | 1 x 3 ，BA例 7 0,32|A 2 xxx设 . BA 求 交 换 律 结 合 律分 配 律对 偶 律2.集 合 的 运 算

12、性 质幂 等 律吸 收 律 设 有 集 合 A、 B、 C 及 全 集 ， 则交 换 律 ：结 合 律 ： CB)(AC)B(A CB)(AC)B(A 分 配 律 ： C)(AB)(AC)(BA C)(AB)(AC)(BA 对 偶 律 ： BABA BABA AAAA AA 幂 等 律 ：吸 收 律 ： AB)A(AA B)A(A AA A AA A AA AA C)(BC)(ACB)(A B)(ACBA)(C 其 它 ： 三 、 映 射 的 基 本 概 念1. 映 射 ， 按 照 某 种是 两 个 非 空 集 合 ， 若，设 AxBA fByf 与 之 对 应 ， 则 称有 唯 一 确 定

13、的确 定 的 法 则 ， 或 记 为：的 一 个 引 映 射 ， 记 为到为 从 BAfBA 。， 习 惯 上 也 记 为，： AxxfyAxyxf )( 下在 映 射称 为下 的 像 ，在 映 射称 为其 中 ， fyxfxy 中记 为的 定 义 域称 为 映 射的 一 个 原 像 AfDfA );( , , 的 值 域 ，为的 全 体 所 构 成 的 集 合 称的 像所 有 元 素 fyx ， 即或记 为 )( )( AffR ),( | )()( ;)( 。AxxfyyAffR AfD 注 意 ：1) 映 射 是 集 合 间 的 一 种 对 应 关 系 . 集 合 X 、 Y中 所 含

14、的 元 素 不 一 定 是 数 ， 可 以 是 其 它 的 一些 对 象 ( 或 事 物 )。2) 对 每 一 个 x X， 只 有 唯 一 的 一 个 y Y 值 与 之对 应 关 系 不 一 定 就 是 映 射 。对 应 ， 这 一 点 很 重 要 ， 它 说 明 集 合 间 元 素 的 3) 映 射 的 定 义 不 排 除 几 个 不 同 的 x 值 与 同 一 个 y 值 对 应 。RfX Yf y2x1x2x3 y1. . 设 f 为 集 X 到 集 Y 的 一 个 映 射 。 如 果 x X， 存 在 唯 一 的 y = f ( x ) Y 与 之 对 应 ；反 过 来 , 若 y

15、 Y, 存 在 唯 一 的 x X 使 得 y = f ( x ), 则 称 f 是 X 到 Y 的 一 一 对 应 。2. 一 一 对 应 一 一 对 应 的 实 质 是 什 么 ？ 一 一 对 应 的 实 质 的 一 一 对 应 ， 则到是如 果 YXf )()( )1( 22112121 ；， 则， 若， yxfxfyxxXxx ) )( ( )2( 。或 YXfYRf 其它内容请同学们自己看书 1. 实 数 集 与 数 轴实 数 集 为 有 理 数 集 与 无 理 数 集 的 并 .实 数 具 有 稠 密 性 和 连 续 性 .aR， 必 n Z， 使 n a n+1.实 数 与 数

16、轴 上 的 点 一 一 对 应 .四 、 实 数 、 区 间 、 邻 域 2. 绝 对 值 、 距 离任 一 实 数 a 的 绝 对 值 | a | 定 义 为 ： 。 0 , , 0 , | aa aaa数 轴 上 任 意 两 点 a， b 之 间 的 距 离 为 d = | a b | 。 绝 对 值 常 用 的 性 质 ： ;| ,| )1 2 aaaaa ;0)( | | ,| )2 a ababbaba .| ,|)3 babababa 3. 区 间(1) 闭 区 间 a, b = x | a x b a b xO(2) 开 区 间 (a, b) = x | a x b a bO x

17、。 。 ( ) (a, b = x | a x b (称 为 左 开 右 闭 区 间 )a, b) = x | a x a ,( , b = x | x b , ( , b) = x | x b ,( , + ) = x | x + = x | xR a (+)O x a, +) (5) 区 间 长 度有 限 区 间 的 长 度 = 右 端 点 值 左 端 点 值 不 论 是 闭 区 间 、 开 区 间 、 半 开 闭 区 间 ， 其 长 度 计 算 均 按 此 式 进 行 。 所 有 无 穷 区 间 的 长 度 = + 区 间 ( , 2 与 (1, +) 的 区 间 长 度 均 为 +.区

18、 间 1, 4 与 ( 1, 4) 的 区 间 长 度 均 为4 ( 1) = 5例 8 U( x0 , ) = x | | x x0 | 0 x0+o ( )x0 x0 xx U( x 0 , ) | x x0 | ),( U 00 ：邻 域的点 xx4. 邻 域 U( x0 , ) = x | 0 | x x0 | 0 x0 + o ( )x0 x0 xx U( x0 , ) 0 | x x0 | ),(U 00 ：邻 域的 去 心点 xx 点 的 某 邻 域 ， 记 为 U(x0) .0 x点 的 某 去 心 邻 域 ， 记 为 (x0) . 0 x U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 ) 点 x0 = 3 的 = 0.1 邻 域 为点 x0 = 3 的 去 心 = 0.1 邻 域 为 ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 )= ( 2.9, 3.1 )例 9