段正敏主编《线性代数》习题解答

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1、线性代数习题解答】张应应胡佩2013-3-1目 录第一章 行列式.1第二章 矩阵.22第三章 向量组的线性相关性.50第四章 线性方程组.69第五章 矩阵的相似对角化.91第六章 二次型.114附录：习题参考答案.129教材：段正敏，颜军，阴文革：线性代数，高等教育出版社，2010。第一 章 行 列 式1.填空题：(1)3421的逆序数为 5:解：该排列的逆序数为f=0+0+2+3=5.(2)517924的逆庠数为 7:解：该排列的逆序数为f=0+l+0+0+3+3=7.(3)设有行列式2 5-1301-1204D=6 5-4 3 2=(%),1 0 0 7 8-1 1 1 3 2含因子。12

2、。31。45的项为一-1440,0解：(-1)3154)I%=(一 厅.5 2 6 8 3=-1440(_ 1),(24153)42424a3汹45%3=(-1/-5 0 6 8 1=0所以D含因子为2a31a45的项为-1440和 0.(4)若阶行列式。“=(均)=。,则。=(-%)=(-1)a解：；行列式。中每一行可提出一个公因子-1，.1-。=(一旬)=(-1)(%)=(一1)a.1111(5)设 x)=2-2 x4 4/8-8 x3则/(x)=0 的根为1,2,-2111解：f(x)是一个 Vandermonde行列式，./(x)=(x l)(x 2)(x+2)(2 1)(2 2)(2

3、 1)=0 的根为 1,2,-2.(6)设入,2，彳 3是 方 程+p x +g=0 的三个根,则行列式/x2 x3x3 X x2=0 X 3 为解：根据条件有 x3+px+q=(x-xt)(x-x2)(则0a32。3 3。3 40。3 2。3 33 40。4 2。4 34 40。4 2。4 3。4 4aa2。2 3。2 42 2 3 2 。4 2“2 3 。3 3 0 4 3 =；。2 4 3 4 。4 4 -a22。2 3 。2 4解：令5=a32/3。34，则。4 2 。4 3 。4 4a2。1 3a40a22。2 3a240a32a33a340a42 4 3。4 40a22a23a24

4、0 3 2 3 3 3 40。4 2 4 3 4 46 2 2 3%=a1 1-(-l)1+1|B|=l =q 尸 0,且忸|=斯(-!严 冏=-即 冏=-10a22。2 3a24。3 2。3 3“3 4T咋忸1=1UI 1(1 5)设有行列式1-102xX301，则元素-1 的余子式M2尸2x31,元 素 2的代数余子式 4 2=(T)-1001(1 6)设。1234234134124123=(%),A,)表示元素4 的代数余子式，则K g +2 A 2 4 +3 A 3 4 +4 A.0解：方法一：4 4 +2 4 4+3 4 4+4 A S 可看成。中第一列各元素与第四列对应元素代数余子

5、式乘积之和，故其值为0.方法二：A 4 +2 2 4 +3 A 3 4 +4 A 4 4123423413 !1 I412I 2 1I 3 II 4 I推论1=0.(1 7)设。=aabbbhd acda=(%),A。.表示元素陶的代数余子式，则匕+A02 4+/+人转=解：从 总 +44+A 3 4 +A 4 4 =5(1 8)设 f(x)43432解：方法一:2一X00ax00032abc1hd1bc1hd12X0-x00000000000006推论4=0.则/的系数为 6/(x)05432X0432 x0032X0002-x0000X000000000066x方法二：只有一项非03254

6、43322-xx02-X0 x000000005 x4=6(-l)v(-l)2-r,56x5f(x)5432X0432-x0032X0002 x0000X00000000006综上所述：/的系数为6.(-1),0-(-1)2-%5/八 5 4 3 2 1 6)(一 1)4 5 2 4 3 3 4 2 5 1。6 6(1 9)设。孙a2即 0a2la22a2ma/2.am%am2 anun,Ba2。2 2 ,a2m1 2bncnC21,“2 1b22.,.2 C2C22C2mam2,。nun*b2%Cn2 ”=a422 1 82 24?=)，则。=(-1)而%或2a a2*,即,8 1 2，,伉

7、“解：方法一：令|A|=a2 a22 ,a2,=a ,忸|=。2 1%，,b2n=bam am2 a,m源bn2.%A n n A则2 =(；=kH M =H，2 =；：=(l)|A|忸|=(T)%。证明：根据行列式性质2和5,将行列式|川变成下三角行列式，得到:ii 42,am同 _ a2 a22,一 a2m,在。m2%。2 1。2：_=年2 a,“=a。,二。,“2 4行列式、2的变换和行列式间的变换完全相同，得到：分别将A、2第一次按第一行展开（电变成第一行），第二次按第二行展开（生变成第一行），总共进行m次第一行展开，得到:3=6行 一。,同=闻.网=必；2=%（-1广+1式-1产4产

8、伸=（-1门 川.忸|=（-19证毕.(A 0 方法二：设A=q I，Btnxtn同）I，DnxnC B)其 中:(ly=%，bp，CP)i=m.j=mi=加+1:优 +，j =m+1:加+，p=i m,q=j-mi=机+1:用+，/=1:z,p=i 一？(*)那么：回=：；=E (T产“飞%.UMC D 巧,，PM+“=1,，M+”由(*)(1 ，(P l P m(MN(，+/”)-XIF aP l,P J=1,/A =1 .3小 叫 勿-E （T）出35 啧严”加 心一，=|，M=Z 产 力.（一1严0.也J|A|-|B|=ab5aa2a2.“22,a,n&2ma,.aam2 amb-3,

9、h n%。12。2122 b、u2n*C2C22.C2ni%uhn 2.b nn%Cn2.C),m2中a,“依次与仇，&，,b“对换,使得在 也,卜面;依次与仇力2，2对换，使得a(时1)在 下 面，在%,上面;a,依 次 与 仇 也，也 对换，使得/在 以 下 面,在%上面;总共进行了加次对换。得到：(-1)叫 忸 山|=(-1).U /i同理可得：4=4+1，。3=0 2-/，2=2+/a a 0 0 C-1 l-a a 0 C(2 0)D5=0 -1 l-a a C0 0-1 l-a a0 0 0 -1 1-a a 0 0 0-1 -a a 0 0解：2=0 -1 l-a a 00 0-

10、1 l-a a0 0 0 -1 l-a按第列展开 ,4-a-(-l)5+1-a4=JC1+C2+C3+C4+C52 3 4 5+。-a+一a.1 a o 0 00 l-a a 0 00 -1 -a a 00 0-1 l-a a a 0 0 -1 l-aD4 a则+a?-/+a，a，=1 -a +a 一优+a a2.选择题X(1)设多项式/(x)=X1X2 3 4x x 30 2 x1 3 x则多项式的次数为(B)(4)2解：方法一:(8)3(0 4 ()5x 2 3 4 x)=x x 3(今0 2 xx 1 3 x1|0 x xX I 2X；12 Xx 33 43 xr2-xrr3-xr100

11、00 x212 x-x 3-x23-2x 4-x23 2x x 按第一列展开x2-x3-2 x3-2 x3-x24-x2x-x1 i 3-2 x2 I 3-2 xx!-x10T 一町03-2 x x-x12 x 3 -2,x+4-x(4-2 x)2 x?+3按第一列展开 2 x 3-x(4-2 x)x 2x+4x3 2 x +3=X3-10X2+22X-9多项式次数为3；方法二：xx/(%)=I2X0T3 4x 2 3-2 xX 3C32Cx x-x2 Rq-xc|1 0 03 xx 1 3-2 x4-x23-X2 按第三行展开 x-xb(-l)3+12 3-2x 4-x2x x 3 x21

12、3 2x x X3 2x-+2x 4-x -4 x+30 023-2 x4-x2(.-3+(.r-4)Q2X一X3 xX-10 x-4-1按第三行展开(-l)-(-l)3 2xxx+2x 4-4x+3=1 0 厂+2 2 x 9多项式次数为3；注意：实际上方法一与方法二思想类似：利用行列式展开定理对行列式降阶，最后求出行列式 的 值(多 项 式).x 2x0方法三：/(%)=x 13 4x 3按第二行展开XA21+XA,9+3 2 42 大3 x这四项的最高次项分别为：x2,x3,x3,x2 3 4A j =(-1)0 2 x=O(x)1 3 x3 42 x =2 x2+3 x2+1 2-(8

13、x +3 x +3%2)=2 x2+O(x)3 xx 2 473=-1 0 XX 1 X-0 +2X2+4-(0 +2X+X2)=-f+O(x)/(x)=XA22+xA2i+O(x,=2%3-%3+0(/)=/+O(%2)多项式次数为3.x(2)设x,y为实数且一y0y ox o =0,则(。)x 1(A)x =0,y=1(B)x=-1,y=1(C)x =l,y=-l ()x =(),y=0 x y 0解：-y x 0=x2+y2=0 =x =y=0.0 x 1(3)设多项式/(x)(A )16!1+x al2+xa2l+x a22+xa3i+x aJ2+xa4i+x a4 2+x(8)2%3

14、+x al4+xa23+x a24+xa33+X a34+Xa 4 3+x a+x(C)3则多项式的次数最多为(A )(0)4解：设=:=(a,y)4 x 4=a a2 3 4)则/(%)=!,+x ia2+%+x性质4 I-11%+H%+x la4+x l|+|x l%+xf a3+xl=/i)+/2(x)fx(x)=ax a2+x l%+x f a4+x T|性质4 1 一 一|一 =0 a2 a3+xl a4+x l +k z)x l a3+x l 4+1 1=力(%)+力(工)性质3 卜-一 力 性质5f2(x)x 1 a2+x l g+x l%+x l =x|T a2 a3%=0(x

15、)力(%)=,a2%+x l a4+x l|=二 八 +八 a2%+同 +卜|a2 xl%+x l j性质3 一 一性质5 f4(x)x o f,1 a3+x a4+x l xax T a3 a J=O(x)人(x)=W%3a-I 性质4.I-I44-x l a a2%|+%a2 a3 x l性质3ax a2%+a a2%T|=6(x)性质3 一 一性质5 f6 x)z=xa a2 1 a4+x l :xa a2 1 a A=0 x)/(x)=力(x)+f2(x)=(力(x)+y4(x)+f2(x)=(/5(x)+f6(x)+/4(x)+f2(x)=O(x)；.f(x)的次数最多为1.0 -1

16、-1(4)Dn=，当”=(C )时，O“0.-1 0(A)3 (8)4 (C)5 (0)7-1_1 n(w-l)”(+】)解：0,=.=(-1)-(-l)n=(-l)|3 4 5 7(+1)-i6 1 0 1 5 2 82当=5时，。=一1 =-5,于一10的 是(D).(A)2a,2a2，2a3，2a/(B)ax+a2,a2+a3,a3+a4,%+aJ(C)a,a+a2,%+%+%，a+2+a3 +a(。)同+&2，a2+a3,a3+a4,%-a J解：D=a a2 a3 a4|=-5(A)D 1=|2!2a2 2a3 24|=24|a,a2 a3 a4|=24D：(B)方法一：D2=a+a

17、2 a2+a3 a3+a4%+%|a2+a3。3 +%+a J=0则下列行列式中，等-80方法二：D2=|(Z +a2 a2+a3 a3+aA a4+a|性 质4=a%+%+%+%|+|。2 4 +%笛+耳c4 f4 4%|=o%+%+。1|片 不7匕%阂=(-1)”|a2 a3 a=DC 4-C 3D)=E+F=D D=0(C)D3=al ax+a2 al+a2+a3%=1 ax+%+a2+a、oc=/+%|a2 4 a4=D=-5(D)D4=|d Z j+a2a2+%+%a4-ax性质41 1%+%+%=4+6。4+。A=|I 2 3 a j =o。2-。2 f3+151=|2 3 4 一

18、%|=(一1他%3 。/=。C 4 Y 33.计算下列行列式.。4=4+4=。+。=2。=一1 01 1114 1241 2 341202(1)(2)1 3 61 01 0 5201 4 1 0 2 00-1-1-72 6 1 1 33 111 0 2 0 41 31(3)(4)2 1 3 5 0113 11 3 41 01 133 0 3 6 90 0 0 0 2 30 0 0 0 5 61+Qbcd10 0 80 0a1 +/?cd(5)(6)2 3 0 0 0 0ab1+c d0 4 5 0 0 0abc1 +d0 0 6 70 01 111ab acaea b cd(7)hd-cdde

19、(8)a，y c1d-bf cf efa4 bc4d41 J111 11 1 11 1 1 11 1 1 11 !234o 1 !2 30 1 2 3口 一 3T0 12 3解：D=11_ _ _=11 ；1 3 61 0r3-rl0 2 ：5 9C-2r,0 0 1 30 0 13r2-r11 ：4 1 0 2 00 3 ；9 1 90 03|1 00 0 0 1(2)D(4)D4 !11 2201 0 i0 !524200120-1 50202-42|按 第 列展开-2 0-1-7-1-73(3)1-1100220213601301 1 302 0 42r213 5 0431609ri-2

20、 r2r4-r2 x：C f x：:2:2(-1)”25 631 0 02 3 00 4 50 0 607808-(-l)+4.002 3 01 0 04 5+_7,(/八1)4+4.2 3 00 60 4 5=-3 x (-8 x 2 x 4 x 6 +7x l x 3 x 5)=83 7（6）方 法 一：D01 +Qbcd1 +Qba1 +bcdr4-r3-11ab1 +cdr3r20-1r2-rabc1+J001d0011 0 0bed按第一列展开/-(1 +a)-1 1 0+（一1）.（一1广-1 1 00 -1 10 -1 1=l +4 +/?+C +1+a bedl+a+O+c+d

21、b cda l+h c dC i+q,i=2,3,4l+a+b+c+d 1 +b cd方法二：a b 1+c dl +a +/?+c +db 1 +c da b c 1+Jl+a+O+c+db c1 +Jl+a+h+c+d h%下：=2.3.4 0 10 00 0c d0 0 1上三知行列式1+a+b+c+d1 0 1ab ac(7)bd-cdbf cfef每一行提一个公因子性质3badf bb111每一列提一个公因子adfbee性侦31-11=abcdef1 10-20 010-24abedef（8）方法一：考虑新的行列式1aa1a 3a41bb2h3b41dd-/J41xX2X3x4，则

22、A4 5=(-1)4+51aa2a41bb2b41cc2c41dd-d4即为/的系数，因为将。按最后一列展开时,即为F的系数所在项，而由。为范德蒙行列式知：=(b-a)(c-a)(d -a)(c c)(x-a)(x c)(x-r f)JA4 5=(b-a)(c a)(d -a)(c-b)(d -c).(一l(a+b+c +d)因此有：1111 口；1=e _ a)(c _ a)(d _ q)(c _ b)(d _ 6)(d _ c)(a+b+c +d)a b c da4 b4441 1a h方法二：2 7 2a b/b4d?ry-artr2-ar1 1d M b 0001 1 1h-a c-a

23、 d-ab(b-a)cc-a)d(d-a)h2(b2-a2)c2(c2-2)d2(d2-a2)h-a按第一列展开,、b(b-a)lrb2c-a d-ac(c-tz)d(d _a)一 叫 d2(d2-a2)1 1 1性质3/=h-a)c-a)d-a)bed02(b+)c(c4-d)d(J+2 -2 =(4 4 *|)(。2 d 2 2c2)。2“一4=n(q4 一3)i=a ah1 a+b性质4 Dn 1按第一列其中：a ab1 a+b ab1 a+b 1aba+h+aba+bc2+cr(-b)C3+C2(询aha+b必(询aha+b ab1 a+b ab1 a-ba1 a=an1 a：.Dn,

24、an+nh iD n,an+b(an-1+b一D/jt J =.=a+ba+b2an-2+-+b5.证明(1)若行列式。=(%)中每一个数均分别乘以b-S 0),则所得行列式与D 相等;21+X2a2222JZx)zX?111i11+匕cdz(xz(/l222.cd+2)2 (3)2+2)2 0 +3)2+2)2 (C+3)2+2)2(4 +3)24 1 11 q 0(3)1 0 a21 0 0每一列提一个公因子性质3(2)(的2 a,产),2-1证明(1)“2 犷1al2b2.alnbna22b2.a2nb-na#a,/一 。2 。”。一/一2 6 一，2 +32 0+32 c +32d+3

25、2 a+52b+52 c+52 d+54 a2n=Db2c2d2(a+2)2 (a+3)pe+2/他+3y二卜(c +2)2 (c +3)2 讣m+2)2 m+3)2 K2a+12 ft +l2 c +l2 d +l2a+l 2 22b+2 22 c +l 2 22 d +l 2 2推 论400111%0(3)10。2100oooiqooioa201004（%。2。，产 ）6.证明第三节推论4.证明：设。的两行元素对应成比例，则7 .证明第三节性质4.证明：D=（一1）%七2一4=E（T）何P1 外 P-Pn=E（T）%/，+Z（T）%1 C/，=2+4Pl%P P n证毕.8 .证明上三角行

26、列式等于对角线上元素的乘积.a a 2 a n0 C l *C l证明：D=.；,由行列式的定义知，第一列只有如为非零元，而第二列0 0 ann除第 行外，只有a2 2为非零元，同理依次进行则D=（一1）%外2 ，其中r为1,2,逆序数，为0,.。=%2 2%证毕第 二 章 矩 阵1.填空题a（1）已 知31026,贝ia=解:102%、6也3。+。3 0 2。+/?=3a=0b =-30；b =(a30 0-1 设A=1 0、0 00(2 0 0、-0 2 00，则从2-3 A2=八，、c解：A=1 0、0 0、f1-1,A4=J、(0-10 G0,A2=-1J 、X1 =E ,b（2A20

27、10-3 A2=产2 _ 3A2=屋 _3 A2 =2屋2 若A,B均为3阶方阵，且=2,B =-2E ,则）叫=-16 .解：=|A|.忸|=2卜2 E J =2.(2)，.|同=-16 .4（4）A为3阶方阵，且 闾=-2,A=44-2 4则 3 A246-3 1Al =6.解：i(il ii i i1 1)=1 1 1=0.1 1 1 1(6)设A=0、20 12 0满足MB-A 8 =E,则 冏=0 17解：A2B-A-B=E=A2-E)B=A+E=A+E)(A-E)B=A+E两边取行列式得：|4 +且 小 一 斗 忸|=|4 +目，|A+E|=6,|A-目=-2 =|B|=-1.(I

28、 io f -1。-2 1 0(7)设4=2 0 0,则A*=n n 0.卜 U U -2.)10 0 D解:Ai=(-1)1+l00010,A21=(-l)1001-1.A,=(-I)3+,10000%=(-1户200I=-2,%=(T 产10011,&=(T 广1200=0AI3=(T)1+320000,%=(-1产10100,%=(-1广1210A*A314 370-2-110、010-vAA 2l AI3A i22A231525-6a+12-6a 10、1 的秩为2,则a=3(9)设矩阵A11-a则B的所有3阶子式为010013-65a+1211IIk1I1k1k,0010-65a 3

29、一(a _ 3)=0=a=3.且R(A)=3,则五=111解:由R（A）=3知 同=0,即k111k+3k+3k+3k+31111H=1k111k11=(2+3)0k-0011k1二11k1()0k-0111k111k000k-=(女 +3)(%-I =o=3=1,-3111若k=1,则11 1 11 1 11 1 11 1 1R（A）=1,与已知矛盾，故k w l；11若 k=-3,则|A|=11 1 1-3 1 1I 3，R（A）=3,因为有一个三阶子式1 1 -3-3 1 11 -3 1 =-1 6 0,与己知相符，故k=-3.1 1 -3（10）A为 5 阶方阵，且H（A）=3,则R（

30、A*）=0.解：关于原矩阵与伴随矩阵秩的关系有如下结论：n,当 R（A）=时=1.因为 A4*=|A|E=O,所以 R（A*）+R（A）4【见书 P110：例 9】，n R（A*）4 1,故R（A*）=1；若R（A）-2,则A的所有（一 1）阶子式全为0,于是A所有代数余子式全为0,A*=。,*,，R(A*)=O.（11）设A为非零方阵，当A=A*时，则R=n解：方法一：R（A*）=R（A，=H（A）,由上题结论可知R（A*）=R（A）=or 0,由已知A为非零方阵，贝故R（A*）=R（A）=；方法二：A4*=A47=|A|Eawana(y 2J Jj=lZ a janj7=1AATa,”an

31、n)j=lj=l)A为非零方阵,故AA的对角线元素不全为0,从 而AA，为非零方阵=间。0,则R(A)=.2 0 0()、0 3 0 0(12)矩阵4=0 0 0 2的逆矩阵为、0 0 3 0,2解:(00 j 0 0、3|0 00 To 2013 0,40、A00020003000300027，2o、,o1-00 020-0 030 00-30 0-02（13）设阶可逆方阵A满足2 kl=|加|,k 0,则ZV2解：由/是可逆方阵知 A M b 0,2|A|=|M|=r|A|=r=2,由k0 n k=拒.(1 4)设阶方阵A 满足|川=2,叫 A A 卜 4 ,|A =|A*|=2 T，(4

32、*)*=2(a，(A*+4 =2(|)|A-(A-+A-)A|=I .W：ArA=A=2=4,A-=A=2-=,=2n,(A*)=|A2 4=佃 2)同=同(-1)2 =*1)2 ,+A=TTA+A-A+A|A|2(A*+)A|=|A-I 仅 团 +A-I)A|=甲 S ,A 1=卜 灯=y(1 5)4为阶方阵，A*为A 的伴随阵，H =则0 FA*卜(一1)3解：%-1 5 A*=|4 A-|-1 5-|A|-,|=4-I-15-1A-|=|-|=(-1)-3.(1 6)设 4=230 0、2 0 ,A,为A 的伴随阵，则(A*)4 5,41 0解:=2*=命=标(1 7)设 A*,A 分别

33、为阶方阵A 的伴随阵和逆阵，则|A*A1=|A解：“相 卜|川 卜 =|4 ，|4 =|4 2.4 2 -2、(1 8)设 4=4.1,8为三阶非零矩阵，且 4 3 =0.则“=-1 .3 -1 1,解：首先证明同=0：方法一：由A B =。，若 同。0,则 A 可逆，两边左乘4一 1 得 8 =4一|。=。，与 3工。矛盾，故|A|=0；方法二：AB=O,设B=(fy b2 4)彳。3/3,故也,工。3*=1,2,3,Ab:=03 x l,即Ax =0有非零解,故由定理 4.2.1 知H(A)|A|=O.综上有|川=0.|川=43 -1-2112-1-2112-7a-8-27921iz-8-

34、2-19=7-2-1Q+11 2a134a1007100100210=7(a+1)=0 =a=-1(1 9)线性方程组klXi+Z：尤 2 +左；%3 =短出2项+代 马+/红3 =屋，满足条件 人 白匕工。，占此，勺互不相等氏3匹+k；x?+=k；时有惟一解.解：由克莱姆法则：同 工0时有唯一解.k k；k；1|71|=k,k；k；=k/2k3 1h k；kl 1k1及3k；k；k；(忆2 -k1)(%3 -占)(3 -k2)。k、k2k3。(),且 女 也，上3互不相等.(2 0)当 1 3土 阿22xt+AX2+3X3=0,线性方程组h x 9X2-4X3=0有非零解.4再 +x2-x3

35、=0解：Ax =0有 非 零 解=|川=02 2|A|=2 94 13-4,2 1 o 1 1 1 o 八 1 1 3 +J 6 4 1Z-1 3 2-1 1 8 =0=2 =-2.选择题(1)设A、B均为葭阶方阵，则下面结论正确的是(B)2(A)若4或B可逆，则A 8必可逆；(8)若4或8不可逆，则A 8必不可逆；(C)若4、B均可逆，则A+3必可逆；(。)若A、8均不可逆，则A+8必不可逆.解：A可逆0同0 0,A不可逆=|川=()(A)若A可逆，8不可逆=同0 0叫=0,|4却=/怛|=0,故A 8不可逆，故(A)错误；(B)|川=0或忸|=0=|4叫=附 忸|=(),故(B)正确;(C

36、)设A可逆，则8=A也可逆，但A+B=A 4=。不可逆，故(C)错误；。(0 0、(0(0(。)A=,B=均不可逆，但A+6=可逆，故(。)错误.I。V l o o j l o 1J(2)设4、8均为阶方阵，且4(8 E)=。，则(B)(A)4=0或8=：；(8)阂=0或 忸 一 目=0；(C)闾=0或忸|=1；(D)A =B A.解：A(B-E)=O,两边取行列式，则|4卜怜一日=0,故|A|=0或 怜-目=0,故(8)正确；(o Yo o fo o(A)反例：A B =O；(o Q)Q 1)10 o j(C)忸一同=0|B|=1,故(C)错;(D )A(8-E)=O o A8 A=0 =A

37、8=A4 A BA,故(。)错.(3)设A、8均为阶非零矩阵，且A8=。，则A和B的 秩(D)(A)必有一个为零；(B)一个等于，一个小于；(C)都等于；(。)都小于.解：方法一：A B =O,由课本P110例9知:R(A)+R(B)n,又A、8均为非零矩阵,故R(A 1,R(B)N1,R(A)n-R(B)n-l n,同 理 刈)R(A)，R(B)反证：若A可逆，则4-%8=3=4一|。=0,与8片。矛盾；若8可逆，则4=4 5 8 7=0 8一|=0，与4#0矛盾.(4)设阶方阵A经过初等变换后得方阵8,则(。)(A)A=B-,(8)|巾跳(C)|胭 0；(。)若=0,则 阿=0.解：由题意

38、知AMB,故m可逆阵尸、Q,使P4Q=B,|P|H0,|Q|H0,|PA2|=|P|.I A|-|2|=|B|I A|=0|B|=0|A|HOO 忸 艮0故(。)正确。(A)(5)(C)均不正确，由|卜|小|。|=网，可构造P、Q,使(A)(5)(C)不成立.(5)设A、8均为“阶方阵，E+AB可逆，则 +8 4也可逆，且(E+A4)T=(C).(A)E+AB-；(6)E+B-iA,(C)E-B(E +A B A；()B(E+AB-)A.解：经验证知(C)正确，即(E+BAy=E-B(E+ABy A(E+BA)E-B(E+ABy A=EE+BA-B(E+ABy A-BAB(E+ABy A=E+

39、B A-B(E+AB)(E+ABy A=E+BA-BA=E.(6)设阶方阵A,8,C满足ABC=E,则 必 有(O)(A)ACB=E；(B)BAC=E：(C)CBA-E；()BCA-E.解：AB=E,则A、B 均可 逆,且 B4=E,即 A8=H4=EE=ABC=ABC=BCA=CAB,故(O)正确.(7)设阶方阵A,8,C均是可逆方阵，则(A C F=()(A)(方 厂 川 厂；(B)1厂 伊 广；(C)B-CA-i(D)仍 丫。廿1(ACBr)=(BT)C A-CA ,故(O)正确./,aa2a3。144a3a2%、(8)设4=a2出223。24,B=a24a23a22a29“31%2。3

40、3a34a34a33a3231000r、0 00b（A）A-P,P2-,（B）P2A-P（C）q g A，（D）PiAP,.解：A=（a2 a3%）,则8=（0 4 a3 a2 aJ=A q g=A ,其中时必有|A却=0；（B）;n 时必有|A w o；(D)机 ，mxniR（AB）R（A）nAB=Q,故（A）正确;对(B)(。)有M，mxmR（AB）W R（A）W m n,/、1=加=R（A B）4m|AB|w O|AB|=O均有可能,故(8)(O )错误.a b b、（1 0）设A=b a b,A的伴随阵的秩为1,则（8）.、b b a,（A）a=b 或 a+2b=0；（B）a w b

41、且 a+2/?=0；（C）a=匕或 a+2b w 0；（）。R。且。+2。彳0.n,R（A）=解：R（A*）=h，R（A）=-10,R（A）n-23,R（A）=3此题有 R（A*）=1,R（A）=20,7?（A）T0630-36393、7，0 6 3)13AB-2AT=3 0 -3 6-2 1 1、3 9 3)1 2 -152 075.计算下列矩阵的乘积 1 3 2 1 4 0)0 1J -1 3 3)1 -3、2 0-1、-21 2 1 3)(-1 0 1 T 0、0 0 5 八02 0、1 70 3,，3、(3)(1 2 3)21-1 2、(4)1 (0 2)；(4)，2、1 (o-Vfo

42、2)=0、042一67(5)，41、33-212、5当、X20人 刈(4工1+3X2+2X34-(-2)X2+5X3、3再 +x27(6)q】a2%I。12“22a32a3。23 3 3,王、X2=(%药+。2/2 +的/3%2占 +a2 2x2+a3 2x3 a1 3x,+a2 ix2+a3 3x3)X21 元;+。22*2+a33X3+(。12+。21)XX2+(a 1 3 +。31)*1 无3+(。23+。32)X2X316.设 4 =,求A*（攵为正整数）.(1解：A=Q ,(10),A2=1 J 1 J0、(4=0、3/1,猜测M 1 0、用数学归纳法证明:n 0、一当=1时，A =

43、成立;U 1、（1 o、设当 =,？1时，A -成立,、几 1,则当 k=+l 时，An+i=AnA =、丸11厂(+1”0）成立,故山数学归纳法知A=.几1,91 0、7.设0 4 1 ,求M（左为正整数）.0 0 2.解：AA0120、1A0020、（o0+0100、1A+8,且B0、v 2八）7 v v70 1 0、0 0 1、0 00 0 1,B?=0 0 0,3 =0 00 0 0,、0 0、0 00=O3x3,Bk-O,k 3,o可得：Ak=（A+B）=Al i+CAk-B+CAk2B2+-+Bkz=0=A*+CkAk-B+ClAk 2B2=Ak-28.设2010020100200

44、、002,解：方法一:A22A22求A*（Z为正整数）.，其中A、3AoA3kA220k（k-y2kAA20、2,，A2=，假设屋OAAA、E、2A0、A）007AOAEAA2JOAOA、720，A告oA、OAAEOAOMAN7AA+I（攵+1）Ao7方 法：:Ak2k000、02k00k2k-02k00k2k021 22000 （23 0 0 0A2=02200 n 0 25 0 0，A=e .2-20220 23+22 0 23 0、2-2022J 1 0 23+22 0 237假设不000、02k00ak02k01 0%0A”=,则k v 7 2”00 2 0 00、2AM0000 2*

45、002 0 002k+00ak0 2 a00 202ak+2*02 Al01。%02 J1。1 02,、o2at+2k02k+iak+=2a k+2n%-+i=ak+-12,鸣=1=22k2ak=h 2 z/.A=2k00002k00k2k02k0、ok2k-0 2*7、9.求下列矩阵的秩12301 230、1 2 30、(3)21-50-5-5-50 1 1 1-1 020 2220 0 0 0011101110 0 0 0(32-V0-V100 00J:.RA)=2(1 2211 1221(1 2 21(4)0 2 1 50 2150 21 52 0 3-1 30-2-1-510 0-2

46、2-21 1 0 40 0-2 2-2)0 0 0 0 07，R（A）=31 0.求下列矩阵的秩及行的最简形(1)解：1-2010 00 01232-2-1 042 6-1 0 233 334-27(2)10 2、3010-2-2 42 6-60 020 2 30 3333 3 40 902(-2-1 02 213 3301230001130 00 10070 00 0-2 0-1A221-2-3-21201721-2-1 020 6-20 322-12 20 006-262139130710000 00-3101301 691230190000113007：.R（A）=33-20-rq-2-

47、3-2、022i”40221(2)1-2-3-2勺-3。04950121-2-3-201120053001J_21 -2-30 1 10 0 10 0 0-22J_212)：.R（A）=41 1.求下列方阵的逆(1)q324-1、-21 -2-3 0、0 1100 0 1 00 0 1,(2)co s 6s i n。fl-2 0 0、0 1 0 00 0、0 0-s i n。,co s。,5(3)(5)-4,1 0 0 0、52 0 0、1 2 0 021 0 0(4)2 1 3 000 4-2J 2 1 4;、o0 1 3,0 0 03-2 0-r0 0 00 2 2i；(6)1 0 11

48、-2-3-2、0 1 212 3 2、3 1 170003800012解：13524-41000100、04向1072-2-14-1161 00 1,1-3-5、0101 0 00 1 00 0 10 00、000、0bq0 0-210、210、1 3311 3310 1 0A-1=2-T20 1-1 67-1/67-17(2)|A|=co s。-s i n。s i n 6=1,co s。A,=co s 0,A2=-s i n。，A2I=s i n(9,A,=co s 0(3)(4)A*(5A.A 2/223202-15 2 Y1co s。s i n。、一s i n 6co s。-12_212

49、652 41 2!?4 -2-2yA21 000 00 0 113 J31017Aoo,AJ=13 2、(2 1 J-211 44 J3 J5 J、oo oI1O-3 Oo1oooo1oA7oo1-7 2-7oo3-14 1一14-2 151-3 292-2 241-2 50o1-2 Oo/-7。1A;1oooOOIV。z r-=，0 44oz r7_/=Ml)78AT(0066221000-33A,Y(o Aj)_0071_1_0)=U o)662430002-10002)1 2.求解下列矩阵方程,1(1)332422 J4、X，2211-13、2,2 1(3)A=1 2、0 10、12,U

50、 2、C=3 4 ,AX=X+C；3 4 2 3、(4)设4=1 1 01 2 3,且4 B=A+2 8,求5.解：(1)AX=b,其中 A=332-1 (1、4 -2,b=02-2J l-1z,、初 等 行 变 换/一 ,i,、(A|b)-(E!A-b)002100011、32A(2)AXB=C=X=ACB-1 42,Alf2 -46 1 1B=22111 012 11 0 0、211 0 0(2-11 0020 0 1 0001 00 11 -11 0 003 330232 220 170 01-10(21 001 02 0 0230230 1 0231230 1 0231231 0 11

51、 070 0 11 0/X=12(3、6 1 174 3 2 J(3)AX=X+C=X(A-E C ,3230131 0112307(9791其中A-E1 1(A-E、初等行变换C)E(A-E C1 0 1 21 1 0 !1 2、1 1 01 1 1 3 40 0 1 2 20 1 10 1 1 27(0 11|271 0 0 11 11222、12 J10070 03030_2_211-3-30 1-1 1 083767911 8；0、1 J(001 2、C=110324001 202-I271 0 0 1 3)3、0 1 0 0 -1 nX =0 -10 0 1 2 2 J3 2,212

52、、(4)A8=A+28 n8 =(4 2E)T A,其中 A=41-1，A-2E =21-12-12(A-2|A)初等行变换(A-2E 21-12-1241-1-141-11001-113-1 203 9-11012-21-91 20-6932-2-8-91 2-6、-6%=B32-2-8-91 2-6 69301212EA3037301、7303710003112010303310010210000170.001000171 3.用克莱姆法则求解卜列方程组(1)X1 +x2+x4=5X+22-X3+4X4 22 X-3X2-x3-5X4=-23 X1 +x2+2X3+1 lx4=02x1+-

53、5X3+L=8(2)x,-3X2-6X4=92/一 工3+214 5+4X2-7X3+6X4=0解:|A|1 8)=12(31231211T0011001-2-1 30138-1 4 25-7-4 71 4 2、710007123-1、X=1,x22,刍=3,%(2)A21011-324-50-1-71 6262 7*0,并且389-5()1-324-50-1-71-626二 81,D2210189-50-50-1-71-626=-1 0 8,221011-32489-501-626-2 7,221011-324-50-1-789-502 7,.一 3 一_,r _D,_=H-H1 4.已知线

54、性方程组有非零解，求解下列方程中的参数X(1)(3 A)X|+x2+/=0(2 4)%2 -%3 =04%1 2%2 +(1 丸)“3 =0(2)4 =3,4 =4 或 4 =1A 1 1(2)闺=1 2 1 =/l3+l +l-/l+2 +A=23-3 2 +2 =(2-l)2(2 +2)=01 1 2=%=1 或 4 =-21 5.下列等式是否正确，说明理由或举反例说明，其中48均为阶方阵.(1)A B=B A；(2)(A+B)G 4-6)=屋 分；(3)(A+B)2=A2+2AB +B2.解：对 于(2)式，(4 +3)(4-3)=屋 一 A3+3A B2=A2-820AB=B A对 于

55、(3)式，(4 +6)2 =A2+48+8A+82=A2+2AB+B2 0A8 =8 4但对于一般的阶方阵A,8,没有A 8 =A 4 (交换律)，故(1)(2)(3)均错误。(1反例：A=2、0 0、4,则 AB =U I。B A0、8,B显然A B B A.特 殊 情 形 下 有=%0、A 为数字阵：A=2 E ,AB =2E B =B A=B 2E =2B、0%4二0o 依,B =AJ IO均为对角阵,Nn，4必AB =B A=、004M”1 6.下列等式或结论是否正确，说明理山或举反例说明，其中A,8均为阶方阵.(1)如果4 2=。，则A =。；(2)如果4 2 =4贝 必=。或4 =

56、E；(3)如果4 x =4yj Hx=y；(4)方阵A和B的乘积A B =。(其中0为零矩阵)，且4。，则3 =。；(5)设方阵4,8,均可逆，则 内+上可逆.C o 1、解：(1)A=,A?=。，但A /。；(0 o j(1(2)A =I。0、o A2-A ,但AwO 或AHE；(1(3)A =I。(i(4)A =I。0、0(5)A不可逆.1 7.（1）设A是加x矩阵，B是几x m矩阵，m w n,是否一定有I A B =B A9（2）设4、B都是加x矩阵，是否一定有R（A）+R（8）=R（A +8）,举例说明.（3）若3阶方阵A的秩为2,3阶方阵8的秩为3,则A 8的秩为2吗？为什么？（4

57、）设A是阶方阵，已知4 x=0有非零解，对任意的自然数4，方程A=0是否也有非零解？为什么？解：（1）不一定.可以举出例子说明|A 8|=|网，现 举 例 说 明 川.显然|4却 引 网.（2）不一定.可以举例说明R（A）+R（B）=R（A +B）,现举例说明R（A）+R（B）R（A+5）设R（A）=，B =-A ,则R（B）=R（A）=，R（A）+R（6）=2HR（A+8）=R（0 =O（3）AB的秩为2.8的秩为3,则5为可逆阵，8是一系列初等方阵的积，就相当于给A实施一系列初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩.（4）方程A，=0有非零解.实际上A x=0的非零解即为不=0的非零解.方法一：

58、A x=A i-A x =A i-0 =0方法二：4工=0有 非 零 解=|川=0AX=（）的非零解=|M 卜 呼=0,左为任意的自然数18.设矩阵4 是阶对称阵，B 是阶方阵，则都是对称阵.证明：已知A 是阶对称阵，则 A=A,（Bz A 5）f=B Ar（夕）=B AB；（夕 5）=夕（4）=B B得 证 夕 A 8,夕 8 都是对称阵.19.证明逆阵性质2、3、5.证明：由A T 8 o A B =E 知：性质2：（箱 厂=A o A =E性质 3：（/IA尸=Q A T =/U（QA T）=E性质 5：（A7）=（A-）7=（4）=E r=E20.证明同阶正交阵相乘是正交阵.证明：设

59、A 和 8 均为”阶对称阵，则A4=E,S B =E(4 8)(4 8)=ABBTAT=AEAT=AAT=E故 A B 为正交阵.j 0、21.设 4=，f(x)=aa+atx+anxnCan*0)，为正 整 数，证明:(fW0、证明：由A*=A*f(A)-aQE+atA-ba,A=旬+o0 4+口区+区 ”7(A)0I。/(-4A (1 0 A22.设尸=,A=,P-/P =A，加U 2 j 10-2)证明：A=PAP-An=PAP P A P PA P =P/nP又 K =2 4-1-11 00 210A101 （-4V1 0、2 421 2（0 -1J，2-1 2-2、J-210 2-2

60、,07n-123.设A为阶方阵，A*为A的伴随阵，证 明|A*|=|川证明：由 方 阵A和它的伴随方阵A*的关系AA*=A*4=|4|E,方阵的行列式运算性质|AB|=|A|B|,|4|=Z|A|,则IA IM*I=I*川 上 刀 叫 闽=网,当 同=0时,k*|=HT；当 网=0 时，AA*=4*A=|A|E/，如|A*卜0,则 A*可 逆，（A4*）（A*L=0 E（A*）-=0,A=0,A的所有的代数余子式&=0,而,*卜0,矛盾.故 同=0,有=24.设 屋=0（k为正整数），证 明（E=E+A+42+4 1.证明：（E-A）（E+A+A2+-+Ak-）=E+A+-+Ak-l-A-A2

61、-Ak=E-Ak A=0,：.（E-A）（E+A+A2+-+Ak-E即（E-A =E +A+A2+.+A*T.25.设4、B均为阶方阵，满足AB=A+B,证明：A E可逆且AB=84.证明：AB=A+B=AB B=A=（4 E）8=A=（A E）8 （A E）=E=（A-E）（fi-E）=,故A-E可逆；（B-E）（A-E）E=BA-B+A+E E B A A +BA B故AB=BA得证.26.设方阵A满足A?A-2E=0,证明A及4+2 可逆.证明:方法一：由已知有 A?A-2E=0,A2-A=2E,4（4-E）=2E,|A（A-E j=|2|0,|A|0,A可逆.又由已知有 A2 A 2E

62、=0,A2=A+2E,|/12|=|A+2|,由同 h 0知|A+2同 h 0 ,A+2E可逆.方法二：由已知有A?A 2E=0,A2-A =2E,A（A E）=2E,A=E可逆，且 A T=(A-E)又由已知有 A?-A -2E=0,（A+2）（/4-3 ）=（A2-A-2 E）-4 E =-4 ,（A+2E）-（3 E-A）E,:.A +2 E 可逆，且（A+2E）T=；（3E 4）.27.设 A、B 均为阶方阵，且 3=B2,A=5+E,证明A 可逆，并求其逆.证明：A+B =E B =A-E,由 3=台2 知，（A E）2 =A E,A?-2A +=A-E n A 2-3 A =-2

63、E n A（A-3 E）2En43 i可逆，且 A =E A.2 228.若对任意的”x l 矩阵X,均有A X=。，证明A 必是零矩阵.rn r0证明：./=0,7 乂僧*|成立，特别地，取 X1=,乂2=1 ,，X“=,则:AX|=%,A X2=4 2 ，A X“=%，且 AX|=4X2=-=AX“=0,an 7 an2j an n 7A 的任一列均为零向量，即A=O.29.设 A、8 为阶方阵，证明4=0的充要条件是47A=0.证明：必要性：显然；充分性：记 4=（。“）*，则 不 二（。.）“加，记（7=41,则%=Z，Wi=1,2,/C=0 ,.O.cu=0,即Q7=0,V，=1,2

64、,，孔,力=1,2,，/.A=O .30 .证 明 4 3 的充要条件是存在可逆阵P、Q,使 P4Q=B.证明：A 8 0 三初等方阵匕鸟，,匕，Q,Q2,-,Qs PP2-PrA QiQ2-Qx=B=三 可 逆 阵 P=R,可逆阵。=。卫22,使 PAQ=8.31.设4、3 均为阶方阵,满足4 4,=E,B 8 =瓦 同+怛|=0,证明：0+却=0.证明：A AT=E,B Br=E ,则|川=1,忸|=1已知同+忸|=(),则|A|=1或1rI,即 同 国 一|A +S|=|A 5-5 +A 4|5|=|A（Bl+A-|）B|=|/l|-|5-1+A-|.|5|=-|5r+Ar|=-|A +

65、B|.|4 +邳=（）.3 2.设 4、3为阶方阵，且 A,8,A+6均可逆，证明：A T+B-I可逆，并求其逆.证明：+B =A E+EB=A BB +A-AB-X=A-（B +A）B-l,为可逆阵的乘积,故 一+方 可 逆，且(“1+夕 丁 式 伊+夕)1=8(4 +8尸 A.第三章向量组的线性相关性1.填空题解：方法一：%,%，出 线性相关，线性相关，则左=2则存在不全为0的数配七，使kxax+k2a2+k3a3=(%代、a?%)k?000、o 7k、+k,k?=0匕 _4k3 =02&-8%=0&+2k 2 +kk,3=0k=4/前 三 个 方 程 解 出=一3网,k3Ho&2,攵3不

66、全为0)/3 =4 3把&人 代入第四个方程得(攵 一 2)勺=。，,.&w 0Z=2方.法,A=(%由 /?(,%,%，%线性相关，贝1R(a方法三:/?(4)=犬(/a?4)3,则A的任意三阶子式为0,取力的一个三阶子式1211020 n =2(2)设向量组%=a、0bc)c0,a线性无关，则a,b,c必满足关系式abcO.a b 0、解：A=(C a2%)=O c a,则%,应，。3线性无关0间。()c 0 b)a h 00 c a =2a b c w 0,即 a b c w 0.c 0 b“1 +4、(3)设向量组/=1 1、%=1 +丸，%=1 的秩为2,则4 =、1 )1 1+乙解：/?(,a2 a3)=2|)a2 a3|=0 =2 =0,2 =-3当4 =0时，/?（1 a2%）=1工2,矛盾，故；1#0；当;1 =一3时，/?(,a2,)=2，故人=一3.（4）向 量 组 线 性 无 关，则向量组用=%+。2，夕 2 =。1+2 a 2 +。3,A =。2 +4。3是线性 无关.解：z?2=1&3/、1 4AJM、A a23)2|川=3。0 =4 =6鸟4为初等方阵的乘