第5讲方程与不等式的应用

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1、第5讲 方程与不等式的应用一、方程一、方程（组）的应用组）的应用列方程（组）解应用题的一般步骤：列方程（组）解应用题的一般步骤：1审题审题：即弄清题意和题目中的已知量、未即弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够表示应用全部含义的知量，并能找出能够表示应用全部含义的等量关系等量关系2设未知数设未知数：即选择一个或几个合适的未知即选择一个或几个合适的未知量，用字母表示，根据题目的数量关系，量，用字母表示，根据题目的数量关系，用含未知量的代数式表示有关的未知量用含未知量的代数式表示有关的未知量3列出方程（组）：即根据等量关系列出方列出方程（组）：即根据等量关系列出方程（组）程（组）知识梳理知

2、识梳理4 解方程（组）解方程（组）5 先检验所列方程（组）是否正确，先检验所列方程（组）是否正确，然后检验所得方程的解是否符合题意然后检验所得方程的解是否符合题意6 写答（记得写上单位名称）写答（记得写上单位名称）二、列方程（组）解应用题常见类型题及其二、列方程（组）解应用题常见类型题及其 等量等量关系关系1工程问题工程问题（1）基本工作量的关系基本工作量的关系：工作总量工作总量=（2）常见的等量关系：常见的等量关系：甲的工作量甲的工作量+乙的工作量乙的工作量=甲、乙合作的工作总量甲、乙合作的工作总量 特别提醒特别提醒：工程问题常把工程总量看作工程问题常把工程总量看作“1 1”，水池注水问题属

3、于工程问题水池注水问题属于工程问题 工作效率工作效率工作时间工作时间 2 行程问题行程问题（1）基本量之间的关系基本量之间的关系：路程路程=（2）常见的等量关系常见的等量关系相遇问题相遇问题：甲走的路程甲走的路程+乙走的路程乙走的路程=全路程全路程追及问题：（设甲的速度追及问题：（设甲的速度 乙的速度）：乙的速度）：同时不同地：甲的时间同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的乙的时间；甲走的路程路程乙走的路程乙走的路程=原来甲、乙相距的路程原来甲、乙相距的路程同地不同时：甲的时间同地不同时：甲的时间=乙的时间乙的时间时间差；时间差；甲走的路程甲走的路程=乙走的路程乙走的路程 速度速度时间时间 3

4、水中航行水中航行问题问题：顺顺流的速度流的速度=；逆流的速度逆流的速度=4增增长长率率问题问题：设设第一年第一年为为a，增增长长率率为为x，则则第二年第二年为为a（1+x），），第三年第三年为为a（1+x）2，第第n年年为为 5数字数字问题问题：两位数表示两位数表示为为10 b+c，三位数表三位数表示示为为 （其中其中a，b，c分分别别表示百表示百位数字、十位数字和个位数字位数字、十位数字和个位数字）静水的速度静水的速度+水流的速度水流的速度 静水的速度水流的速度静水的速度水流的速度 a（1+x）n1 100a+10b+c 6 储蓄问题储蓄问题：（1）利息利息=本金本金利率利率期数期数；（2）

5、本利和本利和=本金本金利息；利息；（3）利息税利息税=利息利息税率税率（20%）（教育储教育储蓄一般不计利息税蓄一般不计利息税）7销售问题销售问题：（1）商品利润商品利润=商品售价商品售价商品进价；商品进价；（2）商品利润率商品利润率=商品利润商品利润+商品进价商品进价8 面积、体积问题面积、体积问题考点考点1：列方程（组）解应用题：列方程（组）解应用题例例1为了创建全国卫生城市，某社区要清理一为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运两车各运12 趟可完趟可完 成，需支付运费成，需支付运费4 800元元已知甲、

6、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车倍，且乙车每趟运费比甲车少少200元元（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？若单独租用一台车，租用哪台车合算？课堂精讲课堂精讲 解：（解：（1）设设甲甲车单车单独运完此堆垃圾需运独运完此堆垃圾需运x趟，趟，则则乙乙车单车单独运完要独运完要2x趟趟 解得解得 a=18 经检验经检验 a=18是原方程的解是原方程的解 则则乙乙车单车单独运完要独运完要2x=36（2）设设甲甲车车每趟的运每

7、趟的运费为费为a元元，乙，乙车车每趟的运每趟的运费为费为b元元由由题题意，得意，得 解得解得 单单独租用甲独租用甲车总费车总费用是用是18 300=5400（元）元）单单独租用乙独租用乙车总费车总费用是用是36 100=3600（元）元）3600 5400故故单单独租用一台独租用一台车车，租用乙，租用乙车车合算合算答：（答：（1）甲甲车单车单独运完需独运完需18趟，乙趟，乙车车需需36趟；趟；（2）单单独租用一台独租用一台车车，租用乙，租用乙车车合算合算【举举一反三一反三】1某商某商场购进场购进物品后，加价物品后，加价50%作作为销为销售价，售价，商商场场搞搞优优惠促惠促销销，决定由，决定由顾

8、顾客抽客抽奖奖确定折确定折扣，某扣，某顾顾客客购买购买甲、乙两种商品，分甲、乙两种商品，分别别抽抽到八折和九折，共付款到八折和九折，共付款450元元两种商品原两种商品原销销售价之和售价之和为为525元，两种商品的元，两种商品的进进价分价分别别为为多少元？多少元？解：解：设设甲、乙两种商品甲、乙两种商品进进价分价分别为别为x元，元，y元元根据根据题题意，得意，得 化化简简，得，得 解得解得答：甲、乙两种商品答：甲、乙两种商品进进价分价分别为别为150元，元，200元元考点考点2：分式方程的：分式方程的应应用用例例2（2015襄阳）甲、乙两座城市的中心火襄阳）甲、乙两座城市的中心火车车站站A，B两

9、站相距两站相距360km 列列动车动车与一列与一列特快列特快列车车分分别别从从A，B两站同两站同时时出出发发相向而行，相向而行，动车动车的平均速度比特快列的平均速度比特快列车车快快54km/h，当，当动车动车到达到达B站站时时，特快列，特快列车车恰好到达距离恰好到达距离A站站135km处处的的C站站求求动车动车和特快列和特快列车车的平均速的平均速度各是多少度各是多少解解：设设特快列特快列车车的平均速度的平均速度为为x km/h，则动则动车车的速度的速度为为（x+54）km/h由由题题意，得意，得 解得解得 x=90 经检验经检验，得，得x=90是是这这个分式方程的解个分式方程的解 x+54=1

10、44答答：特快列特快列车车的平均速度的平均速度为为90km/h，动车动车的速度的速度为为144km/h【举举一反三一反三】2某校某校为为美化校园，美化校园，计计划划对对面面积为积为1 800m2的区的区域域进进行行绿绿化，安排甲、乙两个工程化，安排甲、乙两个工程队队完成完成已已知甲知甲队队每天能完成每天能完成绿绿化的面化的面积积是乙是乙队队每天能完每天能完成成绿绿化的面化的面积积的的2倍，并且在独立完成面倍，并且在独立完成面积为积为400m2区域的区域的绿绿化化时时，甲，甲队队比乙比乙队队少用少用4天天问问甲、乙两工程甲、乙两工程队队每天能完成每天能完成绿绿化的面化的面积积分分别别是多少是多少

11、m2?2解：解：设设乙工程乙工程队队每天能完成每天能完成绿绿化的面化的面积积是是xm2，根据根据题题意，得意，得 解得解得 x=50 经检验经检验x=50是原方程的根是原方程的根则则甲工程甲工程队队每天能完成每天能完成绿绿化的面化的面积积是是 502=100（m2）答：甲、乙两工程答：甲、乙两工程队队每天能完成每天能完成绿绿化的面化的面积积 分分别别是是 100m2，50m2考点考点3：用一元二次方程解：用一元二次方程解实际问题实际问题例例3（2015云南）某果园云南）某果园2011年水果年水果产产量量为为100吨，吨，2013年水果年水果产产量量为为144吨，吨，求求该该果园水果果园水果产产

12、量的年平均增量的年平均增长长率率解解：设该设该果园水果果园水果产产量的年平均增量的年平均增长长率率为为x根据根据题题意，得意，得 100（1+x）2=144解得解得 x1=0.2，x2=2.4（不符合不符合实际实际，舍去），舍去）答答：该该果园水果果园水果产产品的年平均增品的年平均增长长率率为为20%【举举一反三一反三】3（2013 广广东东）雅安地震）雅安地震牵动牵动着全国人民着全国人民的心，某的心，某单单位开展了位开展了“一方有一方有难难，八方支援，八方支援”赈赈灾捐款活灾捐款活动动第一天收到捐款第一天收到捐款10 000元，元，第三天收到捐款第三天收到捐款12 100元元（1）如果第二天、第三天收到捐款的增如果第二天、第三天收到捐款的增长长率相同，求捐款增率相同，求捐款增长长率；率；（2）按照（按照（1）中收到捐款的增中收到捐款的增长长速度，速度，第四天第四天该单该单位能收到多少捐款？位能收到多少捐款？解：（解：（1）设设捐款增捐款增长长率率为为x，根据根据题题意，意，得得 10 000（1+x）2=12 100 解得解得 x1=10%，x2=2.1（舍去舍去）（2）12 100（1+0.1）=13 310（元）（元）答：答：略略