DFT栅栏效应分析

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1、西山大学课程设计说明书题目：DFT栅栏效应分析目录一、摘要4二、设计目的及分析5三、理论原理知识63.1 DFT 频谱分析原理63.2 栅栏效应83.3 分辨率10四、MATLAB 编程124.1 MATLAB 软件简介124.2 标点符号与语句134.3 仿真程序134.4 仿真结果与分析14五、心得体会17六、参考文献18一、摘要DFT是在时域和频域上都已离散的傅里叶变换，适用于数值计 算且有快速算法，是利用计算机实现信号频谱分析的常用工具。本 文介绍了利用DFT分析信号频谱的基本流程，重点阐述了频谱分析 过程中误差形成的原因及减小分析误差的主要措施。实例例举了 MATLAB环境下频谱分析

2、的实现程序。通过与理论分析的对比，解释 了利用DFT分析信号频谱时存在的频谱混叠，频谱泄露及栅栏效应， 并提出相应的改进方法。在满足时频采样的的条件下，可以通过对 连续信号进行采样并进行DFT，来近似的反映连续信号的频谱特性。 由于DFT变换时需要进行时频采样和频域采样，因此这种近似必然 带来频谱分析的一定误差。本文主要对栅栏效应进行分析和减小。二、设计目的及分析技术参数：信号中包含三种频率成分，分别是20HZ, 20.5HZ, 40HZ，采样频率为100HZ。为了把三种频率分辨出来，对其进行栅 栏效应分析。首先，求出最小记录点数，易知是fs/ (20.5-20) =200,因此 当频域采样点

3、数N=200时，不出现栅栏效应，而当N200时，会 有栅栏效应误差出现。为了更好的分析DFT栅栏效应，DFT分三种 情况：在128 点有效数据不补零情况下的分辨率,在128 点有效数 据且补零至5 1 2 点情况下分辨率,在 512 点有效数据下分辨率。然 后比较三次仿真结果的异同,进而对其进行比较分析。三、理论原理知识3.1 DFT 频谱分析原理所谓的信号的谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。工程实际 中，经常遇到的是连续信号Xa (t),截取一段进行FT变换后其谱 度函数Xa (jQ )也是连续函数，因此起计算过程不便用于计算机 实现。而DFT作为一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，

4、 成为分析离散信号和系统的有力工具。对于连续信号和系统,可以 通过Xa (t)时域采样，得到离散时间序歹lX (n)，再对x (n)进 行DFT，因此是一种近似的谱分析。一个连续信号Xa (t)的频谱可以用它的傅里叶变换表示成:X (j0)=a+8J x (t)e-jQtdt a8如果对该信号进行理想采样,可以得到采样序列：x(n) = x (nt )a同样，可对该序列进行Z变换，其中T为采样周期:X (z)=兰 x(n)z-n8当Z = ejw时，我们就得到了序列的傅里叶变换:X (e jw)=艺 x(n)e jwng其中w为数字频率，它和模拟频率的关系为：w 二 QT 二 Q / fs式中

5、f为采样频率。上式说明数字频率是模拟频率对f的归一化。ss 同模拟域的情况相似，数字频率代表序列值变化的速率，而序列的 傅里叶变换称为序列的频谱。序列的傅里叶变换和对应的采样信号 频谱有下列对应关系：1co 2兀nX(ejo)=-艺X (j 寸)T a Tg即序列的频谱是采样信号频谱的周期性严拓。从式中可以看出，只 要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。注意： 这里的信号必须是带限信号，采样也必须满足Nyquis t定理。在各种信号序列中，有限长序列在信号处理中占有重要地位。 无限长序列也往往可以用有限长序列逼近，对于有限长的序列我们 可以用离散的傅里叶变换DFT，这一变换可以

6、很好的反应序列的频 域特性。并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是 时，我们定义序列离散傅里叶变换为：X(k) = DFTx(n)=艺x(n)Wkn其中：W = ejT，NNn=0它的反变换定义为：x(n) = IDFT X (k)=艺 X (k )W - knNNk =0令z = W - k则有：NX (z) I=艺 x(n)W nk = DFTx(n)z=WN-K n=0N可以得到：X(k) = X(z) I z = W-k = ej2N， W-k是Z平面单位圆上幅角为 NNo =迥的点N就是将单位圆进行N等份的第K个点，所以，X(K)是Z变换在单 位圆上的等距采样。时域采样在满

7、足Nyquis t定理时，就不会发生 频谱混淆：同样，在频域进行采样的时候，只要采样间隔足够小， 就不会发生混叠。DFT是对序列傅里叶变换的等距采样，因此可以 用于序列的频谱分析。在运用DFT进行频谱分析的时候可能存在栅 栏效应误差。3.2 栅栏效应(1) 栅栏效应的定义由于x (t)为非周期的连续信号，它的频谱是连续的，但将t (t) aa采样，截断然后进行DFT分析时，得到的仅仅是连续信号频谱上的 有限个点，而有一部分频谱分量将被挡住，好像是通过栅栏观察频 谱，这种现象称为栅栏效应。DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，是一些离散的点，所以 它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用

8、DFT来观 察频谱就好像通过一个栅栏观看一个图景一样，只能在离散点上看 到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被栅栏所 拦住，不可能被我们观察到。不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只是当 时域采样满足采样定理时，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样 的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要 的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。减小栅栏效应可用提 高采样间隔也就是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力 高，被“挡住”或丢失的频率成分就会越少。但会增加采样点数， 使计算工作量增加。（2）栅栏效应的成因以及危害栅栏效应是制约频谱分析谐波分析精度的一个

9、瓶颈。栅栏效应 在非同步采样的时候，影响尤为严重。在非同步采样时，由于各次 谐波分量并未能正好落在频率分辨点上，而是落在两个频率分辨点 之间。这样通过FFT不能直接得到各次谐波分量的准确值，而只能 以临近的频率分辨点的值来近似代替，这就是栅栏效应降低频谱分 析精度的原因。（3）降低栅栏效应的方法根据前面分辨率的讨论，减小栅栏效应可用提高采样间隔也就 是频率分辨力的方法来解决。间隔小，频率分辨力高，被“挡住” 或丢失的频率成分就会越少。针对于有限长序列，为了克服栅栏效应，即检测出被遮挡的频 率分量，可以通过对序列尾部补零的方式进行。这相当于栅栏效应 的缝隙间隔缩短了，因此栅栏效应有所改善。对无限

10、长序列，可以增加取样点数，即增加数据的有效长度来 提高分辨率来降低栅栏效应的影响。3.3 分辨率AF=AQ_ f _ 1 _ 1 盂NNTT称AF为频率分辨率，即：采样率/采样点数；A F越小，说明分辨 率越高。AF仅与信号的实际长度成反比，即信号持续时间越长， 频率分辨率越高。（1）物理分辨率=采样频率/采样点数物理分辨率的实际意义在于它可以衡量DFT可以区分的频率分量的间隔。提高物理分辨率的方法一般是通过增加数据的有效长 度。这相当于在模拟域增加了矩形窗的宽度。从而在模拟域减小了 sinc 主旁瓣宽度，减小了相邻频率分量的混叠。这种增加采样点的方法主要针对无限长序列的FFT计算。对于 无限

11、长序列，不像有限长序列那样必须补零来提高视在分辨率，无 限长序列可以通过增加数据长度来提高物理分辨率。 （2）改善分辨率的途径增加采样点数，增加了输入序列的阶次，从而提供频谱的更多 细节，这是真正的分辨率（物理分辨率）。对序列只补零而不增加 数据，输入序列和它的频谱阶次依旧没有提高，只是把频谱画的密 一些，所以改善的只是图形的视在分辨率，并不能得到频谱的更多 细节。增加序列的长度能够改善频谱的分辨率，这是基本的规律。上面的讨论可知，改善分辨率的具体方法有如下两种（1）对有限长序列采取尾部补零的方法提高视在分辨率（2）对无限长序列通过真正增加采样点来提高物理分辨率四、MATLAB编程4.1 MA

12、TLAB 软件简介MATLAB是美国Mathworks公司推出的数学工具软件，它是一 种直观、高效的计算机语言，同时又是一个科学计算平台。它为数 据分析和数据可视化、算法提供了最核心的数学和高级图形工具。 多达几百个数学函数和工程函数，极大地降低了对使用者的数学基 础和计算机语言知识的要求，编程效率和计算效率极高。目前， MATLAB 已经成为国际上最流行的科学与工程计算软件工具。MATLAB 集科学计算、图像处理、声音处理于一身，是一个高度的集成系统，有良好的用户界面，并有良好的帮助功能o MATLAB 不仅流行于控制界，在机械工程、生物工程、语音处理、图像处理、 信号分析、计算机技术等各行

13、各业中都有极广泛的应用。4.2 与仿真有关的命令介绍命令含义fft(x)计算M点的DFT, M是序列x的长度fft( x,n)计算N点的DFT,若MN,则将原序列截短为N序列，再计算其N点的DFT；若MN,则将原序列补 零至N点，然后计算其N点DFT。Abs对其后边的量取绝对值Figure给图命名Subplot分区绘制图形Plo t以默认格式绘制图形Label为坐标轴命名Zeros产生元素全为零的数组Max取最大值4.3 仿真程序 N1=128;N2=512;n1=1:N1;n2=1:N2;f1=20;f2=20.5;f3=40;fs=100;xn1=sin(2*pi*f1*n1/fs)+si

14、n(2*pi*f2*n1/fs)+sin(2*pi*f3*n1/fs); 在 128 点有效数据不补零情况下的分辨率： y1=fft(xn1,N1);k1=n1*fs/128;Y1=abs (y1)/max (abs(y1);figure(1);subplot (2,1,1);plot(n1,xn1/max (xn1);xlabel(时间)； ylabel (幅度谱)； subplot(2,1,2)； plot(k1,Y1)； axis(15 50 0 1)； xlabel(频率 HZ); ylabel (幅度谱)；在 128 点有效数据且补零至 512 点情况下分辨率 : y2=fft(xn

15、1,N2)； k2=n2*fs/N2；Y2=abs(y2)/max(abs(y2)；figure(2)；subplot(2,1,1)；xn2=xn1 zeros(1,N2-N1)； plot(n2,xn2/max(xn2)； xlabel(时间)； ylabel (幅度谱)； subplot(2,1,2)； plot(k2,Y2)； axis(15 50 0 1)； xlabel(频率(HZ)； ylabel (幅度谱)；在 512 点有效数据下分辨率xn3=sin(2*pi*f1*n2/fs)+sin(2*pi*f2*n2/fs)+sin(2*pi*f3*n2/fs)； y3=fft(xn3

16、,N2)；k3=n2*fs/N2；Y3=abs(y3)/max(abs(y3)；figure(3)； subplot(2,1,1)； plot(n2,xn3/max(xn3)；xlabel(时间)； ylabel (幅度谱)； subplot(2,1,2)； plot(k3,Y3), axis(15 50 0 1)； xlabel(频率(HZ)； ylabel (幅度谱)；4.4 仿真结果与分析由图1可看出，在128点有效数据不补零进行FFT情况下，只有40HZ和20.5HZ 有幅度值，20HZ的幅度值没有出现，出现了栅栏效应。图 2 补零后的序列及其 512 点 DFT 结果图由图2,在12

17、8点有效数据且补零至512点进行FFT情况下，相对图1得到了 高密度的频谱采样，但是并不能得到频谱的更多细节的信息， 20Hz 的幅度值 仍没有显示，仍然有栅栏效应。图3序列及其512点DFT结果图由图3，在512点有效数据进行FFT情况下，20HZ，20.5HZ和40HZ的幅度 值都能显示出来，即栅栏效应消除。通过分析仿真结果可知，采用对序列补零的方法，可得到对 X(ej ) 采样更密 的采样值，即得到该密度的频谱采样，但是并不能得到频谱的更多细节的信息 这里的分辨率是视在分辨率，通过补零得到的频谱图是高密度谱。序列补零能 够提高视在分辨率，细化频谱，得到高密度谱，一定程度上克服栅栏效应。增

18、 加采样点数可以提高物理分辨率，消除栅栏效应。五、心得体会经过一周的数字信号处理课程设计，感触很深。以前学习的理论知 识得到了实践应用，从刚开始拿到题目时的无从下手，经过查阅资 料，上网查询，学习使用MATLAB编程，逐渐将课程设计与之前学 过的相关内容联系起来，是一次很有意义的实践。然而，课程设计并不是一帆风顺的，在真正进入程序的编程阶段， 才发现有很多错误，经过不断改进，最终在MATLAB上仿真，得出 图像。让我明白细节决定成败，任何一处小的错误都可能导致结果 的错误与失败。在设计过程中，通过查阅有关 MATLAB 和数字信号的资料。与同学 讨论和祥和学习，并向老师请教等方式，是自己学到了很多知识， 虽然经历了一些困难，但是收获同样巨大。在整个设计中我明白了 很多东西，也培养了我独立工作的能力，树立了对自己的信心，相 信对今后的工作学习很由很大的帮助。、亠山1 JL;卜六、参考文献1. 数字信号处理及应用谢平 王娜 林洪彬编著机械工业出版社2. MATLAB信号处理刘波文忠曾涯编著 电子工业出版社3. MATLAB在数字信号处理中应用薛年喜编著清华大学出版社4. 应用MATLAB实现信号分析和处理张明照编著科学出版社