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1、细心整理根本不等式的变式及应用不等式是课本中的一个定理，它是重要的根本不等式之一，对于它及它各种变式的驾驭与娴熟运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用1、十种变式； ； ； 假设，那么； 那么假设 假设，那么上述不等式中等号成立的充要条件均为：假设，那么当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立2、应用例1、假设，且，求证：证法一：由变式得即同理：，因此由于三个不等式中的等号不能同时成立，故评论：本解法应用“”视察其左右两端可以发觉，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，明显，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。证法二：由变式得同理： 故结论成
2、立 评论：本解法应用“”，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，明显，对问题的求解起到了特别重要的作用。证法三：由变式得故 即得结论评论：由根本不等式易产生，两边同时加上即得，于是便有了变式，本变式的功能可以将平方进展“分拆”与“合并”。本解法是将平方进展分拆，即由整体平方转化为个整平方，从而有效的去掉了根号。例2、设，求证：证明：由变式得，三式相加即得：评论：本解法来至于“假设，那么”，这个变式将根本不等式转化成更为灵敏的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立刻可以运用，便利快捷。例3、实数满足，求的最大值与最小值解析：结合变式得因此即当且仅当、再结合
3、条件得刚好，分别获得最小值与最大值；评论：由再结合即得变式，这可是一个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一个特别分式的关系，它的灵敏应用不仅可以为我们解决根本不等式的最值问题，也为我们处理圆锥曲线问题中的最值问题开拓了新的途径。例4、确定，且，求的最小值解析：由变式上述两不等式当且仅当、再结合得或时，取得最小值；评论：由结合两边同除以即得变式，此题两次运用根本不等式，第一次应用变式，其次次应用根本不等式。值得留意的是两次等号成立的条件必需相同，否那么，最值是取不到的。例5、当时，不等式恒成立，求的最大值；解：由变式、得上述三个不等式中等号均在同一时刻时成立由故的最大值为；评论：由再结合即得变式；又由得结合，两边同除即得变式。此题的求解，虽然“廖廖几步”，但来之实在不易。首先这两个变式不必需大家都熟悉，其次，三次运用变式进展转化，必需保证等号在同一时刻取得，可谓步履维艰。可以看出：不等式的各种变式及其灵敏运用赐予我们带来了不仅仅是一个又一个的难题被“攻克”了，而是一次又一次的体验数学的真谛，一次又一次地充共享受数学解题的乐趣。
基本不等式的变形及应用
