微分几何试卷

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1、微分几何考试模拟卷(A卷)1等距变换一定是保角变换2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.3、二阶微分方程A(u，们血2 + 2B(u，们血小+ B(“,们小2 =。总表示曲面上两族曲线4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F = 0，这里F是第一基本量1. X 2. V 3. X 4.X 5. V二、填空题(每小题3分，共15分)1、半径为R的圆的曲率为.2、 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是,3、 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是.4、 在脐点处曲面的第一，第二类基本量满足,5、 使法曲率达到最大值和最小值的方向是 方向.1 E _ F G

2、1、R , 2、F=0 , 3、F = M =0 , 4、L M N , 5、主方向三、计算题(第1小题各18分，第2、3、4小题各10分，共48分)1.已知空间正则参数曲线r(t)=cos3 f,sin21,cs力 (1)求基本向量a,P,Y .,、(0 t 若pe=0、则P1气于是pe=0,一 一 I 一 八 一 一 C-ka +TY e = 0, -kae +Ty e = 0，由于a.e = 0,所以有Te = 0。由e ia, e 1 p可知ell Y，从而e 0，所以T = 0，即曲线为平面直线3、设在两条曲线r、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线 平行，证明它们在对应

3、点的主法线以及副法线也互相平行。证 设曲线r： r = r(s)与r： r = r(s)点s与s 一一对应，且对应点的切线平行，则-dsh _亍 ds一 =(_)a =a 一kP(s) = kP (s) 一a=-Vs),两端对s求微商得 ds ,即ds，(这里k 0,若 k= |=0，则P无定义)，所以P P，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。一、判断题(正确打4,错误打X)(每小题2分，共10分)1、保角变换一定是等距变换2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.3、坐标曲线网是正交网的充要条件是F = 0，这里f是第一基本量4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.5、测地曲率是内蕴

4、量1、X，2、X，3、4，4、4， 5、V填空题(每空3分共30分)0 v x-1、已知 r (cos3 x,sin3 x,cos 2x，2，则a ，P ，=，K=0 v 0，第二基本形式为2、为_率H =个主曲率分别为2，则它的第一基本形式 ，高斯曲率K，平均曲 ，点(1,0,0)处沿方向du :dv 2的法曲率 ，点(1,0,0)处的两, 答案：, (sinx,cos x,0-3cos x,3sin x, -4 o 55(4cos x, -4sin x, -3625sin 2x-36(u 2 + 36)2，du 2 + (u 2 + 36) dv 2，-12.du dvxu 2 + 366

5、 637,37三、计算题(每小题12分共36分)1、求曲面z = x3-3的渐近曲线. r = (u,v,u3 -v3n .=(1,0,3 u2 r = (0,1,-3v2I r x r l履u4 + 9v4 +1(0,0,6 u r 0 r - (0,0, -6v6ururuuL n - r ,uu J9u 4 + 9v 4 +1 M n - ruv = 0Ldu 2 + 2 Mdu dv + Ndv 2 0udu 2 vdv 2 :udu vdv 0-3u 2,3 v 2,1-6vvv 9u 4 + 9v 4 +1.uI = v3 + q (-u)3 =启 + C2求坐标曲线的测地曲率.已

6、知曲面的第一基本形式为1 = v(du2 + dv2),解 E G v，F 0，Gu= 0_ E _u-线的测地曲率gu2 G2耻vv-线的测地曲率邓2G 0) 、r = Cz Gt-t3 ),3at2,a Gt +13)亍=Wa S- 12 ),6 at ,3 a(1 +12)r = -6at ,6 a,6 atr xr = 8a2 (t2-1),-36a2,18a2 (t2 +1)r = 32a G +12 ) r，x r = 1841a2 G +12) r = -6a,0,6 aG,己尸)=216 a 3 ,k =/=3X；所以四、证明题(每小题12分，1、设空间两条曲线r和。的曲率处处

7、不为零，若曲线r和。可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线r和。在对应点的切线夹固定角.r : r = r(s) r : r* = r*(s) B/ B* B* = Bod (aa)=Kp-a* +K* 虹 a B* = 0a.&* = 0 a* 3 = 0 dsds：；a,a*)： = c共24分)ds-aa* = constant cos给出曲面上一条曲率线r，设r上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成 定角.求证r是一条平面曲线.证 设 r =项v)，r:u = u(s)，v =v(s)，其中s是r的自然参数，记J/ - r d 一 0八由，则r保=cos。，两边求

8、导，得T+,打？_，亚/虹=a由r为曲率线知dn/dr，即ds ds，命n = r .至=-k r .里=0 d sn d s若 = 0，则r为平面曲线;若元q = 0，则因r为曲面上的一条曲率线，故dn=Kndr.而K广n-Kp = Kn.眼0，所以dn = 0,即为常向量.于是r为平面曲线.、判断题（正确的在题后括号内打“寸，错的打“X，。每小题2分，共10分）1、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.（）2、曲面上曲率线网一定存在.（）3、存在第一类基本量E=1，F=-3,G=3的曲面（）4、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。（）5、曲面上的直线一定是测地线。（）1、

9、X， 2寸，3x， 4x， 5二、填空题（每小题3分，共15分）1、向量函数r=r（t）具有固定长的充要条件是。2、曲线r=r（t）的挠率是。3、曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件。4、直纹曲面的高斯曲率值满足。5、球面上的测地线是。（r, E rZ）气 _（77x k）21、7 -7，= 0，2、，3、L=N=0，4、K J 0， 5、大圆。三、计算题（每小题10分共50分）1、求曲线7= tsint ,t cost ,t e在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、 主法线、副法线。解 原点对应 t=0 , 7 （0）= sint +tcos t, cos t - tsin t, e +t

10、e t=0=0,1,1，尸（0） = 2cost + t cost, cost - tsint ,2 et +t ett=0=2,0,2，x _ y _ z所以切线方程是O11，法面方程是y + z = 0 ；x y z0 1 1 2 0 2 一密切平面方程是=0，即x+y-z=0，vx + y - z = 0x = _y = z主法线的方程是I y + z = 0即2 二一1 ;x _ y _ z从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式11 -12、求曲面2 = axy上坐标曲线x = x,y = y0的交角.解曲面的向量表示为r=x,y,axy,坐标曲线x = x的向量表示为 r =

11、( x 0 ,y,ax y ,其切向量ry = (0, 1, ax ；坐标曲线y = y的向量表示为r = (x , y 0 ,ax y 0,其切向量rx = (1, 0, a y 0,设两曲线x = x 与y = y的夹角为中， r r _a2夫*则有 cos中=| r 乎 W 2 3、求曲面z = xy2的渐近线.解：曲面的向量表示为r =x，y，xy2,r +1,0, y2, r = 0,1,2xy, F = 0,0,0xyxx,r 002 r 002x e r2 +1 + 4am f r r 2rv2 g r2 i + 4x2x2 r u,u,匕y , r u,u,匕x, ，匕 +J

12、+ r y 什, r r 匕xy-, r 匕 上 + rx yxyyyxx yy1 + 4 x 2 y 2 + y 4；1 + 4 x 2 y 2 + y 4渐近线的微分方程为Ldx 2 + 2Mdxdy+ Ndy2,即4 ydxdy+ 2 xdy2 0, 一族为dy=0,即y = ：1, C1为常数、,另一族为2ydx=-xdy,即 In x2 y = c , 或x2 y = c, c为常数.4、确定抛物面z=a(x2 + y2)在(0, 0)点的主曲率.解 曲面方程即，r =x,y,a(x2 + y2),r = 1,0,2ax r = 0,1,2ay, r = 0,0,2a,七=0,0,0

13、, r = 0,0,2a在(0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以k N-4aKN+4a 2=0，两主曲率分别为 K1 = 2 a , K 2 = 2 ar a b 叫5、求曲面上的曲率线的方程.r =(u -v)(u + v), 5 AAA厂 a 2 + b 2 + v 2- a 2 + b 2 + uv 八 a 2 + b 2 + u 2 ,八E =, F =, G =, L = 0,解444ab2M=、EG - F 2 ,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:(a 2 + b 2 + u 2) dv 2 = (a 2 + b 2 +

14、v 2) du 2 ,积分得.Jfln(u + ： a 2 + b 2 + u 2) = ln(v +、a 2 + b 2 + v 2) + c四、证明题（第1小题5分，2、3小题各10分，共25分）1、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.K +K证： 由 H= 2 =0 有K1=K2=0 或K1 =-K2 0 .若K1=K2 =0,则沿任意方向 9 , Kn （9） = K1 cos2 9 + K2 sin2 9 = ,k = II = Ldu 2 + 2 Mdudv + Ndv 2 = 0即对于任意的du:dv , n 1 Edu2 + 2Fdudv + Gdv2，所以有L=M=N=0,对

15、应的点为平点若K1=-K2力0,则K=K1K20 ,即LN-M2 01u(a ,b, b )=3=0，所以所给曲面为可展曲面。、判断题（正确的在题后括号内打”，错的打“X”。每小题2分，共10分）1、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。（）2、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 （）3、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。（）4、LN-M2不是内蕴量。（）5、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。（）1、V, 2、X, 3d 4、X, 5、V二、填空题（每小题3分，共15分）1、 曲线r=r（s）的曲率定义是。2、 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。3、 曲面

16、上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是。4、 坐标网是渐近线网的充要条件是。5、 平面上的测地线一定是。 1、1 1，2、与一固定方向成定角，3、M=0，4、L=N=0，5、直线三、计算题（每小题12分，共48分）1、求双曲面z=axy上的曲率线.E = 1 + a 2 y 2, F = a 2 x 2 y 2, G = 1 + a 2 x 2, L = 0, M = , a 一,解：T + a 2 x 2 + a 2 y2 N=0 .dy 21 + a 2 x 20由-dxdya 2 x 2 y 2a：1 + a 2x 2 + a 2 y 2dx 21 + a 2 x 20=0得(1 + a 2

17、 y 2) dx 2=(1 + a 2 x 2) dy 2du 2 +dv2v _K = EG 1*)u + (积分得两族曲率线为ln(ax + n + a 2 x 2) = ln(ay +11 + a 2 y2) +。ds 2 =2、求第一基本形式为（u2+ v2+c）2的曲面高斯曲率。E = G =, F = 0，所以证： 因为(2 + V 2+6=4c2 + V 2 + C ) F2 +。- U 2) + -2(U 2 +。-V2) (u 2 + v 2 + c)2(u 2 + v 2 + c)23、将圆柱螺线F = (a cos t，a sin t，b t化为自然参数表示。_ s解 r

18、 = -asin t, acost ,b, s =, =、2 + b2，所以函2 + b2 ,bsxa2 +b2 ss代入原方程得r=acos血2+ b2 ,asin眼2+ b24、求曲线x=1+3t+212,y=2-2t+512,z=1-12的挠率，并求出它所在的平面方程。r =3+4t,一 2 +10t,-2t, F =4, 10, 一 2, r =0, 0, 0t =侦，尸，严)=0曲线的挠率是w，所以曲线为平面曲线。曲线所在平 面是曲线在任一点的密切平面。对于t =0,有= 0, 0, 0。z -10 = 0-2r = 1,2,1, r =3,-2,0, r =4, 10, -2, r

19、x -1 y - 23 - 2所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是410即 2x+3y+19z -27=0.四、证明题(每小题各9分，共27分)1、证明不存在曲面，使 E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证 若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N必须满足在正交坐标一 1顼、+ (地、=0 土 LN-M， 网下的GCM公式，但有 )u( VG G -,所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。2、证明曲面 r =(cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。证：曲面的方程可改写为 r = a(v) + ub(v)，其中 a(v)

20、=cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v, b(v)=-sinv, cosv,1，易见沁)0,所以曲面为直纹面，又因为210 =0,所以所给曲面为可展曲面-2sin v - v cos v 2cos v - v sin v-sin vcos v(a b, b，)二-cos v- sin v3、证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为K1 、K 2，任给一方向9及与其正交的方向9 + 72，则这两方向的法曲率分别为K n （9 ） -K1 C0S2 9+K 2sin2 9，即K *) +K” (9+2) =K 1+ K2为常数。k

21、 (9+兀。)=k COS2(9+梢)+k sin2(9+兀,；)=k sin29+k cos29 n - 21.-22- 212、判断题（正确的在题后括号内打5 错的打“X”。每小题2分，共10分）T T二二.、1、曲线r = r （s）为一般螺线的充要条件为（r,r,r）=02、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。3、不存在两条不同曲线，使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。4、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。5、每一个可展曲面或是柱面，或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。1、V， 2、 V， 3、 X， 4X， 5、 V二、填空题（每小题3分，共15分）1、当曲线参数是自然参数时

22、，它的一阶导向量的长度是。2、螺旋线文= %os t，sint，t在点（1,0,0）处的单位切向量是， 法平面方程是。3、设为曲面上曲线，点P在上，在P点的测地曲率为1，又在P 点沿切方向的法曲率为2,则在P点的曲率为。4、 曲面的第一、二、三基本形式的关系是。0,苛.-1、1，2、2 2，z = 0，3、*，4、III-2HII + KI = 0三、计算题（每小题12分共48分）1、计算抛物面在原点的2 % = 5 X1 + 4 %1% 2 + 2 第一基本形式，第二基本形式.r = x ,x ,9x2 + 2x x + x2解曲面的向量表示为1 2 2 11 2 2 ,r = 1,0,5x

23、 + 2x = 1,0,0 r = 0,1,2x + 2x = 0,1,0 r = 0,0,5x112 (0,0), x212 (0,0), x1 x1,r = 0,0,2 r = 0,0,2x1 x2I , x2x2I ,E=1, F = 0,G=1,L = 5,M = 2,N=2,=1*dx 2 + dx 25dx 2 + 4dx dx + 2dx 2ROMAN I= 12 , = 2 * ROMAN II= 11 22z = 1（ ax 2 + by 2）2、求出抛物面 2 *在（0,0）点沿方向（dx:dy）的法曲率.F = 1,0, ax= 1,0,0 r = 0,1, by= 0,

24、1,0 r = 0,0, a r = 0,0,0x(0,0), y(0,0), xx, xyryy = 0,0,b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率adx 2 + bdy 2k = ndx 2 + dy 23、确定抛物面z=a(x2 + y2)在(0，0)点的主曲率.解曲面方程，户=代 y,心2 + y2)，I = 1,0,沁 L = I2，L = 0,0,2。， rxy = 0,0,0, ryy =皿,。在(0，0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以 K N -4aK N+4 a 2=0，两主曲率分别为 K1

25、= 2 a, K 2= 2 a4、在xoz平面上去圆周y = 0, （x - b）2 + z2 = a2（b a），并令其绕轴旋转的圆环 面，参数方程为r=（b+acos中）cos , （b+acos中）sin , asin中,求圆环面上 的椭圆点、双曲点、抛物点。解：E = a2, F= 0 , G=（b + a cos中）2, L = a, M = 0, N = cos中（b+acos中）,LN - M2 =a cos 中（b+acos 中），由于 b a 0 , b+acos 中 0,所以 LN -3兀n/-M2的符号与cos中的符号一致，当0W中 /2和2 P 0 ,曲面上的点为椭圆点

26、，即圆环面外侧的点为椭圆点；当n / 竺n /- 2，曲面上的点为双曲点,即圆环面内侧的点为双曲点；当中二/2 3n或 项时，LN-M 2 =0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。四、证明题（每小题9分，共27分）1、如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证：设一曲线为r： r =仃砂，则另一曲线r的表达式为： :、p= r+冗丫，丫为曲线r在点s的主法向量，也应为r在对应 点的副法线的方向向量。A )P = a +人y Xt P与Y正交，即P Y =0,于是人=0,人为常数。P = a 一 XtP , p =k P 一 X t p 一 Xt (ka + t Y )也

27、与 Y 正交，即 P Y =-X t 2=0,而诲 0,所以有t =0,曲线为平面曲线。同理曲线F为平面曲线。 2、证明曲线F = r(s)为一般螺线的充要条件为(r，r，r)= 0 、r =邙，r = k2a +邙 +kt/,r = 3KKa + ( k3 +k kt2)p + (2kt +kt)y .kt kt t(r, r , r) =k3(2虹+kt) 3k3KT =k3(ktkt) =k5 k5() 其中 丰t()三三:.曲线F = r(s)为一般螺线的充要条件为K为常数，即K =0,也是(r,r,r)= 03、若曲线的主法线是曲线F的副法线，的曲率、挠率分别为k、t，求 证k =

28、X0 k 2 +T 2)，其中X 0是常数。证明：设曲线:r = r(s),曲线r r =r C r在r(s)的主法线与r在r )的副法 r*(s*)= r(s)+X(s)p(s)于是有 r*Ar +Xp+Xp重合，则 ds * 一* *2ka+TY)。因为W，于是E, 3*,上式两边点乘P,X X a* 虹=(1 X k)a + X ty 可得X = 0，从而X是常数。设X = X0，则ds 00。上式两边对s求微商，可得半、V ds Ja*+a* ds* = (1 X k)a + k(1 X k)p+ (Xt)y Xt2p000*ds 2上式两边点乘,可得k(1 X0k)X0T 2 = 0

29、 ,即一、判断题(正确的在题后括号内打N，错的打“X”。每小题2分，共10分)1、椭圆的曲率和挠率特征为k=1, t =0。2、若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线.、 球 面 曲 线 的 主 法4、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.曲 面 上 的 渐 进 网1、x, 2、v 3、x, 4、x, 5、x二、填空题(每小题3分，共15分)1、向量函数)平行于固定平面的充要条件是.2、是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.3、以杜邦(Dupin)指标线为分类标准，曲面上的点分为椭圆点,双曲 点,平点.4、曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最小值.5、曲面

30、的第三基本形式是它的 的第一基本形式.1、( r , ( t ), r , ( t ), r , ( t )= 02、曲率 3、抛物点4、法曲率 5、球面表示三、计算题(每小题10分，共50分)1、求三次曲线r =at，bt2,ct3在点10的切线和法平面。x at y bt2 z ct3rt ) = a,2bt ,3ct2切线为 a - 2bt 3ct2000 ，以线为o0 ，注平而勺a(x at ) + 2bt (y bt2) + 3ct2(z ct3) = 0法平面为00000。2、求球面r = a cos9 Sin9,a cos9 sin9,a sin9上任意点的切平面和法线方程。解

31、.% = a sin9 cos。, a sin 9 sin。, a cos9a cos 9 sin 9, a cos 9 cos 9,0任 意点的 切x a cos 9 cos 9 y a cos 9 sin 9 za sin 9 cos 9 a sin 9 sin 9a cos 9 sin 9 a cos 9 cos 9平 面 方a sin 9a cos9 = 00程即 xcos 9 cos 9+ ycos 9 sin 9+zsin9 - a = 0 ；x 一 a cos 9 cos 9_ y 一 a cos 9 sin 9 _ z一 a sin 9法线方程为cos 9 cos 9cos 9

32、 sin 9sin 9为rr9 二3、设曲面的第一基本形式为I=du2 + (u2 +a2)dv2，求它上面两条曲线u + v =0 ,u -v = 0的交角。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E = 1, Fv = 0 , G = u2 + a2, 曲线u + v = 0与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量 为E =1, Fv - 0 , G = a2。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u - v = 0 的方向为5u=5v ,设两曲线的夹角为9，则有Edubu + Gdvbu_ 1 a 2cos9 _Edu 2 + Gd

33、v2 yiEdu 2 + Gdv21 + a 2 。4、求正交网的坐标曲线的测地曲率。解：因为坐标网是正交的，所以F=0,故:ds 2如Gdv洎 1 6 卜 E cosO+二怔 in 0XE du而对U-曲线来说，0=0，故侦一拦普，1 d ln Gk=对V-曲线来说，0=K2 K2 +K2 2 ，所以 gv2虹du。5、求双曲面z=axy上的曲率线.E = 1 + a 22, F = a 2 x 2 y 2, G = 1 + a 2 x 2, L = 0, M = .a,dy 2dxdydx 21 + a 2 x 2a 2 x 2 y 21 + a 2 x 2 00a0由J1 + a 2x

34、2 + a 2 y 2得(1 + a 2 y 2) dx 2 = (1 + a 2 x2)dy 2 ,积分得两族曲率线为1ln(ax + 11 + a 2 x 2) = ln(ay +1 + a 2 y 2) + c四、证明题(第1小题5分，2、3小题各10分，共25分)1、求证：如果测地线同时为渐近线，则它是直线；证 因为所给曲线是测地线，所以kg 0 ；又因为所给曲线是渐近线，所以kn 0,而 k 2 k 2 + k 2n g，所以k=0，故所给曲线是直线。2. 证明正螺面r =(vcosu,vsinu,au+b(a 0)不是可展曲面。00 acos u sin u 0r a (u) b

35、(u) a (u) b (u) b (u)丰(a ,b, b ) sin u cos u 。丰 o如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。/ _ 证：设一曲线为r： r = r(s)，则另一曲线r的表达式为：p= r (s) +人(s) Y(s)， Y(s)为曲线r在点s的主法向量，也应为r在对应点的副法线的方向向量。P=a+XY _Xt 0与吊正交，即p.H = o,于是尤=o,人为常数。 P=d-XT甘，矿=一人下P-Xt （-kd+Tf ）也与正交，即 厂.矿=T2=0,而人 0,所以有C = 0,曲线为平面曲线。同理曲线F为 曲线一、判断题（正确的在题后括号内打7”，错的打

36、“X，。每小题2分，共10分）1、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。（）2、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，7=0。（）3、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。（）4、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。（）5、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。（）1、寸，2、x, 3、4, 4、x, 5、x二、填空题（每小题3分，共15分）1、曲面上曲线的弧长是 不变量。2、球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是 变换。3、圆的曲率和挠率特征为。4、曲率恒等于0的曲线是。5、在曲面上的任意点，主方向的数目总为。1、等距，2、保角，3、1 + G2(uAdu2 + dv2; 3、直线，平面曲

37、线；4、6x + 3y-2z -7 = 0三、计算题（每小题12分，共48分）X1、求曲线解：因X, = ,0,2,112,113的曲率k和挠率T。X, = t 2 )1(t 4 + 4t 2 + 1)23 | X , |3 _ (t4 + 12 + 1)2X,1,2t曲率线方程。解：设曲线Y = Y(s)(s为弧长参数)的切线曲面为X = Y (s) + vo- (s)，-=av、则有 X =a + vkp XX = - vk 2a + (k + vk.) p + vkTf ssE=1+v 2 k 2，F=1，G=1L= - vkT M=0，N=0TXst=kpXvvk. = 0, kvk(

38、X, X, X,)2=(X , X X ,)214 + 12 + 1- -2、求曲线Y = Y (s)的切线曲面的主曲率，平均曲率，- -H= 2vk曲率线方程为dv 2一 dsdvds 21 + v 2 k 211一 vkT00=0,即s=常数，或v=-s+c3、求曲面X = u 2 + v,2u 3 + uv,I 32u ,6 u 2 + v,4u3 + 3 u vr、2,“ I3 j高斯曲率。解:1,2 1,u, 4u3 + u2 jXuu4 22u2u2+ 3 *X =0,1,4u 3 + 3 u j可得K=0Xvv=0,0,0 4、求正交网的坐标曲线u-曲线的测地曲率。解因为坐标网是

39、正交的，所以F=0，7d01 S ln E 八 1 S ln G .八2挣如kg =云京飞厂cos +赤E飞厂Sin d ln E2拓Sv而对u-曲线来说，0 =0，四、证明题(第1小题6分,2,k故g3, 4小题各7分，共27分)1、是否存在曲面使得E=1, F=0, G=1, L=-1, M=0, N=0?为什么？解：存在， 因为E=1, F=0, G=1, L=-1, M=0, N=0满足高斯-柯达齐方程2、设非直线曲线和另一条曲线*之间建立的一一对应，使得在对应点， 曲线的切线是r*的主法线，证明是平面曲线。 解：设曲线： X = X（W（s为孤长参数）则*为 _=X（s） + X（s

40、两边对s求导有X *, = （1 + X.）o + XkP（）因为 * =，上式两边点积6*有（1）1+ X. = 0代入即有(2)再求导有X *,=(人.k + Xk.) P + Xk (- k& +C)X *, = XkP_（4）X *, xX *, = X2k 3y + X2k 2谚_(4)再两边点积有X2 k 2T=0由题意有=0，即证。3、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐 近曲线。证：因为是极小曲面，所以k1+k2= 0，为非平面，即有k1”k2。山则K0,所以 极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。设两族渐近曲线主方向的交角-kn ntan 气2=V T , 0 = K =-为01,02，则由欧拉公式有 k 2 = 1，1 4 2 4曲线正交4、若两曲面 2相交于定角，若交线是 1的曲率线， 曲率线证：设 1，2的单位法向量为n1, ndn n + n dn = 0 由 交 线X dXn + n dn = 0位法1 21dn = X dX1又因为dn II n x nn dX则由题意有2=C是 1的曲率1因为n 1 dX量，线 所以E血2= n dn = 0两族渐近两边微分得则有所以有所以有dX II n1即dn2 11 dX，所以也是 2的曲率线。