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1、微积分学的实际应用微积分学的实际应用一、微分学在几何中的应用一、微分学在几何中的应用四 微分学在经济问题中的应用1 边际函数的应用边际函数的应用定义定义1：如果函数：如果函数f(x)在区间在区间I可导，可导，则称导函数则称导函数f(x)为为f(x)的边际函数。的边际函数。在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。由导数的定义知，由导数的定义知，f(x)是是f(x0)在在x点的变化率。点的变化率。即当即当x=x0时，时，x改变一个单位，改变一个单位，y改变了改变了f(x0)个单位。个单位。如边际成本如边际成本C(x0)表示生产表示生产
2、x0个单位产品时，再生产一个单个单位产品时，再生产一个单位产品，成本增加位产品，成本增加C(x0)。这表明当生产第这表明当生产第901台时所花费的成本为台时所花费的成本为1.5元。元。同时也说明边际成本与平均成本有区别。同时也说明边际成本与平均成本有区别。2 极值在经济中的应用极值在经济中的应用利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件，利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件，可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。某厂每天生产某商品某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为单位的总成本函数为C(x)=0.5x2+36x+9800（元），（元），那么每天
3、生产多少个单位的产品时平均成本最低？那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？平均成本平均成本:C(x)=0.5x+36+9800/xC(x)=0.5-9800/x2 令令C(x)=0，x=140又又C(140)=1/1400，最小平均成本存在，因此当生产最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。个单位时平均成本最低。五 微分学在生物领域中的应用生物种群数量问题生物种群数量问题 设某生物种群在其适应的环境下生存，设某生物种群在其适应的环境下生存，试讨论该生物种群的数量变化情况。试讨论该生物种群的数量变化情况。问题假设问题假设1 1、假设该生物种群的自然增长率为常数、假设该生物种
4、群的自然增长率为常数、假设该生物种群的自然增长率为常数、假设该生物种群的自然增长率为常数 2 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或其他的生物种群的生存不影响该生物种群的其他的生物种群的生存不影响该生物种群的其他的生物种群的生存不影响该生物种群的其他的生物种群的生存不影响该生物种群的生存。生存。生存。生存。3 3、假设时刻、假设时刻、假设时刻、假设时刻t t生物种群数量为生物种群数量为生物种群数量为生物种群数量为N(t)N(t)，由于，由于，由于，由于N(t)N(t)的数
5、量很大，可视为时间的数量很大，可视为时间的数量很大，可视为时间的数量很大，可视为时间t t的连续可微函数。的连续可微函数。的连续可微函数。的连续可微函数。4 4、假设在、假设在、假设在、假设在t=0t=0时刻该生物种群的数量为时刻该生物种群的数量为时刻该生物种群的数量为时刻该生物种群的数量为NN0 0 问题分析问题分析问题分析问题分析问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数，意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数，意指单位
6、时间内种群增量与种群数量的比例系数，意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数，或单位时间内单个个体增加的平均数量。或单位时间内单个个体增加的平均数量。或单位时间内单个个体增加的平均数量。或单位时间内单个个体增加的平均数量。文字方程改写为符号方程文字方程改写为符号方程在在t时段种群数量的净增加量时段种群数量的净增加量=在在t+t时刻时刻的种群数量的种群数量在在t时刻的种群数量。时刻的种群数量。模型建立模型建立模型建立模型建立Malthus模型模型模型求解模型求解模型求解模型求解结果验证结果验证结果验证结果验证上面的模型的结果与上面的模型的结果与上面的模型的结果与上面的模型的结果与1919191
7、9世纪以前欧洲地区的人口统计数据可世纪以前欧洲地区的人口统计数据可世纪以前欧洲地区的人口统计数据可世纪以前欧洲地区的人口统计数据可以很好吻合；以很好吻合；以很好吻合；以很好吻合；人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合理性。
8、理性。理性。理性。六六 微分学在最优化问题的应用微分学在最优化问题的应用易拉罐问题易拉罐问题:分析和假设：分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体.要求饮料罐内体积一定时要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上实际上,用几何语言来表述就是用几何语言来表述就是:体积给定的直圆柱体体积给定的直圆柱体,其表面积最小的尺寸其表面积最小的尺寸(半径和高半径和高)为为多少多少?表面积用表面积用 S 表示表示,体积用体积用 V 表示表示,则有则有于是我们
9、可以建立以下的数学模型：于是我们可以建立以下的数学模型：其中其中 S 是目标函数是目标函数,是约束条件是约束条件(V 已知已知,即罐内体即罐内体积积一定一定),.即要在体积一定的条件下即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的求罐的体积最小的 r,h.把把 代入代入,得到得到求驻点求驻点(临界点临界点,critical point),.知道知道是一个局部极小值点是一个局部极小值点.实际上实际上,它也是全局最小值点它也是全局最小值点,因为临界点是唯一的因为临界点是唯一的.最小面积为最小面积为又由于又由于七七 积分学在几何，物理中的应用积分学在几何，物理中的应用几何：平面图形的面积；几何：平面图形的面积；体积；体积；平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；物理：功；物理：功；水压力；水压力；引力和平均值等引力和平均值等八八 积分学在经济中的应用积分学在经济中的应用八八 积分学在经济中的应用积分学在经济中的应用在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数在某区间的总量。在某区间的总量。九九 积分学在生活中的应用积分学在生活中的应用结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33
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