《数学分析》第十一章反常积分.ppt

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1、第 十 一 章 反 常 积 分 1 反 常 积 分 概 念 定 义 1 设 函 数 )(xf 在 区 间 ), a 上 连 续 ， 取ab ， 如 果 极 限 bab dxxf )(lim 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 )(xf 在 无 穷 区 间 ), a 上 的 广 义 积分 ， 记 作 a dxxf )( . a dxxf )( bab dxxf )(lim 当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在时 ， 称 广 义 积 分 发 散 . 一 、 无 穷 限 的 广 义 积 分 类 似 地 ， 设 函 数 )(xf 在 区 间 ,(

2、b 上 连 续 ， 取ba ， 如 果 极 限 baa dxxf )(lim 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 )(xf 在 无 穷 区 间 ,( b 上 的 广 义 积分 ， 记 作 b dxxf )( . b dxxf )( baa dxxf )(lim 当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在时 ， 称 广 义 积 分 发 散 . 设 函 数 )(xf 在 区 间 ),( 上 连 续 ,如 果广 义 积 分 0 )( dxxf 和 0 )( dxxf 都 收 敛 ， 则 称 上 述 两 广 义 积 分 之 和 为 函 数 )(xf 在

3、无 穷 区 间),( 上 的 广 义 积 分 ， 记 作 dxxf )( . dxxf )( 0 )( dxxf 0 )( dxxf 0 )(lim aa dxxf bb dxxf0 )(lim 极 限 存 在 称 广 义 积 分 收 敛 ； 否 则 称 广 义 积 分 发 散 . 例 1 计 算 广 义 积 分 .1 2 xdx解 21 xdx 0 21 xdx 0 21 xdx 0 21 1lim aa dxx bb dxx0 21 1lim 0arctanlim aa x bb x 0arctanlimaa arctanlim bb arctanlim .22 例 2 计 算 广 义 积

4、 分解 .1sin12 2 dxxx 2 1sin12 dxxx 2 11sin xdx bb xdx2 11sinlim bb x 21coslim 2cos1coslim bb .1 例 3 证 明 广 义 积 分 1 1 dxx p 当 1p 时 收 敛 ，当 1p 时 发 散 .证 ,1)1( p 1 1 dxx p 1 1 dxx 1ln x ,1)2( p 1 1 dxx p 111 px p 1,11 1, pp p 因 此 当 1p 时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为 11p ；当 1p 时 广 义 积 分 发 散 . 例 4 证 明 广 义 积 分 a pxdxe 当

5、 0p 时 收 敛 ，当 0p 时 发 散 .证 a pxdxe ba pxb dxelim bapxb pe lim pepe pbpablim 0, 0, pppe ap 即 当 0p 时 收 敛 ， 当 0p 时 发 散 . 定 义 2 设 函 数 )(xf 在 区 间 ,( ba 上 连 续 ， 而 在点 a 的 右 邻 域 内 无 界 取 0 ， 如 果 极 限 ba dxxf )(lim0 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 )(xf在 区 间 ,( ba 上 的 广 义 积 分 ， 记 作 ba dxxf )( .ba dxxf )( ba dxxf )(lim0 当 极

6、 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在时 ， 称 广 义 积 分 发 散 . 二 、 无 界 函 数 的 广 义 积 分 类 似 地 ， 设 函 数 )(xf 在 区 间 ), ba 上 连 续 ，而 在 点 b 的 左 邻 域 内 无 界 .取 0 ， 如 果 极 限 ba dxxf )(lim0 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数 )(xf在 区 间 ), ba 上 的 广 义 积 分 ， 记 作 ba dxxf )( ba dxxf )(lim0 .当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称

7、 广 义 积 分 发 散 . 设 函 数 )(xf 在 区 间 , ba 上 除 点 )( bcac 外 连续 ， 而 在 点 c的 邻 域 内 无 界 .如 果 两 个 广 义 积 分ca dxxf )( 和 bc dxxf )( 都 收 敛 ， 则 定 义ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )( ca dxxf )(lim0 bc dxxf )(lim0 否 则 ， 就 称 广 义 积 分 ba dxxf )( 发 散 .定 义 中 C为 瑕 点 ， 以 上 积 分 称 为 瑕 积 分 . 例 5 计 算 广 义 积 分解 ).0(0 22 axadxa ,1lim

8、 220 xaax ax 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 . a xadx0 22 a xadx0 220lim aax 00 arcsinlim 0arcsinlim0 aa .2 例 6 证 明 广 义 积 分 10 1 dxxq 当 1q 时 收 敛 ， 当1q 时 发 散 .证 ,1)1( q 10 1 dxx 10ln x ,1)2( q 10 1 dxxq 1011 qx q 1,1 1 1, qq q 因 此 当 1q 时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为 q1 1 ；当 1q 时 广 义 积 分 发 散 . 10 1 dxxq 例 7 计 算 广 义 积 分解

9、 .ln21 xxdx21 ln xxdx 210 lnlim xxdx 210 ln )(lnlim xxd 210 )ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故 原 广 义 积 分 发 散 . 例 8 计 算 广 义 积 分解 .)1(30 32 xdx 1x 瑕 点 30 32)1(xdx 10 31 32)1()( xdx 10 32)1(xdx 100 32)1(lim xdx 3 31 32)1(xdx 310 32)1(lim xdx ,23 3 30 32)1(xdx ).21(3 3 无 界 函 数 的 广 义 积 分 （ 瑕 积 分 ）无 穷 限

10、的 广 义 积 分 dxxf )( b dxxf )( a dxxf )( ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(（ 注 意 ： 不 能 忽 略 内 部 的 瑕 点 ） ba dxxf )(三 、 小 结 思 考 题积 分 的 瑕 点 是 哪 几 点 ？ 10 1ln dxx x 思 考 题 解 答积 分 可 能 的 瑕 点 是 10 1ln dxx x 1,0 xx1lnlim1 x xx ,11lim1 xx 1 x 不 是 瑕 点 , 10 1ln dxx x 的 瑕 点 是 .0 x 一 、 填 空 题 ：1、 广 义 积 分 1 pxdx 当 _时 收 敛 ； 当 _

11、时 发 散 ；2、 广 义 积 分 10 qxdx当 _时 收 敛 ； 当 _时 发 散 ；3、 广 义 积 分 2 )(ln kxx dx 在 _时 收 敛 ； 在 _ 时 发 散 ； 4、 广 义 积 分 dxxx 21 =_； 练 习 题 5、 广 义 积 分 10 21 xxdx _； 6、 广 义 积 分 x dttf )( 的 几 何 意 义 是 _ _. 二 、 判 别 下 列 各 广 义 积 分 的 收 敛 性 ， 如 果 收 敛 ， 则 计 算 广 义 积 分 的 值 ： 1、 0 coshtdte pt )1( p ； 2、 222 xx dx ； 3、 0 dxex xn

12、 （ 为 自 然 数n ） ； 4、 20 2)1( xdx ； 5、 21 1xxdx ； 6、 0 22 )1( ln dxxxx ； 7、 10 ln xdxn . 三 、 求 当 为 何 值 时k ， 广 义 积 分 )()( abax dxba k 收 敛 ？ 又 为 何 值 时k ， 这 广 义 积 分 发 散 ？ 四 、 已 知 x xx xxf 2,1 20,21 0,0)( ， 试 用 分 段 函 数 表 示 x dttf )( . 一 、 1、 1,1 pp ； 2、 1,1 qq ； 3、 1,1 kk ；4、 发 散 ； 5、 1； 6、 过 点 轴平 行 于 yx 的 直 线 左 边 ,曲 线 )(xfy 轴和 x 所 围 图 形 的 面 积 . 二 、 1、 12 p p ； 2、 ； 3、 !n ； 4、 发 散 ； 5、 322 ； 6、 0； 7、 !)1( nn . 三 、 当 1k 时 收 敛 于 kabk 1)(1 1 ； 当 1k 时 发 散 . 四 、 xx xx xdttfx 2,1 20,41 0,0)( 2 . 练 习 题 答 案