初中数学竞赛教程初一教师版

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1、学习必备 欢迎下载第1讲 用字母表示数 在初中代数中指出：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 单独的一个数或一个字母，象-1,0，a，x也是代数式。 上述定义中的“数”，是我们学过的数或指定的数，其中的“字母”，必须是用来“表示数的字母”，一般英语书上的字母不是代数式，因为在使用的场合没约定它代表数。 “用运算符号连接”，一般指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，当然也可以是按一定意义规定的运算。7第2讲 图形关系的代数表示 有些数量关系表现为图形中的数量关系，如果能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相结合，抽象与直观相结合，对培养数学能力是非常重要的。 1

2、3 2 4 5第3讲由代数式展开的推理 1 作为代数式基本功的训练，要学习一些利用代数式的运算展开的推理。 3 2 6 5 4 7第4讲 有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法的分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7=（-3）+（-7）

3、。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）7=（-5）。 7 第5讲 有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性 （一）括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单1 计算：（2） 分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正

4、数与负数的性质符号因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算 2 计算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1 000 000说明 加括号

5、的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧3 计算：S=1-2+3-4+(-1)n+1n分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n2个(-1)的和，所以有：s=（-1）*n/2当n为奇数时，上式是(n-1)2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1n=n，所以有4 在数1，2，3，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得

6、可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将1，2，3，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，

7、所求最小非负数是1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化（二）用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值：(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算5 计算 30012999的值解 30012999=(3000+1)(300

8、0-1)=30002-12=8 999 9996 计算 1039710 009的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 9197 计算：分析与解 直接计算繁仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 6908 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216

9、+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1 9 计算：分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)本题就是一

10、个例子通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化 10 计算：我们用一个字母表示它以简化计算 （三）观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+

11、(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)20=89.95例12 计算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997

12、+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500个2000)=2000500从而有 S=500 000说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决13 计算 1+5+52+53+599+5100的值分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算解 设S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5

13、101 得4S=5101-1，说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决14 计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于所以说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用第6讲 对称式一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式

14、x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, ，.都是对称式.其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x,y,z循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab), 2x2y+2y2z+2z2x,，（xy+yz+zx）(， .都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1. 含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的

15、一切同型式，且系数相等.例如：在含x,y,z的齐二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2,z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,zx两项，且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m,n是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有因式ab一项,必有同型式bc和ca两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：x+y, xy都是对称式，x+yxy，（x+y）xy，

16、等也都是对称式.xy+yz+zx和都是轮换式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式.1.计算：（xy+yz+zx）(xyz(.分析：（xy+yz+zx）(是关于x,y,z的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy分别乘以，连同它的同型式一齐写下.解：原式（）（z+xy）+(y+z+x)()2x+2y+2z.2、已知：a+b+c=0, abc0.求代数式的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：，0.3、计算：（a+b+c）3分析：展开式是含字母a,b,c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.4、

17、解：设（a+b+c）3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m,n,p是待定系数） 令a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得m=1；令a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得2m+2n=8；令a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组得（a+b+c）3a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.第7讲 绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会

18、根据绝对值的定义来解决这些问题 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)a-b=b-a；(4)若a=b，则a=b；(5)若ab，则ab；(

19、6)若ab，则ab解 (1)不对当a，b同号或其中一个为0时成立(2)对(3)对(4)不对当a0时成立(5)不对当b0时成立(6)不对当ab0时成立2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简b-a+a+c+c-b解 由图1-1可知，a0，b0，c0，且有cab0根据有理数加减运算的符号法则，有b-a0，ac0，c-b0再根据绝对值的概念，得b-a=a-b，a+c=-(a+c)，c-b=b-c于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c 3 已知x-3，化简：3+2-1+x分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号解

20、 原式=3+2+(1+x)(因为1+x0) =3+3+x =3-(3+x)(因为3+x0) =-x=-x解 因为 abc0，所以a0，b0，c0(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用5 若x=3，y=2，且x-y=y-x，求x+y的值解 因为x-y0，所以y-x0，yx由x=3，y=2可知，x0，即x=-3(1)当

21、y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5所以x+y的值为-1或-56 若a，b，c为整数，且a-b19+c-a99=1，试计算c-a+a-b+b-c的值解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且a-b19，c-a99为两个非负整数，和为1，所以只能是 a-b19=0且c-a99=1， 或a-b19=1且c-a99=0 由有a=b且c=a1，于是b-c=c-a=1；由有c=a且a=b1，于是b-c=a-b=1无论或都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2解 依相反数的意义有x-y+3=-x+y-1999因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必

22、有x-y+3=0且x+y-1999=0即由有x-y=-3，由有x+y=1999-得2y=2002， y=1001，所以8 化简：3x+1+2x-1分析 本题是两个绝对值和的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事例如，化简3x+1，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号这里我们为三个部分(如图12所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x即说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上

23、标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”9 已知y=2x+6+x-1-4x+1，求y的最大值分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者解 有三个分界点：-3，1，-1(1)当x-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x-3，所以y=x-1-4，y的最大值是-4(2)当-3x-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3x-1，所以-45x+116，y的最大值是6(3)当-1x1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x

24、+1)=-3x+3，由于-1x1，所以0-3x+36，y的最大值是6(4)当x1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x1，所以1-x0，y的最大值是0综上可知，当x=-1时，y取得最大值为610 设abcd，求x-a+x-b+x-c+x-d的最小值分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦若能利用x-a，x-b，x-c，x-d的几何意义来解题，将显得更加简捷便利解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则x-a表示线段AX之长，同理，x-b，x-c，x-d分别表示线段BX，CX，DX之长现要求x-a，x-b，x-c，x-d之和的值最小，

25、就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小因为abcd，所以A，B，C，D的排列应如图13所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)11 若2x+4-5x+1-3x+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零故本题只有2x-5x+3x=0一种情况因此必须有4-5x=4-5x且1-3x=3x-1 故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7第8讲 求代数式的值 用具体的数代替代数式里的字母进行计

26、算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧 1 求下列代数式的值：分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性=0-4a3b2-a2b-5=-413(- 2)2- 12(-2)-5=-16+2-5=-19(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z3x2y-(xyz-5x2z) =3x2

27、y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2(-1)2(-3)-2(-1)2(-3) =12+6=18说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值去、添括号时，一定要注意各项符号的变化2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值下面给出本题的五种解法解法1 由a-b=-1

28、得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1说明 这是用代入消元法消去a化简求值的解法2 因为a-b=-1，所以 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1

29、)3=-1说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化

30、简求值通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简所以解 因为a=3b，所以c=5a=5(3b)=15b将a，c代入所求代数式，化简得解 因为(x-5)2，m都是非负数，所以由(1)有由

31、(2)得y+1=3，所以y=2下面先化简所求代数式，然后再代入求值=x2y+5m2x+10xy2=522+0+10522=250 6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值分析 此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值下面介绍一种不必求出a，b的值的解法解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的值 分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求

32、值变得容易原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9说明 实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利 x=3k，y=4k，z=7k因为2x-y+z=18，所以23k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8例9 已知x=y=11，求(xy-1)2+(x

33、+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本题是可直接代入求值的下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值解 设x+y=m，xy=n原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 =(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2 =(1111+1-22)2 =(121+1-22)2 =1002=10000说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式 第9讲 一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代

34、数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧 用等号连结两个代数式的式子叫等式如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式条件等式也称为方程使方程成立的未知数的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式

35、)解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b0，方程变为0x=b，则方程无解1 解方程解法1 从里到外逐级去括号去小括号得去中括号得去大括号得解法2 按照分配律由外及里去括号去大括号得化简为去中括号得去小括号得 2 已知下面两个方程3(x+2)=5x，4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，试求a的值分析 本题解题思路是从方程中求出x的值，代

36、入方程，求出a的值解 由方程可求得3x-5x=-6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程时，应有43-3(a-3)=63-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5由题设知a+2=5，所以a=3于是有22(x+3)-3(x-3)=33，-2x=-21，4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况解 把原方程

37、化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)当m+n0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论 5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程解 将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1)当a2-b20时，即ab时，方

38、程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b0，即ab，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=1(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-21)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解所以所求代数式的值为19917 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值解 将原方程变形为2

39、ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2由已知该方程无解，所以8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定： (1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立(2)若ab0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab0成立(3)若ab0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab0成立解 按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因为k20，所以只要k5或k2时上式大于零，所以当k2

40、或k5时，原方程的解是正数，所以k5或0k2即为所求9 若abc=1，解方程解 因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例10 若a，b，c是正数，解方程解法1 原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移项、合并同类项得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因为a0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解

41、解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0所以x=a+b+c为原方程的解说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一 11 设n为自然数，x表示不超过x的最大整数，解方程：分析 要解此方程，必须先去掉 ，由于n是自然数，所以n与(n+1)，nx都是整数，所以x必是整数解 根据分析，x必为整数，即x=x，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解12 已知关于x的方程 且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值 解 由原方程可解得a最

42、小，所以x应取x=160所以所以满足题设的自然数a的最小值为2第10讲 识图 几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。 平面几何学只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示位置，没有大小，不可再分。线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。 因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。识

43、别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ 解：甲图中有10个角：AOB, AOC,BOC,BOD,COD,COE,DOE,DOA,EOA,EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个AOC，余类推。乙图中有5个等腰三角形：ABC，ABD，BDC，BDE，DEC丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)AOBCOD，AODBOC，ABCCDA，BCDDAB。丁图中共有等边三

44、角形48个：边长1个单位：顶点在上的个数有1234515顶点在下的个数有123410边长2个单位：顶点在上的个数有123410顶点在下的个数有123边长3个单位：顶点在上的个数有1236边长4个单位：顶点在上的个数有123边长5个单位：顶点在上的个数有1以上要注意数一数的规律 2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。（1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线有4条，从A3与

45、其他3点连线有3条（A1，A2除外）以此类推，6个点两两连线共有线段1234515（条），或用每点都与其他5点连线共56再除以2（因重复计算）。要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（64）212（条）如下图：其中有3对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6A5A4A6A3A1A2 3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O点时，乙离点O为500米，2分钟后，甲、乙离点O相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O相等。求甲和乙的速度比。解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2乙2为再前进8分钟的位置。再设

46、甲，乙的速度分别为每分钟x,y米，根据题意得甲O甲1甲2解得12x=8y 乙1xy=23乙0答甲和乙的速度比是2比3。 4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？（1989年全国初中数学联赛题）解：如图ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点E，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F，又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个AAAFDEEBCDDBCBC 21第11讲 线段与角的推理计算3 5 4 6 9 8710第12讲 相交线与

47、平行线 2 1 5 4 3 7 6 9810第13讲 平行线问题 平行线是我们日常生活中非常常见的图形练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段 正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识 正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用 现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础

48、之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行” 在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理下面我们举例说明这些知识的应用1 如图 118，直线ab，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分1，CB平分 2，求证：C=90分析 由于ab，1，2是两个同侧内角，因此1+2=过C点作直线 l，使 la(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移证 过C点作直线l，使la(图119)因为ab，所以bl，所以1+2=180(同侧内角互补)因为AC平分1，BC平分2，所以又3=CAE，4=CBF(内错角相等)，所以3+4=CAE+CBF说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反

49、问题”是否成立， 即“两条直线a，b被直线AB所截(如图120所示)，CA，CB分别是BAE与ABF的平分线，若C=90，问直线a与直线b是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解2 如图121所示，AA1BA2求A1-B1+A2分析 本题对A1，A2，B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关也就是说，不管A1，A2，B1的大小如何，答案应是确定的我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即A1+A2=B1 猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明式给我们一种启发，能不能将B1一分为二使其每

50、一部分分别等于A1与A2这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将B1一分为二证 过B1引B1EAA1，它将A1B1A2分成两个角：1，2(如图122所示)因为AA1BA2，所以B1EBA2从而1=A1，2=A2(内错角相等)，所以B1=1+2=A1+A2，即 A1-B1+A2=0说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图123所示连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有A1+A2+A3=B1+B2(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即A1-B1+A2-B2+

51、A3=0进一步可以推广为A1-B1+A2-B2-Bn-1+An=0这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1BAn)推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题问题1 如图124所示A1+A2=B1，问AA1与BA2是否平行？问题2 如图125所示若A1+A2+An=B1+B2+Bn-1，问AA1与BAn是否平行？这两个问题请同学加以思考3 如图126所示AEBD，1=32，2=25，求C分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如1=DFC或AFB若能将1，2，C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标解 过F到 FGCB，交 AB于G，则C=AFG(同位角相等)，2=BFG(内错角相等)因为 AEBD，所以1=BFA(内错角相等)，所以C=AFG=BFA-BFG=1-2=32-2=22=50说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：1=DFC=C+2，即C=1-2=22=504 求证：三角形内角之和等于180分析 平角