《改进Euler法》PPT课件.ppt
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1、改 进 的 Euler方 法改 进 的 Euler方 法第 二 节 )1()( ),( :00 bxayxy yxfdxdy 式 为已 知 初 值 问 题 的 一 般 形 11( ) ( ) ( , ( )nnxn n xy x y x f x y x dx n n+1将 方 程 两 端 从 x 到 x 求 积 分 , 得利 用 数 值 积 分 求 积 分 项 的 方 法 离 散 1 2( , ( ) h ( , ( ) ( )nnx n nx f x y x dx f x y x O h (1)左 矩 形 法 1( ) ( ) h ( , ( )n n n ny x y x f x y x
2、Euler格 式 一 阶 方 法 ),(),(2 111 nnnnnn yxfyxfhyy梯 形 格 式 是 显 式 Euler格 式 与 隐 式 Euler格 式 的算 术 平 均 梯 形 格 式改 进 的 Euler方 法 1 31 12( , ( ) ( , ( ) ( , ( ) ( )nnx n n n nx hf x y x dx f x y x f x y x O h (2)梯 形 法Euler格 式 是 显 式 算 法 , 计 算 量 小 , 但 精 度 低梯 形 格 式 , 精 度 较 高 , 但 是 隐 式 算 法 , 需 要 通 过迭 代 过 程 求 解 , 计 算 量
3、大 1 11 1n nn ny y y 称 为 , 预 报 值 的 精 度 不 高 ,利 用 预 报值 替 代 右 端 的 y 再 直 接 计 算预 报 值 校 正 值, 得 到预 测 校 正 系 统 称 作 改 进 的 欧 拉 公 式 。改 进 的 Euler方 法综 合 两 种 方 法 , 先 用 Euler法 得 到 一 个 初 步 的 近 似 值 1 1 1 12 , , , - n n n nn n n n n ny y hf x yhy y f x y f x y 建 立预 报 :校 预 报正 : 校 正 系 统单 步 显 式 格 式 1 12 ( , )+ ( , + ( , )
4、n n n n n n n nhy y f x y f x y hf x y 1 10 012 ( , )( , )( )( )p n n nc n n pn p cy y hf x yy y hf x yy y yy x y 平 均 化 形 式 : Euler改 进 格 式 的 嵌 套 形 式 改 进 的 Euler方 法 v改 进 Euler方 法 计 算 框 图开 始 0 0, , ,x y h b输 入 1n 1 00 0 00 11 12 ( , )( , )( )pc pc px x hy y hf x yy y hf x yy y y 1 1 ,x y输 出1x b结 束0 10
5、 1 1,n nx xy y Y N 1)0( )10(2 )1.0(y xyxyy h步 长求 解 初 值 问 题例 2解 yxyyxf /2),( 11 12 ( , )( , )( )p n n nc n n pn p cy y hf x yEuler y y hf x yy y y 改 进 格 式 例 题 3 xn Yn |yn-y(xn)| Yn |yn-y(xn)| y(xn)0.1 1.1 0.0046 1.0959 0.0005 1.09540.2 1.1918 0.0086 1.1841 0.0009 1.18320.3 1.2774 0.0125 1.2662 0.0013
6、 1.26490.4 1.3582 0.0166 1.3434 0.0018 1.34160.5 1.4351 0.0209 1.4164 0.0022 1.41420.6 1.5090 0.0257 1.4860 0.0028 1.48320.7 1.5803 0.0311 1.5525 0.0033 1.54920.8 1.6498 0.0373 1.6165 0.0040 1.61250.9 1.7178 0.0445 1.6782 0.0049 1.67331.0 1.7848 0.0527 1.7379 0.0058 1.7321Euler法 改 进 Euler法 准 确 解 Run
7、ge-Kutta方 法改 进 的 Euler方 法第 三 节 拉 格 朗 日 中 值 定 理1 2( )( ) , ( ) ( , )( , ), ( ) ( ) ( )( )f xa b a ba b f b f a f b a 如 果 函 数 满 足在 闭 区 间 上 连 续 , 在 开 区 间 上 可 导 ; 那 么 ,至 少 存 在 一 点 使 得 成 立1 1 1( , ), ( ) ( ) ( )( )n n n n n nx x y x y x y x x st. 1( , )( ) ( ) ( , ( )n ny f x yy x y x hf y 准 确 成 立 1( , (
8、 ), , n nK f y x x 令 称 为 区 间 上 的 平 均 斜 率1 *( ) ( )n ny x y x hK 寻 求 计 算 平 均 斜 率 的 算 法 考 察 改 进 的 欧 拉 法 , 可 以 将 其 改 写 为 :1 1 212 11 12 2( , )( , )i n n nn ny y h K KK f x yK f x h y hK 斜 率一 定 取 K1 K2 的 平 均 值 吗 ?步 长 一 定 是 一 个 h 吗 ? 考 察 欧 拉 法 , 以 xn的 斜 率 值1 ( , )n nK f x y作 为 平 均 斜 率 vRunge-Kutta方 法 的 设
9、 计 思 想设 法 在 xn,xn+1区 间 内 多 预 报 几 个 点 的 斜 率 值 ,利 用 这 些 斜 率 值 , 将 他 们 加 权 平 均 作 为 平 均 斜 率的 近 似 , 有 可 能 构 造 出 更 高 精 度 的 计 算 格 式1 1 21 2*, ,n n nx x K Kx K n用 两 个 点 的 斜 率 值 的 算 术 平 均 作 为 平 均斜 率 K ; 处 的 斜 率 值 , 由 已 知 信 息 y 通 过 Euler公 式 预 报 二 、 二 阶 Runge-Kutta方 法 11 2 1 1 2 2 1 20 1* * , ,= , n nn p nn n
10、pEuler x xx x ph px x K KK K K K 推 广 改 进 的 方 法 , 在 区 间 内 任 取 一 点希 望 用 , 两 个 点 的 斜 率 加 权 平 均 得 到 平均 斜 率 , 即 , 为 待 定 参 数 1 2 21 2 11n+1 ny =y +h( , )( , )n nn np K KK f x yK f x y hKp 将 改 进 Euler法 推 广 ( 1) 首 先 希 望 能 确 定 系 数 1、 2、 p, 使 得 到 的 算 法 格 式 有 2阶精 度 , 即 在 的 前 提 假 设 下 , 使 得 ( )n ny y x 31 1( ) (
11、 )i n nR y x y O h Step 1: 将 K2 在 ( xn , yn ) 点 作 Taylor 展 开2 1 2 1( , )( , ) ( , ) ( , ) ( )n nn n x n n y n nK f x ph y phKf x y phf x y phK f x y O h 2( ) ( ) ( )n ny x phy x O h ),(),(),( ),(),( ),()( yxfyxfyxf dxdyyxfyxf yxfdxdxy yx yx Step 2: 将 K 2 代 入 第 1式 , 得 到 21 1 2 2 31 2 2( ) ( ) ( ) ( )
12、( ) ( ) ( ) ( )n n n n nn n ny y h y x y x phy x O hy h y x ph y x O h 2 Runge-K utta MethodStep 3: 将 yn+1 与 y( xn+1 ) 在 xn 点 的 泰 勒 展 开 作 比 较2 31 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n n ny y h y x ph y x O h 2 31 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nhy x y x hy x y x O h 要 求 , 则 必 须 有 : 31 1( ) ( )n n nR y x y O h 21,1 221
13、 p 这 里 有 个 未 知数 , 个 方 程 。32存 在 无 穷 多 个 解 。 所 有 满 足 上 式 的 格 式 统 称 为 2阶龙 格 - 库 塔 格 式 。 1 21 211 1 21 0 12( ) , , ,p Eulerp Euler 为 改 进 格 式(2) 为 变 形 的 格 式 中 点 格 式 1 1 22 1 12 22 * , ( ) ,n nn nhy K Euler x Kf x y x 是 法 预 报 的 中 点 的 近 似 值 , 近 似等 于 中 点 的 斜 率 值 本 格 式 表 示 用 中点 的 斜 率 代 替 平 均 斜 率 K计 算 量 : 每 步
14、 需 要 计 算 两 次 函 数 f的 值Q: 为 获 得 更 高 的 精 度 , 应 该 如 何 进 一 步 推 广 ? 三 、 三 阶 Runge-Kutta方 法v为 进 一 步 提 高 精 度 , 设 除 xn+p外 再 考 察 一 点1,n q nx x qh p q 1 2 3*, , , ,n n p n qx x x K K KK 用 三 个 点 的 斜 率 加 权 平 均 得 出平 均 斜 率 的 近 似 值 , 计 算 格 式 具 有 1 1 2 31( )n ny y h K K K 1 2,K K 为 二 阶 Runge-Kutta格 式 的 表 达 式 3K如 何 预
15、 报 ? n n+q 1 2 1 2n+qn+q在 区 间 x ,x 已 知 两 个 斜 率 值 K ,K , 对 K ,K 加 权平 均 得 出 此 区 间 的 平 均 斜 率 ,从 而 得 到 y(x )的 预 报值 y 1 21( )n q ny y qh K K 3 3 ( , )n q n qK K f x y 因 此 为 : , , , ,Taylor p q 利 用 展 开 法 选 择 参 数 , 使 此 计 算 格三 阶 式具 Ru有 三 阶 精 nge-度 这 类 格 式 统 称 为 Kutta格 式 1 1 2 312 1 123 1 1 246 2 2+ , , , +
16、( ) .n n n n nnn nhy y K K KK f x y hK f x y KK f x y h K K 常 用 的 三 阶 R-K方 法 . R-K法 的 常 用 公 式 1 1 2 3 412 1 123 1 2 24 1 3 2 26 22 , , , , .n n n n nn n nn n hy y K K K KK f x y hK f x y KhK f x y KK f x y hK 经 典 R-K公 式四 、 四 阶 Runge-Kutta方 法继 续 上 述 过 程 , 可 以 进 一 步 导 出 四 阶 Runge-Kutta格 式 每 一 步 计 算 需要
17、 四 个 函 数 值 R-K(高 阶 )方 法 不 唯 一 ,选 择 不 同 的 参 数 能 得 到不 同 的 R-K公 式 注 意 的 问 题R-K方 法 的 推 导 是 基 于 Taylor展 开 法 , 因 而 要 求解 具 有 较 好 的 光 滑 性 , 如 果 光 滑 性 较 差 精 度 可能 不 如 改 进 Euler方 法 ,最 好 采 用 低 阶 算 法 而 将步 长 h 取 小 。Runge-Kutta法 的 主 要 运 算 在 于 计 算 Ki 的 值 , 即 计 算 f 的 值 。 计 算 量 与 可 达 到 的 最 高 精 度 阶 数 的 关 系 :753可 达 到 的
18、 最 高 精 度 642每 步 须 算 Ki 的 个 数 )( 2hO )( 3hO )( 4hO )( 5hO )( 6hO)( 4hO )( 2nhO 8n 四 阶 R-K方 法 实 现开 始0 0, , ,x y h N 输 入 1 01 0 0 2 0 0 10 0 2 0 0 3 1 2 3 42 23 2 21 0 2 26;( , ), ( , )( , ), ( , )( )x x h h hK f x y K f x y Kh hK f x y K f x h y hKhy y K K K K 输 出 x1,y1?n N1 0 1 01;,n Nx x y y 结 束YN 1
19、)0( )10(2 )1.0()43( y xyxyy hKR 步 长解 初 值 问 题公 式阶阶 、求例 4解 yxyyxf /2),( .2, ,2,2, ,46 213 121 3211 hKhKyhxfK KhyhxfK yxfK KKKhyy nn nn nnnn 例 题 4 xn Yn |yn-y(xn)| R-K3 误 差 y(xn)0.1 1.0959 0.0005 1.09544 0.45e-4 1.09540.2 1.1841 0.0009 1.18322 0.17e-4 1.18320.3 1.2662 0.0013 1.26491 0.15e-4 1.26490.4 1
20、.3434 0.0018 1.34165 0.48e-4 1.34160.5 1.4164 0.0022 1.41422 0.25e-4 1.41420.6 1.4860 0.0028 1.48326 0.55e-4 1.48320.7 1.5525 0.0033 1.54921 0.14e-4 1.54920.8 1.6165 0.0040 1.612478 0.21e-4 1.61250.9 1.6782 0.0049 1.67335 0.54e-4 1.67331.0 1.7379 0.0058 1.73209 0.06e-4 1.7321 xn Yn |yn-y(xn)| R-K4 误
21、 差 y(xn)0.1 1.0959 0.0005 1.09540.2 1.1841 0.0009 1.183217 0.17e-4 1.18320.3 1.2662 0.0013 1.26490.4 1.3434 0.0018 1.341642 0.42e-4 1.34160.5 1.4164 0.0022 1.41420.6 1.4860 0.0028 1.483242 0.42e-4 1.48320.7 1.5525 0.0033 1.54920.8 1.6165 0.0040 1.612455 0.45e-4 1.61250.9 1.6782 0.0049 1.67331.0 1.73
22、79 0.0058 1.732056 0.43e-4 1.7321 改 进 Euler法 一 步 需 要 计 算 两 个 函 数 值 (h=0.1)四 阶 Runge-Kutta方 法 一 步 需 要 计 算 四 个 函 数 值( h=0.2)总 计 算 量 大 致 相 当 , 但 四 阶 Runge-Kutta方 法 精 度更 高 五 、 变 步 长 Runge-Kutta方 法v从 每 一 步 看 , 步 长 越 小 , 截 断 误 差 越 小 ; 但 随 着步 长 的 缩 小 , 在 一 定 求 解 范 围 内 所 要 完 成 的 步 数就 会 增 加 , 步 数 的 增 加 不 但 引
23、 起 计 算 量 的 增 大 ,而 且 可 能 导 致 舍 入 误 差 的 严 重 积 累 , 因 此 需 要 选择 步 长如 何 衡 量 和 检 验 计 算 结 果 的 精 度如 何 依 据 所 判 定 的 精 度 来 处 理 步 长 实 施 方 案v以 经 典 四 阶 Runge-Kutta方 法 为 例 155 15 1 ( )( )( )( ) , hn nhnn nx h yChC y x x x n+1设 从 节 点 出 发 , 先 以 为 步 长 求 出 一 个 近 似 值 , 记 为因 为 经 典 格 式 的 局 部 截 断 误 差 为 O(h ),因 此 有y(x )-y其
24、中 与 在 内 的 值 有 关 21 12 ( )+ hn n nh x x y 将 步 长 折 半 , 即 取 为 步 长 从 跨 两 步 到 , 求 得 一 个 近 似 值5 52 1 22 2( )( ) , ( )hnh hC C n+1每 跨 一 步 截 断 误 差 是 有 y(x )-y 21 11 1 116116( )( )( )( ) hn nhn ny x yy x y 步 长 折 半 后 , 误 差 大 约 减 少 为 原 来 的 , 即 有2 2 1 1 1 1115( ) ( ) ( )( ) h h hn n n ny x y y y 事 后 估 计 式 为 v可 以 通 过 检 查 步 长 折 半 前 后 两 次 计 算 结 果 的 偏 差21 1( ) ( )= h hn ny y 来 判 断 所 选 取 的 步 长 是 否 合 适 , ( 1) 对 于 给 定 的 精 度 , 如 果 则 反 复 将 步 长 折 半进 行 计 算 直 至 为 止 , 这 时 取 折 半 以 后 的 “ 新 值 ”作 为 结 果 ;( 2) 如 果 , 则 反 复 将 步 长 加 倍 , 直 至 为 止 , 这 时 取 步 长 加 倍 前 的 “ 老 值 ” 作 为 结 果 变 步 长 方 法
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