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1、概率论课后习题答案概率论与数理统计习题及答案 习题 一4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-P (A )-P (A -B )=1-0.7-0.3=0.66.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P （A B C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14
2、+14+13-112=3413. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i =恰有i 个白球（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A =故 232322()()()35P A A P A P A =+=23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B A B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -=+
3、- 0.70.510.70.60.54-=+-33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i =第i 人能破译（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A =-=-42310.6534=-?= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A =飞机被击落，B i =恰
4、有i 人击中飞机，i =0,1,2,3由全概率公式，得3 ()(|)()i i i P A P A B P B =(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7 =0.458习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X = 故所求分布律为 4.（1） 设随机变量X 的分布律为P
5、X =k =!k ak，其中k =0，1，2，0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为P X =k =a/N ， k =1，2，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 1()e !kk k P X k a a k = 故 ea -= (2) 由分布律的性质知111()N Nk k aP X k a N=即 1a =.8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P X =1=P X =2，求概率P X =4. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()3324
6、3P X =. 21.设X N （3，22），（1） 求P 222X P X P -?11(1)(1)1220.841310.69150.5328?=-=-+ ? ?=-+=433103(410)222X P X P -?-770.999622?=-=? ?(|2)(2)(2)P X P X P X =+323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P -?=+?=-+-=+- ? ? ? ?=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P -=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X N （10.05,0.062）,规
7、定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?-=?1(2)(2)21(2)0.0456=-+-=-=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x -?+?（1） 求常数A ，B ；（2） 求P X 2，P X 3； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x +-=?=?得11A B =?=-?（2） 2(2)(2)1e P X F -=-33(3)1(3)1(
8、1e )e P X F -=-=-=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x -?=?44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？【解】1,16()50,x f x ?24(40)(2)(2)(2)5P X P X P X P X -=+-=习题三（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表(2) 因20.40.20.8P X P Y =? 0.160.15(2,0.4),P X Y = 故X 与Y 不独立.习题四1.设随机变量X 的分布律为求【解】(1) 1
9、1111()(1)012;82842E X =-?+?+?+?= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-?+?+?+?=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=?+=5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=?-求E （X ），D （X ）. 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +-=+-?21332011 1.33x x x ?=+-=?122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +-=+-=? 故 221()()().6D XE X E X =-=7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=?-?=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?=习题七2.设总体X 的密度函数f （x ,）=22(),0,0,.x x ?-所以的极大似然估计值为 7?2=
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