2021方程与函数的综合题

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1、方程与函数的综合题方程与函数的综合问题【经典范例引路】例1 如图，设直线y -x b （b 0）与开口向上的抛物线y ax 2相交于点A （x 1，y 1）、B（x 2，y 2），与x 轴相交于C （x 3，0），与y 轴相交手点D （1）求证：11x +21x =31x ，y 1y 2b 2；（2）当B 为DC 的中点时，求ab 的值；（3）取a 1，当 AD DB 21时，求b 的值 解 （1）证明：A 、B 是直线y=-x+b 与抛物线的交点，（x 1，y 1），（x 2，y 2）是方程组?=+-=2,ax y b x y 的解， 故x 1，x 2是方程ax 2+x-b 0的两根，由根与

2、系数的关系得：x 1+x 2= -a 1, x 12x 2= -a b,又直线y -x b 与x 轴交于点C （x 3，0）， x 3b ， 11x +21x =2121x x x x ?+= -a 1/-a b =b 1=31x ；y 1y 2=ax 122ax 22=a 22(x 12x 2)2=a 22(-a b)2=b 2.（2）作BE x 轴于E ，DB=BC, 21OD=BE,OE=21OC ，D(0,b),C(b,0)B(21b, 21b). 又点B 在抛物线y ax 2上， 21b a 2（21b ）2?ab 2（3）过A 点作AF x 轴于F ，AD DB 2：1，OF OE

3、 21x 1x 2-21， 又x 1+x 2= -a 1= -1. x 1= -2,x 2=1, b=-x 12x 2=2。 【解题技巧点拨】此类问题常见的形式和解题方法是：用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；利用函数研究方程的根与系数之间的关系；利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。 【综合能力训练】1若一元二次方程x 2-2x-m 0无实数根，则一次函数y （m+1）x m 1的图像不经过（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限（2001，黄冈市）2已知抛

4、物线y x 22（k 1）x-k 与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x 1的两侧，则k 的取值范围是 （2001年，温州市）3（1）若抛物线y ax 2+x+2经过点（-1，0）求a 的值，并写出这个抛物线的顶点坐标；若点P （t ，t ）在抛物线上，则点P 叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标（2）当 a 取a 1时，抛物线y ax 2x 2与 x 轴正半轴交于点M （m ，0）；当 a 取a 2时，抛物线y ax 2+x+2与x 轴正半轴交于点N （n ，0），若点M 在点N 的左边，试比较a 1和a 2的大小（2000，南京市） 4在平面直角坐标系的x 轴上有两

5、点A （x 1，0），B （x 2，0），在y 轴上有一点C ，已知x 1，x 2是方程x 2-m 2x 50的两根，且x 12+x 22=26,ABC 的面积是9，（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求图象过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式（2000，嘉兴市） 5设 x 1、x 是方程2x 24mx （2m 2-4m-3）0的两个实数根（1）若y x 12+x 22,求y 与m 之间的函数关系式及自变量m 的取值范围（2）画出（1）题中的函数y 的图象，观察图象，说明函数y 有没有最小值或最大值，如果有，求出最大值或最小值；如果没有，请说明理由 6已知：关于x 的函数y （a 2

6、3a 2）x 2（a 1）x 十41的图象与x 轴总有交点 （1）求a 的取值范围；（2）设函数的图象与x 轴有两个不同的交点A 、B ，其坐标为A （x 1，O ）、B （x 2，O ），当11x +21x a 2-3时，求a 的值（2001，十堰市） 7已知：二次函数的图像经过 A （1，0）和点B （2，1），且与y 轴交点的纵坐标为m（1）若m 为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图像与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围；（3）若二次函数的图像截直线y -x+1所得线段的长为 22，确定m 的值（2001，北京市东城区） 8已知二次函数y x 2（2m+4）

7、x （m+2）（m-2）的图象与y 轴的交点 C 在原点下方，与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，点A 、点B 到原点O 的距离分别为OA 与OB （1）求证：OB-OA 2m 4；（2）确定实数m 的取值范围；（3）若3（OB OA ）20A 2OB ，求此二次函数的解析式 9已知，x 1、x 2是关于x 的方程x 2-3x m 0两个不相等的实数根，设S x 12+x 22（1）求S 关于m 的函数解析式，并求自变量m 的取值范围；（2）当函数值S 7时，求x 13+8x 2的值. 10已知抛物线y x 2（k-2）x+1的顶点为 M ，与x 轴交于A （a ，0），B （b

8、 ，0）两点，且k 2（a 2+ka+1）（b 2kb 1）0，（1）求k 的值；（2）已知抛物线上是否存在点N ，使ABN 面积为43？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由 【创新备考训练】11已知：抛物线 y x 2-2x 6m 和直线y -2x+6+m ，它们的一个交点的纵坐标为4.（1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图，直线y kx （k 0）与（1）中的抛物线交于两个不同的点A 、B ，与（1）中的直线交于点P ，分别过A 、B 、P 作x 轴的垂线，设垂足分别为A 、B 、P ，试用含k 的代数式表示1OA +1OB ，并证明：1OA +1OB =2OP ；（3）在（2

9、）中能否适当选取k 的值，使A A B B 8，如果能，求出此时k 的值；如果不能请说明理由 12在直角坐标系xoy 中，二次函数y=21x 2+43nx+2-m 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在点B 的左边若ACB 90AO CO +CO BO =1.（1）求点C 的坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案：作一条与y 轴不重合、与ABC 的两边相交的直线，使得截得的三角形与ABC 相似，并且面积是AOC 面积的四分之一。求所截得的三角形三个顶点的坐标（不要求证明）13如图，抛物线y ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C

10、，且线段长度有：OB 2OA 2OC （1）求代数式abc 的值；（2）若直线y ax b 经过A 、B 、C 中的一点，求证：对一切实数x ，代数式ax 2bx c 的值不大于169 14已知一抛物线经过O （0，0）、B （1，1）两点，且解析式的二次项系数为-a1(a 0)求该抛物线的解析式（系数用含a 的代数式表示）；（2）已知点A （0，1），若抛物线与射线AB 相交于点M ，与x 轴相交于点N （异于原点），求点M 、N 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，问：当 a 在什么范围内取值时，ON+BM 的值为常数？当a 在什么范围内取值时，ON-BM 的值也为常数

11、？（2001，南昌市） 15已知二次函数y 1=x 2-2x-3（1）结合函数y 1的图象，确定当x 取什么值时，y 10， y 10，y 10；（2）根据（1）的结论，确定函数y 2=21（|y 1|y 1）关于x 的解析式;（3）若一次函数y kx b （k 0）的图象与函数y 2的图象交于三个不同的点，试确定实数k 与b 应满足的条件（2002，天津市） 16已知：抛物线y=x 2-（a 2）x+9的顶点在x 轴上（1）求a 的值；（2）当a 0时，该抛物线与直线y x+9交于A 、B 两点，且A 点在B 点左侧，求A 、B 两点的坐标；（3）P 为（2）中线段AB 上的点（A 、B 两

12、端点除外），过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ，线段 AB 上是否存在点P ，使 PQ 的长等于 6，若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，说明理由（2002，北京市宣武区） 参考答案【综合能力训练】1.A2.k3.(1) a=-1,(21,49)(2,2),(-2,2) (2)a 1=2)2(m m +- a 2=22n n +,a 1-a 2=22)(22(n m n m n m mn -+9，无最大值 6.(1)a(3)y=x 2-2x-3 9.(1)S= -2m+9,m49 (2)21 10.(1)k= -2 (2)存在，N 1(2+7,4) N 2(2-7,4) 11.(1)y

13、=x 2-2x+4,y= -2x+8;(2)OA +OB =2+k,OA 2OB =4,OP =k +28代入即证：(3)k=2时，A A+B B=8 12.（1）由AOC COB ?CO 2=AO 2BO ?m=4或m=2（舍去） C(0,-2),y=21x 2+23x-2;(2)方案1：分别取AO ，AC 的中点D ，D ，连结DD ，则ADD 为所求，此时A(-4,0),D(-2,0),D (-2,-1);方案2：在CA 上截取CE ，使CE=CO=2，在CB 上截取CF ，使CF=BO=1，连结EF ，则CEF 为所求，此时C （0，-2），E （-545，-2+525），F （55，-2+525） 13.（1）abc= -41;(2)证y=ax+b 必经过C 点，求得a= -1,c=21,b=21,y= -x 2+21x+21= -(x-41)2+169169 14.(1)y= -a 1x 2+(1+a1)x;(2)M(a,1),N(a+1,0);(3)当03时，y 10；当x= -1或x=3时，y 1=0;当-1-x 2+2x+3;(3)?+-?+-