结构力学14超静定总论

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1、 基 本 解 法 的 分 类 和 比 较 基 本 解 法 的 推 广 和 联 合 应 用 混 合 法 与 近 似 法 超 静 定 结 构 的 特 性 关 于 计 算 简 图 的 补 充 讨 论第 十 四 章 14-1 超 静 定 结 构 解 法 的 分 类 和 比 较力 法 类 型 位 移 法 类 型基 本 形 式 力 法 位 移 法能 量 形 式 余 能 法 势 能 法渐 近 形 式 （ 渐 近 力 法 ） 力 矩 分 配 法 、 无 剪 力 分 配 法手算电 算 矩 阵 形 式 （ 矩 阵 力 法 ） 矩 阵 位 移 法说 明 ： 手 算 时 ， 凡 是 多 余 约 束 多 、 结 点 位

2、 移 少 的 结 构 用 位 移 法 ； 反 之 用 力 法 。结 构 形 式 适 宜 的 方 法超 静 定 桁 架 、 超 静 定 拱 力 法连 续 梁 、 无 侧 移 刚 架 力 矩 分 配 法 有 侧 移 刚 架 位 移 法 无 剪 力 分 配 法 、 联 合 法 14-2 基 本 解 法 的 推 广 和 联 合 应 用一 、 力 法 中 采 用 超 静 定 结 构 的 基 本 体 系 X1画 M1、 MP有 现 成 的 公式 可 用二 、 位 移 法 中 采 用 复 杂 单 元 只 需 推 倒 复 杂 单 元 的 刚 度方 程 ， 整 体 分 析 按 常 规 步骤 进 行 。 变 截

3、面 单 元 变 截 面 单 元单 拱单 元 三 、 几 种 方 法 的 联 合 应 用 （ 各 取 所 长 ）4I 4I5I3I 3IA B C DE F20kN/m4I 4I5I3I 3IA B C DE F20kN/m 4I 4I5I3I 3IA B C DE F =1例 题 12-10 试 用 联 合 法 求图 示 刚 架 的 弯 矩 图 。 F1Pk11用 力 矩 分 配 法 ，并 求 出 F1P、 k1101111 PFk再 叠 加 M图 。 例 、 联 合 应 用 力 矩 分 配 法 与 位 移 法 求 等 截 面 连 续 梁 结 构 的 弯 矩 图 。8m 4m 4m 4m 4m

4、 2mA B E C F D G20kN/m 100kN 20kN分 析 图 示 结 构 中 E点 处 有 竖 向 线 位 移 ， 故 不 能 直 接 应 用 力 矩 分配 法 ， 可 利 用 位 移 法 与 力 矩 分 配 法 联 合 进 行 计 算 。选 E点 竖 向 线 位 移 为 位 移 法 基 本 未 知 量 ， B、 C点 角 位 移 用力 矩 分 配 法 计 算 。解 ： （ 1） 取 E点 竖 向 线 位 移 为 位 移 法 基 本 未 知 量 k FP11 1 1 0 典 型 方 程 为 ：（ 2） 用 力 矩 分 配 法 求 基 本 体 系 ， 在 荷 载 作 用 下 的

5、弯 矩 图 8m 4m 4m 4m 4m 2mA B E C F D G20kN/m 100kN 20kN杆 件 相 对 线 刚 度 i EIAB 8 i EIBE 4 i EIEC 4 i EICD 8杆 端 分 配 系 数 BA 25 BE 35 CE 23 CD 13固 端 弯 矩 M M qlAB BA 212 20 812 10672 . kN.mM Pl m CD 316 2 3 100 816 20 130kN.mMDC 20 2 40 kN.m 23 133525-106.7 106.7 -130 40-42.68 -64.02-21.34-128.0 64.0 -64.0 4

6、3.386.786.7 -86.7 40128 64 86.7 73.3 40 7535 841. FP FP1 377 . kN.m （ 3） 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 的 弯 矩 图1 1 时 ， 梁 端 固 端 弯 矩 ：1 1M i l iBE 3 34 M i l iCE 3 3423 133525 -0.75 0.750.3 0.450.150.15 0.3 -0.3 -0.5 -0.250.25 -0.25 0.15i 0.3i 0.25i0275 8411. i k k i11 01375 . A B E C F D G （ 4） 代 入 典 型 方 程 得01375

7、 377 01. .i 1 2742 .i（ 5） 求 作 连 续 梁 弯 矩 图 M M MP 1 1169.1 18.3 18.3 40170.9160 128 64 86.7 73.3 400.15i 0.3i 0.25i 还 有 其 它 形 式 的 联 合 应 用 ， 如 力 法 与 位 移 法 的 联 合 ， 力 法 与力 矩 分 配 法 的 联 合 ， 力 矩 分 配 法 与 无 剪 力 分 配 法 的 联 合 等 。 X1力 法 与 力 矩 分 配 法 的 联 合 画 M可 用 力矩 分 配 法 求 画 MP可用 公 式 求力 法 与 位 移 法 的 联 合 P P/2 P/2

8、P/2 P/2 对称 反对称对 称 问 题 按 位移 法 或 力 矩 分配 法 计 算 ， 反对 称 问 题 按 力法 或 无 剪 切 分配 法 计 算 。 14-3 混 合 法混 合 法 的 基 本 特 点 是 ： 基 本 未 知 量 中 既 有 位 移 ， 又 有 力 。两 个 多 余未 知 力 ，五 个 结 点位 移 。 用力 法 作 。 六 个 多 余未 知 力 ，两 个 结 点位 移 。 用位 移 法 作 。合 理 的 方 法 是 混 合 法 ：基 本 未 知 量 ： X1 X234 X2X1 3 4基 本 方 程 ： 变 形 条 件 、 平 衡 条 件 。变 形 条 件 ： 002

9、424323222121 1414313212111 PPXX XX 平 衡 条 件 ： 0,0 0,0 DFDEDBD BDBCBAB MMMM MMMM ABC DE F 20kN/m4m 4m8m 4m4m3m 20kN/m X12例 15-1 20kN/mX1=1M37160 MP001212111 BDBCBA PMMM X 3.11073272326432323531 340051604114333160531 22111 P 72112 110.3X1+72+3400=01607 1 XMBD ,414 22M BC ,3434 22M BA 7X1+42 160=0 X1= 3

10、0.32= 12.55上 部 M图 由 叠加 得 到 ,下 部 杆端 弯 矩 由 刚 度方 程 得 到 。 69.91 50.21 = 37.65= 12.55 MAB=1.52MCD=0.52 = 18.83= 6.2837.6518.83 12.556.28 M图(kN.M) EI=3EI=1EI=3EI=1BA CD 14-4 近 似 法一 、 分 层 法 （ 适 用 于 竖 向 荷 载 作 用 ） 两 个 近 似 假 设 1） 忽 略 侧 移 ， 用 力 矩 分 配 法 计 算 。2） 忽 略 每 层 梁 的 竖 向 荷 载 对 其 它 各 层 的 影 响 ， 把 多 层 刚 架 分

11、成 一 层 一 层 地 计 算 。 除 底 层 柱 底 外 ， 其 余 各 柱 端 是弹 性 固 定 端 。 故 将 上 层 各 柱 的i 0.9,传 递 系 数 改 为 1/3。 柱 的 弯 矩 为 相 邻 两 层 叠 加 。刚 结 点 上 不 平 衡 弯 矩 大 时 ，可 再 进 行 一 次 力 矩 分 配 。 h2/2h2/2二 、 反 弯 点 法 （ 适 用 于 水 平 荷 载 作 用 下 的 强 梁 弱 柱 结 构 ）P Q1 Q2 Q2h2/2 khiQ 212QQ1=k1，Q2=k2， PP kkQ iii 反 弯 点 法 （ 剪 力 分 配 法 ） 的 要 点 ：1） 适 用

12、于 水 平 荷 载 作 用 下 的 强 梁 弱 柱 结 构 （ ib3ic） ；2） 假 设 ： 横 梁 为 刚 性 梁 ， 结 点 无 转 角 ， 只 有 侧 移 。3） 各 层 的 总 剪 力 按 各 柱 侧 移 刚 度 成 比 例 地 分 配 到 各 柱 。4） 上 层 各 柱 的 反 弯 点 在 柱 中 点 处 ， 底 层 柱 的 反 弯 点 常 设 在 柱 的 2/3高 度 处 。5） 柱 端 弯 矩 由 柱 的 剪 力 和 反 弯 点 的 位 置 确 定 。 边 跨 结 点 梁 端 弯 矩 由 平 衡 条 件 确 定 ， 中 间 结 点 两 侧 梁 端 弯 矩 ， 按 梁 的 转

13、动 刚 度 分 配 不 平 衡 力 矩 得 到 。 假 设 ： 横 梁 为 刚 性 梁 ； 结 点 无 转 角 。 柱 的 反 弯 点 在 其 中 点 。Q 1+Q2=P 1212 1515例 14-2 用 反 弯 点 法 计 算 图 示 结 构 ,并 画 弯 矩 图 .8kN17kN 解 :设 柱 的 反 弯 点 在 中 间 .1)求 428.0232 3 ,288.0232 2 EH IFGD 4.0343 4 ,3.0343 3 EH CFAD 顶 层 :底 层 :1)求 各 柱 剪 力QGD=QIF=0.288 8=2.29kNQ HE=0.428 8=3.42kNQAD=QCF=0.

14、3 25=7.5kNQBE=0.4 25=10kN 8kN17kN 3.6m 4.5m 3.3m3.6mA B CD E FG H I3.783.78 3.78 3.785.645.6413.5 13.5 13.513.518183.7817.28 m=MEH+MEB= 5.64 18 = 23.64MED=23.64 12/27=10 1MEF=23.64 17/27=13.13M图(kN.m) 14-5 超 静 定 结 构 的 特 性 1、 超 静 定 结 构 是 有 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体 系 ；2、 超 静 定 结 构 的 全 部 内 力 和 反 力 仅 有 平 衡 条

15、 件 求 不 出 ， 还必 须 考 虑 变 形 条 件 ； 如 在 力 法 计 算 中 ， 多 余 未 知 力 由 力 法 方 程 （ 变 形 条 件 ）计 算 。 再 由 M=MiXi+MP 叠 加 内 力 图 。 如 只 考 虑 平 衡 条 件 画出 单 位 弯 矩 图 和 荷 载 弯 矩 图 ， Xi是 没 有 确 定 的 任 意 值 。因 此 单 就 满 足 平 衡 条 件 来 说 ， 超 静 定 结 构 有 无 穷 多 组 解 答 。3、 超 静 定 结 构 的 内 力 与 材 料 的 物 理 性 能 和 截 面 的 几 何 特 征有 关 ， 即 与 刚 度 有 关 。 荷 载 引

16、起 的 内 力 与 各 杆 的 刚 度 比 值 有 关 。 因 此 在 设 计 超静 定 结 构 时 须 事 先 假 定 截 面 尺 寸 ， 才 能 求 出 内 力 ； 然 后 再 根 据 内 力 重 新 选 择 截 面 。 另 外 ， 也 可 通 过 调 整 各 杆 刚 度 比 值 达 到 调 整 内 力 的 目 的 。 8m 6m20kN/mI1I2 I2I1=2I253.3 53.3106.7 20kN/mI1I2 I2I1I20 106.7 020kN/mI1I2 I2I1I2106.7 106.753.3 20kN/mI1I2 I2I1=1.5I280 8080 一 般 情 况 下

17、,非 荷 载 外 因 引 起 的 内 力 与 各 杆 的 刚 度 绝 对 值成 反 比 。 因 此 ,为 了 提 高 结 构 对 温 度 改 变 和 支 座 移 动 等 因 素 的 抵 抗能 力 ， 增 大 结 构 截 面 尺 寸 ， 不 是 明 智 的 选 择 。 工 程 实 践 应 用 ： 1） 设 计 结 构 要 注 意 防 止 、 消 除 或 减 轻 自 内 力 的 影 响 。 （ 设 置 沉 降 缝 、 温 度 缝 ） 2） 利 用 自 内 力 来 调 节 超 静 定 结 构 的 内 力 。 （ 预 应 力 结 构 ）4、 温 度 改 变 、 支 座 移 动 、 材 料 收 缩 、

18、制 造 误 差 等 因 素 对 超静 定 结 构 会 产 生 内 力 。 (自 内 力 状 态 ) ijXi+iC+it=0 i=1， 2， nij与 各 杆 刚 度 成 反 比 ， iC与 刚 度 无 关 ， it由 下 式 计 算 dsNtdsMhtit 0 l/2 l/2Pl/4 PPPPPl/4 5、 超 静 定 结 构 的 多 余 约 束 破 坏 ， 仍 能 继 续 承 载 。 具 有 较高 的 防 御 能 力 。6、 超 静 定 结 构 的 整 体 性 好 ， 在 局 部 荷 载 作 用 下 可 以 减 小局 部 的 内 力 幅 值 和 位 移 幅 值 。 Pl P22 )( lE

19、IPcr 多 余 约 束 约 束 的 存 在 ，使 结 构 的 强 度 、 刚 度 、 稳定 性 都 有 所 提 高 。=1 =1/2 14-6 关 于 计 算 简 图 的 进 一 步 讨 论 (1)取 平 面 单 元 计 算 对 于 棱 柱 形 结 构 （ 沿 纵 向 横 截 面 不 变 ）和 由 一 系 列 平 面 单 元 组 成 的 结 构 ， 可 取 一 平 面 单 元 计 算 。(2)沿 横 向 和 纵 向 分 别 按 平 面 结 构 计 算 纵向刚架 横向刚架柱平面布置1、 结 构 体 系 的 简 化 2、 杆 件 的 简 化一 般 原 则 ： 杆 件 简 化 为 轴 线 ， 杆

20、件 之 间 的 连 接 简 化 为 结 点 ，杆 长 用 结 点 间 距 表 示 ， 荷 载 作 用 在 轴 线 上 。补 充 ： 1） 以 直 杆 代 替 微 弯 或 微 折 的 杆 件 。 梁 截 面 形 心 不 是 直 线 ， 柱 截 面 形 心 不 是 竖 直 线 。按 以 上 简 图 计 算 的 内 力 是 计 算 简 图 轴 线 上 的 内 力 。 h 柱高l 跨 度 lN 上 下 柱 截 面 形 心 连 线 不 是 一 条 直 线 。 在 计 算 简 图 上 用 一 条直 线 表 示 。 如 柱 顶 为 刚 结 ， 取 上 柱 轴 线 为 柱 的 轴 线 ， 如 柱 顶 为铰 结

21、 ， 取 下 柱 轴 线 为 柱 的 轴 线 。2） 以 实 体 杆 件 代 替 格 构 式 杆 件 。实 体 梁 代 替 屋 架屋 架 按 桁 架 计 算 3） 杆 件 的 刚 度 简 化 如 在 计 算 刚 架 的 位 移 时 ， 忽 略 轴 向 变 形 的 影 响 。 当 刚 架 的 横 梁 刚 度 远 大 于 竖 柱 刚 度 且 受 水 平 荷 载 作 用 时 ，假 设 横 梁 刚 度 为 无 穷 大 。3、 结 点 的 简 化常 将 结 点 简 化 铰 结 点 、 刚 结 点 和 组 合 结 点 。确 定 结 点 简 图 时 ， 首 先 要 考 虑 结 点 的 构 造 情 况 ， 还

22、 要 考 虑结 构 的 几 何 组 成 情 况 。 按 桁 架 计 算 按 刚 架 计 算桁 架 的 几 何 不 变 性 依 赖 于 杆 件 的 布 置 ， 而 不 依 赖 于 结 点 的 刚 性 。刚 架 的 几 何 不 变 性 依 赖 于 依 赖 于 结 点 的 刚 性 。 另 外 ， 当 杆 件 与 杆 件 的 结合 区 较 小 时 ， 不 考 虑 结 合 区 尺寸 的 影 响 ， 将 其 简 化 成 一 个 结点 ； 当 结 合 区 较 大 时 （ 如 大 于杆 长 的 1/5） ， 则 应 考 虑 结 合区 尺 寸 的 影 响 。 一 种 粗 略 的 考虑 方 法 将 结 合 区 看

23、 作 刚 性 区 。4、 支 座 的 简 化 支 座 还 可 简 化 成 弹 性 支 座 ， 可提 供 反 力 ， 也 产 生 相 应 的 位 移 。 反力 与 位 移 的 比 值 称 为 弹 性 支 座 的 刚度 。 当 支 座 刚 度 与 结 构 刚 度 相 近 时应 简 化 成 弹 性 支 座 较 适 宜 。 结 构 内 部 相 邻 构 件 之 间 互 为 弹性 支 承 。 支 座 的 刚 度 取 决 于 这 些 相 邻 部 分 的 刚 度 。 当 支 座 刚 度 远 大 于该 构 件 的 刚 度 时 ， 支 座 可 简 化 为 理 想 支 座 。 l/2 l/2EI EA aA B A BEIlEAak 481 3 kk=3iBCiBCiBAA B PA B PA B P