天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第八第新讲

《天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第八第新讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第八第新讲（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1 2 8-1 弹性体的应力、位移与应变考虑一三维弹性体，设材料均匀，各向同性。取无穷小dx,dy,dzz x yO dy dxdz zx yOdz dy dx yz yx yzxyzx zyx xzv应力分量 Tx y z xy yz zx 复 习 ： 描 述 弹 性 体 物 体 一 点 的 应 力 、 应 变 及 位 移 的 物 理 量 3 弹 性 体 一 点 九 个 应 力 分 量 用 矩 阵 表 示 如 下 ：x xy xzyx y yzzx zy z 其 中 剪 力 ： xy yx xz zx yz zy 应 力 ： Tx y z xy yz zx 对 于 不 同 的 问 题 比 如

2、 ： 受 力 以 及 几 何 形 状 的 特 殊 性 ， 会 造 成 应 力 分 布 出现 特 殊 性 。 4 v位移分量： wvu zx o ywuv描 述 三 维 空 间 中 一 点的 位 移 应 当 有 三 个 方向 的 物 理 量 xyz 结 构 受 到 的 外 力 以 及 几 何 形 状 具 有 一 些 特 殊 性 时 ， 将 会 造 成 位 移 分 布 的特 殊 性 。 使 得 我 们 可 以 根 据 实 际 情 况 引 入 变 形 的 一 些 假 定 条 件 。譬 如 ： 梁 理 论 当 中 的 平 断 面 假 定 条 件 等 。 5 v应变分量线应变剪应变可表示为： zxyzx

3、yzyx或 zzyzx yzyyx xzxyx 2121 2121 2121x y z dy zx ydyO Oydy yz 6 8-2 平 面 应 力 问 题 及 其 基 本 方 程 式v平面应力问题0 z zx zy 板 只 有 xoy平 面 内 分 量 且 均 与 z坐 标 无 关 Tx y xy Tu v Tx y xy 1） 几 何 特 征 ： 均 匀 薄 板 。 即 一 个 方 向 的 尺 度 远 小 于 另 外 两 个 方 向 的 尺 度 。2） 受 力 特 征 ： 面 积 力 外 力 均 匀 作 用 在 板 的 周 边 上 且 平 行 于 xoy平 面 。 体 积 力 均 作

4、用 于 xoy平 面 之 内 。3） 应 力 分 布 的 特 点 ：4） 描 述 一 点 的 位 移 及 应 变 的 分 量 ：求 解 平 面 问 题 及 求 解 结 构 在 受 力 后 的 应 力 、 应 变 及 位 移 共 8个 未 知 函 数oy z xzx z zy一薄板，外力沿板厚均匀分布 7 求 解 弹 性 的 基 本 方 程（ 1） 静 力 平 衡 方 程 式 （ 力 与 外 力 之 间 平 衡 关 系 ）（ 2） 几 何 方 程 式 （ 位 移 与 应 变 之 间 的 关 系 ）（ 3） 物 理 方 程 式 （ 应 力 与 应 变 之 间 的 关 系 ）（ 4） 位 移 边 界

5、 条 件（ 5） 力 的 边 界 条 件 8 v求解平面问题的基本方程静力平衡方程式如图，考虑一微块dx,dy，设板厚为1，作用有均匀体积力x xx dxx y yy dyy xy xyxy dxx yx yxyx dyy 00Ydxdydxdyxdxdyy Xdxdydxdyydxdyx xyy yxx x方向，与y方向方程式:或： 00Yyx Xyx yxy yxx 以上二方程式称为“纳维叶（Navier)”方程式y xody dxY X 9x xy yxy 取平板边缘三角形微块，其外法线方向余弦为： xNl ,cos yNm ,cosX向静力方平衡程式：02 2 lmdsXmdsldsd

6、sp yxxx 略去高阶微量后，得： yyxy xyxx pml pml 此式为“静力边界条件”y xo ABC Y X Npy pxv求解平面问题的基本条件静力边界条件lds mds 10uu dxx 如图：abcd变形前位置，abcd为变形后位置ab在xoy平面中转角为xuxvdxxudx dxxvtg 1 yuxvxy 略去与1比的微量 ，得 xu /xv / yu /同理vv dxx vv dyy uu dyy a bcd a bcdy xo dxdy v u v求解平面问题的基本条件几何方程式( )x uu dx u uxdx x ( )y vv dy v vydy y 11应 变

7、协 调 方 程 式 为 ： xvyuyxyx vyx uxy yx 223232222 yxxy xyyx 22222可 得 ：应 变 分 量 只 有 满 足 这 个 方 程 式 才 能 保 证 弹 性 体 变 形 的 连 续 性在 什 么 情 况 下 使 用 该 方 程 式 ？ 又 称 为 “ 柯 西 （ Cauchy)方 程 式” yuxvyvxuxyyx可 得 ： 从 数 学 角 度 ， 从 力 学 角 度 分 析 上 述 方 程 。与 应 力 相 对 应 的 连 续 位 移 是 否 存 在 的 充 分必 要 条 件 12 v物 理 方 程 式 （ 应 力 、 应 变 间 相 互 关 系

8、 ） 111x x y zy y x z z z x yxyxy yzyz zxzx ( )E ( )E ( )E ,G ,GG 1100 x x yy y xxyxyyzzx EEG 已 知 弹 性 体 应 力 求 应 变 （ 1） Tx y xy T x y z xy x yz ( )E 0z zx zy 0zx zy 13 xyyxxyyx E 2100 01 011 2 D “弹 性 矩 阵 ” 2100 01 011 2 ED 22211 012 1 0 x x y zy y x zz z x yxy xy yz zx E ( )E ( )E ( )E 已知弹性体应变求应力（ 2）

9、14 对于正交异性的弹性体,应力与应变关系为: G EE EExyxy xxxyyy yyyxxx xyxy xxyyxyy yyxyxxx G EE 11 xyyxx yxxyy yyxxxyyx EGE 100 0011 x yxxyy yyxx EGED 100 0011 D为正交弹性体的正交矩阵 15 00Yyx Xyx yxy yxx x y xyu v u vx y y x x yx xxy y yl m pl m p xyyxxyyx E 2100 01 011 2 yxxy xyyx 22222 uC s 力的平衡条件几何条件变形协调条件物理条件 力边界条件位移边界条件 16

10、(1)弹 性 体 在 什 么 情 况 下 成 为 平 面 应 力 问 题(2)描 述 平 面 应 力 问 题 弹 性 体 的 基 本 物 理量(3)求 解 平 面 应 力 问 题 的 基 本 方 程(4)求 解 平 面 应 力 问 题 的 基 本 方 法 17 基 本 指 导 思 想 ： 认 为 弹 性 体 是 有 限 个 单 元 的 组 合 体 有 限 元 采 用 解 题 方 法 位 移 法 8-3 解 题 方 法 及 有 限 元 法 的 概 念有 限 元 的 基 本 概 念v结 构 的 离 散 化将 连 续 的 结 构 离 散 成 有 限 个 单 元 形 成 节 点 、 边（ 原 结 构

11、） （ 离 散 化 模 型 ） 18 离 散 后 ： 位 移 ： 各 单 元 仅 在 节 点 与 其 它 单 元 连 接 在 单 元 边 上 保 持 位 移 连 续 最 好 ， 至 少 变 形 后 相 连 。 力 ： 在 单 元 内 保 持 力 的 平 衡 条 件 、 在 单 元 间 保 持 节 点 力 的 平 衡 边 界 上 满 足 边 界 节 点 上 的 位 移 边 界 条 件 及 相 当 的 力 的 边 界 条 件 。理 想 状 态 下 ： 位 移 ： 离 散 节 点 前 后 各 单 元 内 及 单 元 之 间 位 移 保 持 连 续 ； 力 ： 在 单 元 内 及 单 元 之 间 各

12、处 均 应 保 持 力 的 平 衡 条 件 边 界 上 满 足 一 切 位 移 及 力 的 边 界 条 件 。一 般 弹 性 体 的 结 构 离 散 与 杆 系 结 构 离 散 的 区 别 19v设 定 单 元 的 位 移 函 数 该 位 移 函 数 的 特 点 ： 不 是 单 元 的 真 实 位 移 有 限 元 采 用 解 题 方 法 位 移 法基 本 未 知 量 ： 节 点 的 位 移平 面 问 题 一 个 节 点 的 位 移 自 由 度 2个 节 点 力 的 个 数 2个 Tu ,v Tx yF ,Fv建 立 节 点 位 移 与 节 点 力 之 间 的 关 系 （ 单 元 刚 度 矩 阵

13、 ）解 决 问 题 的 途 径 ： 李 兹 法 （ 1） 假 设 单 元 内 部 位 移 的 形 状 函 数 （ 将 节 点 位 移 作 为 待 定 参 数 ） （ 2） 利 用 虚 功 原 理 求 出 单 元 刚 度 矩 阵 20 v分 布 外 力 的 移 置 平 面 应 力 问 题 ： 体 积 力 及 面 积 力 ： 求 解 这 些 外 力 的 等 效 节 点v建 立 节 点 力 平 衡 方 程 式 形 成 类 似 矩 阵 法 的 节 点 力 平 衡 方 程 式 矩 阵 表 达 形 式 k P v约 束 处 理 求 解 节 点 位 移 21 8-4 三 角 形 单 元 的 位 移 函 数

14、与 刚 度 矩 阵v节 点 位 移 与 节 点 力 mmjjiimjie uuuuvu ymxmyjxjyiximjie FFFFFFFFFF 节 点 位 移 ：节 点 力 ： oy xmi jvm umvj ujvi ui 22 v 位移函数 1 2 3u x,y x y 4 5 6,v x y x y 166212 Hd vud yxyxH 1000 0001 1 2 3 4 5 6 T 1 2 3i i iu x y 1 2 3j j ju x y 1 2 3m m mu x y 4 5 6i i iv x y 4 5 6j j jv x y 4 5 6m m mv x y 式 中 ：将

15、 三 节 点 i,j,m坐 标 代 入 （ 1） 式 ：将 单 元 内 部 位 移 用 节 点 位 移 表 示 之 2 1 6 12 6d ? 23 6543211000 0001 1000 0001 1000 0001 mmmm jjjj iiiimmjjii yxyx xxyx yxyxvuvuvu 6 6 6 16 1e A eA 1 mji mji mji mji mji mji ccc bbb aaa ccc bbb aaaA 000 000 000 000 000 000211 简 记 为 ：其 中 ：（3） 24位 移 矩 阵 jmmji yxyxa mji yyb jmi xx

16、c miimj yxyxa imj yyb mij xxc ijjim yxyxa jim yyb ijm xxc mm jj ii yx yx yx11121 1 6 1 2 62 1 6 1e eH Ad N 0 0 01 0 0 02 i i i j j j m m mi i i j j j m m ma bx cy a bx c y a b x c yN a bx cy a bx c y a b x c y 为 三 角 形 i,j,m面 积（4）得 i j mN N N 2 62 1 6 1jj ii m mN Nd N 25 v单 元 应 变 ( 几 何 矩 阵 ） mmjjiimm

17、jjii mji mjixyyx uuvuvubcbcbc ccc bbbyuxv yvxu 000 00021 3 1 3 6 6 1eB mmjjii mji mji bcbcbc ccc bbbB 000 00021 用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：或 ：式 中 ： 几 何 矩 阵 用 节 点 位 移 表 达 的 单 元 应变 26 3 1 3 3 3 6 3 66 1 6 1e eD B S 22 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2i i j j m mi i j j m mi i j j m mb c b c b cES b c b c b c( )

18、c b c b c b D（2）v单 元 应 变 （ 用 节 点 位 移 表 示 的 单 元 应 力 ）根 据 虎 克 定 律 的 矩 阵 表 示 式 3 1 3 6 6 1eB 应 力 矩 阵 i j mS S S S 27 v单 元 刚 度 矩 阵 （ 表 示 节 点 位 移 与 节 点 力 关 系 矩 阵 ）求 解 单 元 刚 度 矩 阵 的 方 法 ： 虚 功 原 理 eee KF eTee FW eB TT Te e eV tdxdy B D B tdxdy e eVWe 基 本 公 式 ：给 节 点 虚 位 移 ： e 真 实 应 变 ： eB 即 ： 节 点 力 在 虚 位 移

19、上 所 作 的 虚 功 =虚 位 移 引 起 单 元 内 部 的 虚 应 变 能单 元 上 真 实 的 节 点 位 移 ：真 实 应 力 ： eD B 相 应 的 虚 应 变 ：节 点 力 在 虚 位 移 上 所 作 的 虚 功 ：虚 位 移 引 起 单 元 内 部 的 虚 应 变 能eVWe Te eF T Te eB D B tdxdy 28 进 行 比 较 得 ： TTeK t B D B dxdy t B D B 将 B、 D代 入 上 式 ： mjis mjirbbcccbbc bccbccbbEtK srsrsrsr srsrsrsrrs , ,2121 2121)1(4 2 式中

20、单 元 刚 度 矩 阵 ： eK Te e e eF B D B tdxdy K ii ij ime ji jj jmmi mj mmK K KK K K KK K K 分 割 子 矩 阵 Trs srK K ii jjK K 、对 称 、 奇 异 、 稀 疏 矩 阵 29 v位 移 函 数 与 收 敛 准 则位 移 函 数 要 在 单 元 中 连 续 ， 在 边 界 上 保 持 位 移 协 调 ；位 移 函 数 应 能 包 括 单 元 的 常 位 移 （ 刚 体 位 移 ） ；位 移 函 数 必 须 能 反 映 单 元 的 常 应 变 状 态 。q满 足 第 一 条 件 的 单 元 称 为

21、“ 协 调 元 ” （ compatible element)q满 足 第 二 、 三 条 件 的 单 元 称 为 “ 完 备 元 ” （ complete element)收 敛 准 则 :经 严 格 证 明 协 调 、 完 备 元 随 着 网 格 的 不 断 加 密 ， 其 解 是 收 敛 的 。完 备 非 协 调 元 同 样 收 敛 。 30 （ 1） 三 角 形 单 元 属 于 什 么 类 型 的 单 元 ？三 角 形 单 元 位 移 函 数 的 讨 论 ：（ 2） 三 角 形 单 元 位 移 函 数 的 假 定 ： 在 同 一 个 单 元 内 应 变 及 应 力 均 为 常 数 。

22、对 应 力 变 化 梯 度 较 大 的 结 构 而 言 精 度 较 差 。（ 3） 在 单 元 划 分 时 应 注 意 以 下 两 点 ： 疏 密 程 度 合 理 三 角 形 三 个 边 长 差 别 不 易 过 大（ 4） 线 性 结 构 的 单 元 N 、 B 、 S 、 K 与 单 元 的 位 移 函 数 及 节 点 几 何 坐 标 位 置 有 关 。 31 8-5 结 构 刚 度 矩 阵 本 节 通 过 单 元 节 点 的 力 的 平 衡 关 系 来 建 立 结 构 的 平衡 式 ， 包 括 结 构 刚 度 矩 阵 的 建 立 。取 出 节 点 i， 列 出 x,y方 向 力 的 平 衡

23、 方 程 式 ： 1 21 2( ) ( )xi ixi xi( ) ( )yi iyi yiF F F XF F F Y ii PF (1)(2) (1)(2)i iX iY 1( )yiF 2( )yiF 2( )xiF 1( )xiFmm jjm n nii iYiX xiF yiF 32 该 结 构 共 有 两 个 单 元 ， 外 力 只 作 用 于 i节 点 之 上 。对 于 其 它 节 点 同 样 可 列 出 相 应 的 方 程 式 。 将 这 些 方 程 式合 并 一 齐 用 矩 阵 表 达 ， 形 成 整 个 结 构 的 节 点 力 平 衡 方 程 。其 形 式 如 下 ： F

24、 P iF 外 力 列 阵 ， 每 一 个 节 点 有 2行 。 应 包 括 ： 直 接 作 用 在 节 点 上 的 外 力 、 支 座 反 力 及 等 效 节 点 力 。 P 各 单 元 因 节 点 发 生 可 能 位 移而 产 生 的 节 点 力 之 合 。可 由 各 单 元 刚 度 矩 阵 依 对 号 入 座 方 式形 成其 中 ： 33 nininnnjnn inijii nj nj pPPPKKKK KKKK KKKK KKKK 212121 21 222221 111211 式 中 Kij为 单 元 刚 度 阵 的 子 矩 阵，上 式 可 简 记 为 ： PK nnnn 12122

25、2 K 结 构 总 刚 度 矩 阵 具 有 n个 节 点 的 结 构 ,总 节 点 力 平 衡 方 程 式 为 ：注 意 ： 总 刚 度 矩 阵 具 有 与 上 章 所 述 相 同 的 性 质 。 对 称 性 、 稀 疏 性 、 奇 异 性 。 行 列 个 数 2n 34 单 元 （ 1） i-j-m 1-3-4例 1：划 分 4个 单 元 )1(4 )1(3 )1(1431)1(44)1(43)1(41 )1(34)1(33)1(31 )1(14)1(13)1(11 FFFKKK KKK KKK )2(3 )2(2 )2(1321)2(33)2(32)2(31 )2(23)2(22)2(21

26、 )2(13)2(12)2(11 FFFKKK KKK KKK )3(5 )3(2 )3(3523)3(55)3(52)3(53 )3(25)3(22)3(23 )3(35)3(32)3(33 FFFKKK KKK KKK )4(5 )4(3 )4(4534)4(55)4(53)4(54 )4(35)4(33)4(34 )4(45)4(43)4(44 FFFKKK KKK KKK 单 元 （ 2） i-j-m 1-2-3 单 元 （ 3） i-j-m 3-2-5单 元 （ 4） i-j-m 4-3-5(1)(2)(3)(4)3 列 出 其 单 元 刚 度 矩 阵 ：注 意 节 点 顺 序 号

27、与 单 刚 位 置 关 系 35 5)4(5)3(5 4)4(4)1(4 3)4(3)3(3)2(3)1(3 2)3(2)2(2 1)2(1)1(1 PFF PFF PFFFF PFF PFF )4(55)3(55)4(54)4(53)3(53)3(52 )4(45)4(44)1(44)4(43)1(43)1(41 )4(35)3(35)4(34)1(34)4(33)3(33)2(33)1(33)3(32)2(32)2(31)1(31 )3(25)3(23)2(23)3(22)2(22)2(21 )1(14)2(13)1(13)2(12)2(11)1(11 0 0 0 0KKKKKK KKKK

28、KK KKKKKKKKKKKK KKKKKK KKKKKKK 列 出 各 节 点 平 衡 方 程 式：将 各 单 元 的 刚 度 矩 阵 带 入 上 式 ， 并 写 成 （ 1） 的 形 式 ： 即得 总 刚 度 矩 阵 ： 36 8-6 外载荷处理v单 元 中 分 布 力 的 移 置单 元 上 受 到 的 体 积 力 与 面 积 力 等 效 到 节 点 上 力 的 计 算（ 1） 单 元 上 体 积 力 的 等 效 计 算 计 算 原 则 虚 功 原 理 。 当 两 个 力 系 在 同 一 个 可 能 发 生 的 虚 位 移 上 所 做 的 虚 功 相 等 时 ， 这 两 个 力 系 静 力

29、 等 效 。设 ： 三 角 形 平 面 单 元 受 均 匀 分 布 力 ， 其 合 力 Q作 用 于 形 心 处 mP jP iP 1i Txi yi xj yj xm ymP P P P P P P e PW W 131 iPQ 3i j m QP P P Q 37 1 0 0 TT Tee i j mA AijA m iAW d qdxdy q N N N dxdyNq q N dxN dxdyN dy 1 0 0 iTeP j imPW P P PP i x i ci y i cb S b xc S c y01 0212 23 i i i i i iA i i i i i x i y A

30、 (a b x c y)q dxdy(a b x c y)qq (a b x c y) dxdy ( a b S c S )Q eD B ed N e id N N 1 0 0T Te i j m 外 力 作 用 下 ：给 节 点 i单 位 的 虚 位 移 ： 有 ： iP iAq N dxdy 38 v单 元 边 界 力 的 移 置 ：设 :三 角 形 单 元 的 某 边 界 有 分 布 外 力 ， 其 合 力 为 Q， 作 用 在 B点 ，三 节 点 等 效 力 为 求如 图 ： mji PPP , iP令虚位移 1i 得：ijjiijji llQPllQP 或,1同 理：0, m iji

31、j PllQP Q jl il ijlijm 1i 39均布载荷三角形载荷梯形载荷ijji qlPP 21 ijii lqP 31 ijij lqP 61, ijjii lqqP )2(61 ijjij lqqP )2(61 xy ijlij iq iqjqq 40 8-7 解题过程与例题v解题过程结构的离散；计算单元的刚度矩阵计算结构总刚度矩阵建立外力矩阵约束处理求解节点位移计算单元应力支座反力计算和节点力平衡的检验 41 v例题例 1 一 悬 臂 梁 ， 尺 寸 与 受 力 情 况 如 图 （ a） 所 示 ， 将 其 离 散 为 四 个 三 角形 组 成 的 机 构 ， 其 计 算 图

32、形 如 图 （ b） ， 求 各 节 点 的 位 移 与 各 三 角 形 的 应力 。 已 知 ： L=100cm, 板 厚 t=1cm, q=200N/mm (从 而 P=10 N), E=2 105 N/mm, u=0.3 2 56L l ppy x(3)(4) (1) (2) 541 23q(a) (b)L 42 mjis mjirbbcccbbc bccbccbbEtK srsrsrsr srsrsrsrrs , ,2121 2121)1(4 2 解：（1）计算单元刚度矩阵：01 x1 0y 2 100 x cm02 y 3 50 x cm 当 r=s=1时 ,求 337521 111

33、1 ccbb 1 1 1 11 16252c b b c 250050100211 91.0 102)1(4 312 Et 37091786 1786370910233751625 1625337591.0102 33)1(11K 3 50y cm 1 3 250cm 100cm1 111 12 131 21 22 2331 32 33( ) ( )( ) K K KK K K KK K K 50321 yyb 50231 xxc50132 yyb 50312 xxc50213 yyb 100123 xxc 1 11( )K 43 1786137 1371786102 3)1(21K 5495

34、1648 19231923102 3)1(31K 37091786 17863709102 3)1(22K 54951648 19231923102 3)1(32K 109890 03846102 3)1(33K 1 112 21( ) ( ) TK K 1 113 31( ) ( ) TK K 1 123 32( ) ( ) TK K 1 1 111 12 131 1 1 321 22 231 1 11 2 3 31 32 33 37091786 37091786 137 37091 2 10 137 1786 1786 37091923 1923 1923 1923 38461648 54

35、95 1648 5495 0 10989( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )K K K( ) K K KK K KK 同理计 及故得 44 同 理 384601923192319231923 109891648549516485495 370917861786137 37091371786 370917863709102 3)2(33)2(35)2(32 )2(53)2(55252 )2(23)2(25)2(22352 )2(称对KKK KKK KKKK 1098905495164854951648 38461923192319231923 37091786178

36、6137 37091371786 370917863709102 3)3(33)3(34)3(35 )3(43)3(44)3(45 )3(53)3(54)3(55345 )3(称对KKK KKK KKKK 384601923192319231923 109891648549516485495 370917861786137 37091371786 370917863709102 3 )4(33)4(31)4(34 )4(13)4(11414 )4(43)4(41)4(44314 )4(称对KKK KKK KKKK 45 74183571178613774183571178613700 7418

37、137178635717418137178600 7418357174183571001786137 741835717418001371786 296707418357174183571 29673571741835717418 741835711786137 74181371786 741835717418102 3称对 )3()2(55)3(54)3()2(53)2(52 )3(45)4()3(44)4()3(43)4(41 )3()2(35)4()3(34)4()3()2()1(33)2()1(32)4()1(31 )2(25)2()1(23)2()1(22)1(21 )4(14)4(

38、)1(13)1(12)4()1(110 0 0 0 KKKK KKKK KKKKK KKKK KKKKK计 算 总 刚 度 矩 阵 010000010 646115544332211 xyxRRRvuvuvuvuvu 节 点 平 衡 方 程 式 46 求 节 点 位 移 07692.03846.03846.03846.03846.0 198.20099.13296.0099.13296.0 6594.003296.0099.13296.0099.1102 5)1(S 22332211)1()1()1( /62.7 78.21200/3.762 9.217720000 mmNcmNvuvuvuSxyyx 同 理 (2),(3),(4)应 力 (N/mm2)为 : 3 2200002178762( ) . N / mm. 2)2( /016.1462.207 mmN 2)4( /071.57 38.192 mmN, ,