两类曲线积分与格林公式-习题

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1、两 类 曲 线 积 分 习 题 课曲 线 积 分 对 弧 长 的 曲 线 积 分对 坐 标 的 曲 线 积 分格 林 公 式曲 线 积 分 与 路 径 无 关 1.定 义 ： 第 一 类 曲 线 积 分 （ 又 称 对 弧 长 的 曲 线 积 分 ）iini iL sfdsyxf ),(lim),( 10 2.存 在 条 件 ： .),( ,),( 存 在对 弧 长 的 曲 线 积 分 上 连 续 时在 光 滑 曲 线 弧当 L dsyxf Lyxf3.推 广曲 线 积 分 为 上 对 弧 长 的在 空 间 曲 线 弧函 数 ),( zyxf .),(lim),( 10 ini iii sfd

2、szyxf 一 、 基 本 内 容 第 一 类 曲 线 积 分 的 计 算 )( )()()(),(),( ,)(),( )(),( ),( ,),( 22 dtttttfdsyxf tt tty txL LyxfL 则上 具 有 一 阶 连 续 导 数在 其 中的 参 数 方 程 为 上 有 定 义 且 连 续在 曲 线 弧设 ;.1 一 定 要 小 于 上 限定 积 分 的 下 限 .,),(.2 而 是 相 互 有 关 的不 彼 此 独 立中 yxyxf 推 广 )().(),(),(: ttztytx )( )()()()(),(),( ),( 222 dtttttttf dszyxf

3、 .)(:)2( dycyxL .)(1),(),( 2 dyyyyfdsyxf dcL )( dc 特 殊 情 形 .)(:)1( bxaxyL .)(1)(,),( 2 dxxxxfdsyxf baL )( ba 几 何 与 物 理 意 义 ,),()1( 的 线 密 度 时表 示当 Lyx ;),( L dsyxM ;,1),()2( LdsLyxf 弧 长时当 ,),( ),()3( 处 的 高 时柱 面 在 点 上 的表 示 立 于当 yx Lyxf .),( L dsyxfS柱 面 面 积 s L ),( yxfz ,)4( 轴 的 转 动 惯 量轴 及曲 线 弧 对 yx .,

4、22 LyLx dsxIdsyI 曲 线 弧 的 重 心 坐 标)5( ., LLLL dsdsyydsdsxx 存 在 条 件 ： ., ),(),(第 二 类 曲 线 积 分 存 在上 连 续 时 在 光 滑 曲 线 弧当 LyxQyxP L LL dyyxQdxyxP dyyxQdxyxP ),(),( ),(),( ., jdyidxdsjQiPF 其 中 . L dsF第 二 类 曲 线 积 分 （ 又 称 对 坐 标 的 曲 线 积 分 ） 推 广 空 间 有 向 曲 线 弧 .),(lim),( 10 iiini i xPdxzyxP . RdzQdyPdx .),(lim),(

5、 10 iiini i yQdyzyxQ .),(lim),( 10 iiini i zRdzzyxR 性 质 .,)1( 21 21 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx LLL 则和分 成如 果 把 则有 向 曲 线 弧 方 向 相 反 的是 与是 有 向 曲 线 弧设 , ,)2( LLL LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),( 对 坐 标 的 曲 线 积 分 与 曲 线 的 方 向 有 关 . 第 二 类 曲 线 积 分 的 计 算 ,),(),( ,0)()(, )(),( ,),(, ),( ),(, ),(),( 22 存 在 则 曲 线

6、 积 分且续 导 数 一 阶 连为 端 点 的 闭 区 间 上 具 有及在 以 运 动 到 终 点沿的 起 点从点时到 变单 调 地 由当 参 数的 参 数 方 程 为续 上 有 定 义 且 连在 曲 线 弧设 L dyyxQdxyxP tttt BLALyxM tty txL LyxQyxP 定 理 特 殊 情 形 .)(:)1( baxxyyL ， 终 点 为起 点 为 .)()(,)(, dxxyxyxQxyxPQdyPdx baL 则 .)(:)2( dcyyxxL ， 终 点 为起 点 为 .),()(),( dyyyxQyxyyxPQdyPdx dcL 则 dttttQtttP d

7、yyxQdxyxPL )()(),()()(),( ),(),( 且 .,)( )( )(:)3( 终 点起 点推 广 ttz ty tx dtttttR ttttQ ttttP RdzQdyPdx )()(),(),( )()(),(),( )()(),(),( 格 林 公 式2.它 是 Newton-Leibniz公 式 在 二 重 积 分 情 形 下 的 推 广 .1.G reen公 式 的 实 质 ： 沟 通 了 沿 闭 曲 线 的 第 二 类 曲 线积 分 与 该 闭 曲 线 所 围 的 闭 区 域 上 的 二 重 积 分 的 之 间的 联 系 。 定 理 设 D 是 单 连 通 域

8、 , ),(),( yxQyxP 在 D 内具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,(1)沿 D 中 任 意 光 滑 闭 曲 线 L,有 .0dd L yQxP(2)对 D 中 任 一 分 段 光 滑 曲 线 L,曲 线 积 分(3) yQxP dd ),( yxuyQxPyxu dd),(d (4)在 D 内 每 一 点 都 有 .xQyP L yQxP dd与 路 径 无 关 , 只 与 起 止 点 有 关 . 函 数则 以 下 四 个 条 件 等 价 :在 D 内 是 某 一 函 数 的 全 微 分 ,即 ,d22 L yx se计 算 ,: 222 ayxL 由 圆 周轴及直 线 xxy

9、 在 第 一 象 限 中 所 围 图 形 的 边 界 . AB L yx se d22 BOABOA提 示解 :OA ,0y OA yx se d22 xs d01d 2:AB ,sin,cos ayax 40 seAB yx d22 d40 aea xea xd0 1ae aae4,0 ax xyO例二 、 例 题 AB:BO ,xy seBO yx d22 xs d11d 2 xea x d2220 2 1ae L yx se d22故 aa aee 4)1(2 .220 ax xyO 例 L syx .d)( 3 其 中 L是 圆 周 .222 Ryx 解 LL sysx dd 3 L

10、syx d)( 3,dL sx对 因 积 分 曲 线 L关 于被 积 函 数 x是 L上 0d L sxL sy ,d3对被 积 函 数 0d3 L sy因 积 分 曲 线 L关 于3y 222 Ryx 对 称 性 ,计 算 得 0是 L上 y轴 对 称 ,关 于 x的 奇 函 数x轴 对 称 ,关 于 y的 奇 函 数 xyO dds 例 计 算 ,)( 222 dszyxI 其 中 为 球 面解 , 1 141)21(21: 22 zx yx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d229 20 I d2cos221 z . 1的 交 线与 平 面 zx29222 z

11、yx 化 为 参 数 方 程 21cos2 x sin2 y 例 计 算 其 中 L为 ,)()( 22 L yx dyyxdxyxI解 圆 周 : ， 方 向 沿 逆 时 针 .222 ayx L a dyyxdxyxI 2 )()( ),20:(sincos: ttay taxL dttt )cos(sin 220 2 dt 20 2 dta tatatatatata 20 2 )cos)(sincos()sin)(sincos( 方 向 。为 半 径 的 圆 周 ， 逆 时 针） 为 圆 心 ，： 以 （ ，： 计 算例 )1(01 4 22 RRL yx ydxxdyL解 xQyx x

12、yyPyx 222 22 )4( 4)0,0(),( 时 ，当 04,1)1( 22 yx ydxxdyR 时当 取 逆 时 针 方 向 。内 ，在且 足 够 小 ， 使 得其 中 ：作 曲 线时当 CLCr ry rxCR ,0 ,sin2 cos,1)2( CCL yx ydxxdyyx ydxxdy 2222原 式 dr rrrr 20 24 )sin(sin2cos2cos0 20 21 d 例 问 是 否 为 全 微 分 式 ?yyxexxe yy d)2(d)( 求 其 一 个 原 函 数 .如 是 ,解 在 全 平 面 成 立 .xQeyP y 所 以 上 式 是 全 微 分 式

13、 . 222 yxex y 因 而 一 个 原 函 数 是 ： 全 平 面 为 单 连 通 域 ，yyxexxeyxu yyx y d)2(d)(),( ),( )0,0( yyxey y d)2(0 xxex d)(0 0 xyO法 一 )0,(x(x,y) 这 个 原 函 数 也 可 用 下 法 “ 分 组 ” 凑 出 : 222d yxxey 222),( yxexyxu y yyxexxe yy d)2(d)( )dd( yxexe yy )(d yxe )d2d( yyxx 222d yx ),( yxu法 二 因 为 函 数 u满 足 Pxexu y 故 yy 2)( 从 而所 以

14、 , Cyxxeyxu y 222),(问 是 否 为 全 微 分 式 ?yyxexxe yy d)2(d)( 求 其 一 个 原 函 数 .如 是 , xxeu y d)( 22xxey )(y由 此 得 yxey 2 y的 待 定 函 数法 三 ( )ye x y uy 2( ) 2 dy y y y C 。试 求 恒 有任 意 与 积 分 路 径 无 关 ， 且 对且 曲 线 积 分 导 数 ，平 面 上 有 连 续 的 一 阶 偏在例 设 函 数 ),( ),(2),(2, ,),(2 ),( ),1( )0,0()1,( )0,0( yxQ dyyxQxydxdyyxQxydxt d

15、yyxQxydx xOyyxQ tt L xyPxQ xyyxP2 2),( 件 得， 由 积 分 与 路 径 无 关 条解 法 一 ： 设 )(),( 2 yCxyxQ )1,( )0,0( ),(2t dyyxQxydx 10210 2 )()( dyyCtdyyCt ),1( )0,0( ),(2t dyyxQxydx tt dyyCtdyyC 00 2 )()(1 t dyyCtdyyCt 0102 )()(由 题 设 得 ： )(12 tCtt 求 导 得 ： 两 边 对 .12),(12)( 2 yxyxQttC ),(,2),( ),(2 yxQyuxyyxPxu yxu 使存

16、在 函 数 由 积 分 与 路 径 无 关 ，解 法 )(2),( 2 yfyxxydxyxu )(),( 2 yfxyxQ 由 已 知 积 分 等 式 得 ： )()1(),1()1,( 2 tftfttutu 12)()(12 ttftftt求 导 得 ： 两 边 对 .12),( 2 yxyxQ 。功 最 大 ？ 并 求 此 最 大 功 所 做 的一 点 时 ， 使的 第 一 卦 限 部 分 上 的 哪沿 直 线 移 动 到 曲 面原 点 ， 问 将 质 点 从已 知 力 场例 FczbyaxO kxyjzxiyzF 1. 222222 ),( wvuA一 点 为设 曲 面 上 OA x

17、ydzzxdyyzdxW )(000000: twzvyuxOA 解 ： OA xydzzxdyyzdxW )(000000: twzvyuxOA 10:,: twtzvtyutxOA 10 )()()()()()( wtdvtutvtdutwtutdwtvt 1 0 23 dttuvw uvw )1( 222222 cwbvauuvwF ),3,3,3( cba .33abcW )1( 222222 cwbvauuvwF 1 02 02 02 222222 222cwbvau cwuvF bvuwF auvwFwvu 222222 cwbvau 31 选 择 题 ： ).(),( )()(

18、)(),()()( )(:.1 L dxyxf AB BAtty txL则 ， 终 点 为中 始 点 为的 有 向 光 滑 曲 线 段 ， 其 是 一 连 接 两 点已 知 dttttfDtdtttfC dtttfBdtttfA )()(),(.)()(),(. )(),(.)(),(. D .),(),(.3 ）径 无 关 的 充 要 条 件 是 （ 域 内 与 路在分连 续 偏 导 数 ， 则 曲 线 积 上 具 有 一 阶在 单 连 通 区 域设 函 数 DQdyPdx DyxQyxP L yPxQDxPyQCxPyQByPxQA . D ).(,).2 22的 圆 周 ， 则 积 分

19、是半 径 为 是 圆 心 在 原 点 、其 中（曲 线 积 分a CdsyxC 3332 4.2.2. aDaCaBaA C ).(),1,0( ,)0,1(:1 )cossin()sincos2(.5 22 2 IB AyxBA dyxyxdxxyyxI BA则 弧为 位 于 第 一 象 限 中 的 圆其 中 弧 ，曲 线 积 分 2.2.1.0. DCBA C ).(2,1,),(,),(.4 212222 ， 则，的 同 向 光 滑 闭 曲 线 ， 记 是 两 条 包 围 原 点 iQdyPdxI CCyx yxyxQyx yxyxP iCi .,. .0.0. 2121 212121 而 定的 大 小 关 系 视与 CCIID IICIIBIIA B