2023年九年级数学中考专题训练——二次函数相似三角形（附答案）

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1、中考专题训练二次函数相似三角形1.如图，抛物线y=-x?+3/4与x轴交于4,8两点（点4位于点8的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴/与x轴交于点M长为1的线段市点。位于点的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.直接写出4 B,C三点的坐标；求 取。仆08的最小值；过 点。作以八y轴于点M,当 CPM和 08/I/相似时，求点。的坐标.2.如图,抛物线v=ar2+法+3（”x 0）与x轴交于点4（1,0）和点8（-3,0）,与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.（1）求抛物线的解析式；（2）点户是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点。在射线ED上，若以点只。、E为顶

2、点的三角形与/O C相似，请直接写出点。的坐标.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：丁 =6 2+法+C.H 0）经过点（1,1）和（4,1）.（1）求抛物线C的对称轴.（2）当a=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线G.求抛物线G的解析式.设抛物线G与*轴交于A,B两 点（点A在点8的右侧），与 轴交于点C,连接3 c.点。为第一象限内抛物线G上一动点，过点。作DELOA于点E.设点D的横坐标为m.是否存在点D,使得以点。，D,E为顶点的三角形与汨如相似，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系x勿中，批物线y=x?-4x+a（a

3、+、必=6 6 2+”（a o,o）的图像分别为G、G,G交y轴于点尸，点A在G上，且位于轴右侧，直线/力与G在）轴左侧的交点为8.（1）若P点的坐标为（O,2）,G的顶点坐标为（2,4）,求”的值;（2）设直线P A与轴所夹的角为a.当。=4 5。，且A为G的顶点时，求助的值;PA若a =9 O。，试说明：当，、各自取不同的值时，言的值不变;试卷第4页，共9页(3)若PA=2尸3,试判断点A是否为G的顶点？请说明理由.1 0.如图1,抛物线丫=一3。+2尸+6与抛物线必=一/+；a+，一2相交y轴于点C,抛物线X与x轴交于4 8两 点(点8在点4的右侧)，直 线=履+3交x轴负半轴于点乂交y

4、轴于点K且 OC=O N.(1)求抛物线X的解析式与 的值;(2)抛物线M的对称轴交x轴于点。，连接A C,在x轴上方的对称轴上找一点使以点4D,E为顶点的三角形与小OC相似，求出OE的长；(3)如图2,过抛物线,上的动点G作G HLx轴于点”，交直线内=丘+3于点0,若点。是点。关于直线MG的对称点，是否存在点G(不与点C重合)，使点Q落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由.11.如图，抛物线y=f+6 x+c交X轴于B,c两点，交y轴于点A直线y=-x+3经过点A,8.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线A8下方的抛物线上一动点，过点P作P E L t轴于点E

5、交直线A3于点长设点产的横坐标为人若PF=3PE,求m的值；（3）N是第一象限对称轴右侧抛物线上的一点，连接BN,AC,抛物线的对称轴上是否存在点加.使得ABMN与小OC相似，且4M V为直角，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.一312.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-7於3的图象与x轴交于点4与y轴交于8点，抛物线y=经过48两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作C_Lx轴于点G交直线四于点（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点。，使 得%和 彳 宏 相 似？若存在，请求出点，的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2,尸是第一象限内抛物线上的动点（不与点重

6、合），点G是线段48上的动点.连接DF,FG,当四边形%G厂是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.713.如图1,的三个顶点4、0、8分别落在抛物线E：丫 =5产+的图象上，点力的横坐标为-4,点8的纵坐标为-2.（点A在点8的左侧）（1）求点4 8的坐标；将加8绕点。逆时针旋转9 0 得到阳，抛物线E：丫 =江+加+4经过4、8两点，已知点为抛物线B的对称轴上一定点，且点4恰好在以如为直径的圆上，连接。欣AM,求的面积；如 图2,延长。8 交抛物线E于点C,连接4 C,在坐标轴上是否存在点，使得以4 0、。为顶点的三角形与 C相似.若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.试

7、卷第6 页，共 9 页1 4 .如图，已知二次函数y =！(x +2)(a x +b)的图像过点A(4,3),B(4,4).4o(1)求二次函数的解析式：(2)求证：A C B 是直角三角形；(3)若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作 P H 垂直x 轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与A A B C 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.1 5 .如图已知二次函数图象的顶点坐标为直线尸+，”的图象与该二次函数的图象交于A B 两点，其中A 点坐标为停券)，8 点在.丫轴上，直线与x轴的交点为尸.尸为线段A B 上的一个动点(点户与4 2 不重合)，

8、过P 作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点.(1)求&，的值及这个二次函数的解析式；(2)设线段段的长为3 点户的横坐标为x,求 F与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)。为直线A 8与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段A 8上是否存在点P,使得以点P，E,。为顶点的三角形与力。尸相似？若存在，请求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.1 6 .如图，已知抛物线y=2 x、2与 x 轴交于A,B两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点C.（1）写出以A,B,C 为顶点的三角形面积；（2）过点E （0,6）且与x 轴平行的直线I 1 与抛物线相交，2于 M、N 两 点

9、（点 M 在点N的左侧），以M N 为一边，抛物线,7 V-万-kz-h上的任一点P 为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面 -/积为8 时，求出点P 的坐标；-/（3）过点D （m,0）（其中m 1）且与x 轴垂直的直线I?/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.A O/B D上有一点Q （点 Q 在第一象限），使得以Q,D,B为顶点的三角形和以B,C,0为顶点的三角形相似，求线段Q D 的长（用 含 m的代数式表示）.1 7 .如图，已知抛物线y=；x?+b x+4 与 x 轴相交于A、B两点，与 y 轴相交于点C,若已知A点的坐标为A （-2,（1）求抛物线的解析式及它的对称

10、轴方程；/（2）求点C的坐标，连接A C、B C 并求线段B C 所在直线 一-i:的解析式；/：（3）试判断A A O C 与A C O B 是否相似？并说明理由；：（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使A A C Q 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.1 8.如图，抛物线y=a x?+b x+c（a 右0）的图象过点C （0,1）,顶点为Q （2,3）,点 D 在 x 轴正半轴上，且 O D=O C.（1）求直线C D 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线C D 绕点C 逆时针方向旋转4 5所得直线与抛物线相交于另一点E,求证：C E Q

11、s/C D 0；（4）在（3）的条件下，若点P 是线段Q E 上的动点，点 F 是线段0 D 上的动点，问：在 P 点和F 点移动过程中，4 P C F 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.试卷第8 页，共 9 页1 9 .如图，直线A B 的解析式为y=2 x+4,交 x 轴于点A,交 y 轴于点B,以A为顶点的抛物线交直线A B 于点D,交 y 轴负半轴于点C（0,-4）.（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线A B 平移，此时顶点记为E,与y轴的交点记为F,求当4 B E F 与A B A O 相似时，E 点坐标；记平移后抛物线与A B 另一个

12、交点为G,则与S&8是否存在 8 倍的关系？若有请直接写出F 点的坐标.2 0 .如图，已知直线），=-2 +4 分别交x轴、）轴于点A、B,抛物线过A,B两点，点 P 是线段A B 上一动点，过点P 作 P C，x轴于点c,交抛物线于点D.（1）若抛物线的解析式为y=-2/+2 x+4,设其顶点为M,其对称轴交A B 于点N.求点M、N 的坐标；是否存在点P,使四边形M N P D 为菱形？并说明理由；（2）当点P 的横坐标为1 时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D 为顶点的三角形与“0 B相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.%参考答案：1.(1)4-1,

13、0),B(4,0),C(0,4)(2)63 is 3 is 3(3)(5,万)或(5,石)或弓,3+2卡)2-【分析】(1)由 =-9+3x+4 可得 A(-1,0),B(4,0),C(0,4)；(2)将 C(0,4)向下平移至C,使 C C=P Q,连接BC交抛物线的对称轴/于 Q,可知四边形CCQP是平行四边形，SW CP+PQ+BQ=CQ+PQ+BQ=BC+PQ,而 B,Q,C 共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC+PQ的值，由勾股定理可得8。=5,即得CP+PQ+2Q最小值为6；3 3 3 3(3)由在产-3+3/4 得抛物线对称轴为直 线 户-七=:,设。(=，/)，则。什

14、1),M(0,r+1),-2 2 2 23N(1,0),知 BN=。,QN=t,C M=t-3,当 端=瞿时，四 2=左，可解得 Q(。，2 2 2 QN 8N f 3 223-2zl得3-2-/-3-5-2r此-C万当(1)解：在 y=-/+3/+4 中，令 =0 得 y=4,令 y=0 得 x=-1 或 x=4,A(-1,0),B(4,0),C(0,4).(2)将。(0,4)向下平移至C,使C C=P Q,连 接 交 抛 物 线 的 对 称 轴/于。，如图所示:,:CC=PQ,CC PQ,四边形CCQP是平行四边形，CP=CQ,:.CP+PQ+BQ=CQ+PQ+BQ=BC+PQ,；B,Q,

15、C 共线，此时CP+PQ+B。最小，最小值为8C+PQ 的值,VC(0,4),CC=PQ=,，C(0,3),：B(4,0),8 c =7 7 =5,BC+PQ=5+1=6,CP+PQ+BQ最小值为6.(3)如图：由y=-x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线x=-=-,3 3 3设 Q(二，f),则 P(一，Z+1),M(0,z+1),N(-,0),2 2 2B (4,0),C(0,4)；5 3:BN=Q,QN=t,PM=,CM=t-3|,；NCMP=NQNB=90。,CPM和 刎 相 似,只嗡嚼嗡嚼,3 当 Q N 丽 时，-一 5,2解得 或 尸 ，2 o：.Q(-,竺)或(2,)；2 2

16、2 8当C MBNP MQ N时,M 25 =，2 t解得/=3t2#或f=3一班(舍去)，2 2 c,3 3 +2 后、.Q 则 P 点坐标为（-2,3）；当尸为直角顶点时，作 PMLEQ 于 M,P M=M E,即一机?_ 2 加+3-2 =-1一相，解得见=-2,w2=0（舍去）,则 P点坐标为（-2,3）；综上，P点坐标为（-1-夜,2）或（-2,3）.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程.3.(1)x=2.5；(2)y =-(x+l)(x-2)；1 或.后4【分析】(1)根据函数图

17、像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；(2)根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中“的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；根据条件求出A、8、C、。四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m 的值.【解析】解：(1)因为抛物线图像过(1,1)、(4,1)两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对 称 轴 是(1+4)+2=2.5,；(2)将 点(1,1)、(4,1)向左平移2个单位，再向下平移1 个单位，得 到(-1,0),(2,0),将 点(-1,0),(2,0),a-,根据交点式可求出。二次函数表达式

18、为y=-(x+D(x-2)；根据中的函数关系式，可得A (2,0),B(-1,0),C(0,2),D(m,-n +m+2),且团0由图像可知/BO C=Z DEO=9 0,则以点。，D,E为顶点的三角形与ABOC相似有两种情况，(i)当时，O E D E m -m2+m +2贝!=，即一=-O B O C 1 2解得帆=1 或-2 (舍),(i i)当 O O E s/CBO 时,O E D E m则=，即一=O C O B 2-tn2+m +21解得1 +-s/3 3 -1-/3 3m=-或一-(舍)4 4所以满足条件的m的值为1 或 上 叵.4【点评】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、

19、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键.4.(1)直线 X=2;(2)-y;(3)存在，点 0 的坐标为(-4,2 7)或-y )或(-；y ).【分析】(1)-4 工+=(x -2)2+a -4,即可求解；(2)求出直线AM 的解析式为y=-2 x+a,联立方程组可解得点。的坐标(j a,-1 )；AC 是以P、A、C、力为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点。关于原点对称，即 尸(=4,一；。)，将点4 2 43。)代入抛物线y=/-4 x+m 即可求解;分 里 二 空:3 刀 QG MN 9 3、两种情况分别求解即可,ISvJ 1V11 il V D【解析】解：

20、(1)Vy=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,抛物线的对称轴为直线x=2；(2)由 y=(X-2)2+a-4 W：A(0,)，M(2,a-4),2由 得 C(0,-a),设直线AM 的解析式为y=kx+a,将 M(2,a-4)代入 y=Ax+a 中，得 2 Z+a=a-4,解得k=-2,直线AM 的解析式为y=-2x+a,r o 3y=-2x+a x=a联 立 方 程 组 得.2，解得 4,y=-x-a 1r 3 y=2aD(-，一；a),4 2V/5 35 4 2.OQ=95，将x=9 代入y=-1X +3中，得y=“39 3 当/跳 户=2/8 4。时，存在点E,使得3G/=4 E F

21、 此时点E的坐标为(；，二).2 4【点评】此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的性质，两个一次函数交点坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质定理，是一道抛物线的综合题，较难.6.(1 )y=-x2+2x+3,0(1,4)；(2)5凤=1；存在，4(0,3),【分析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；(2)先求出BC的解析式y=-x+3,再设直线EF的解析式为y=x+,设点E的坐标为(肛-+2?+3),联立方程求出点F,G的坐标，根据BG2=C尸列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角

22、形面积公式求解即可；(3)过点A作A N L H B,先求得直线BD,A N的解析式，得至ij H,N的坐标，进而得到N，=4 5 ,设点一 2 +2+3),过点P作PRx轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR,证明AOPSS AO P B,根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标.解得【解析】(1)把点A (-1,0),C (0,3)代入丫=小-2利+。中,。+2。+。=0|c =3 a=-c=3/.y=-x2+2 x+3 ,解得当工=2=1时，y=4,2a (1,4)(2)v y =-x2+2 x +3令 y=(),/.x =-1,或 x=38(3,0)设BC的

23、解析式为丫=+匕(。0)将点C(0,3),8(3,0)代入,得jb=33k+b=Ofk=lb=3:.y=-x+3EFLCB设直线EF的解析式为y=x+b,设点E的坐标为(见-1+2m+3),将点E坐标代入、=%+匕中，得。=一6 2+m+3,：.y=x-nV+z +3fy=-x+3y=xtrr+？+3nr-mx=-2 rrr+6+6y=-I-2/m2 -in-nT2 +6/、：.F I -2-,-2-J把x=m代入y=_x +3/.G(m,一 7 +3)；BG=CFB G2=C F2即(m-3)2 +(3 2 =(年+(年解得m=2或m=-3 ,点E是BC上方抛物线上的点m=-3 舍去，点 E

24、(2,3),1(1,2),G(2,l)EF=V l2+12=夜F G=V l2+12=7 2=叠 x 0 x 夜=1(3)过点 A 作 A N J _H B,.点 (1,4),8(3,0)=-2+6 .点A(-1,0),点C(0,3)/.yAC=3 x +3y=x+3y=-2x+6把(-1,0)代入，得b=g1 1/.y=x+2 21 1y=x+2 2y=-2x+611x=一583:.Nn 8T 5:.AN =H NZH =45设点(,-/+2+3)过点P作 P R x 轴于点R,在 x 轴上作点S使得R S=P RN R SP =45且点 S 的坐标为(一 2+3 +3,0)若 N O P

25、B =N A H B =45在AOPS和 O P 8 中，q POS =N P O B Z O SP =O P B.h O P S s Q P B.O P O S.O P2=O B O S/i2+(n +l)2(n-3)2=3-(-M2+2 n +3).=0 或=24(0,3)1 +65+逐 2 2/f l-/5 5 3622【点评】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第 3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解.7.(1)-1-；-(2)y=_ 3 X+6(3)1-挛,o ,(1-2 6,0),坐-1,0 1，(5-2 石,0)3 2 2 3

26、 I 3 J I 3 J【分析】(1)根据5 =3 A O =3,得出4-1,0),8(3,0),将 4,8代入)，=与 +以+。得出关于。，c的二元一次方程组求解即可；(2)根据二次函数是 =乎/J 坐 x-。-省，BC =6 C D,8(3,0),得出。的横坐标为-6,o I J J 2 2代入抛物线解析式求出。(-6,6 +1)，设 8。得解析式为：y=kx+h,将 8,。代入求解即可；(3)由题意得s N ABQ=且，tanZ ADB=,由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与x 轴交点3为 M,P(1,)且 0,Q(x,0)且 x 3,分当 P 8 Q S A 4 8。时，当

27、P Q B s A B O 时，当 P Q B D A B时，当 P。8sZVIB力时四种情况讨论即可.【解析】解：(1),/B D=3 A O =3,：.A(-l,0),B(3,0),3+上,八-b+c=0627+9A/3.：-+3/7 +c =06*将 A,B 代入 y=x1+Zz x +c,得,c=-2 2.,.y/3 3 y/3 =-1-,C=-；3 2 2(2),二次函数是 y =1 +,BC =y/3C D 9 8(3,0),o 3 72 2。的横坐标为-6,代入抛物线解析式得y =x 3+i+#x 百-一 日3+走 二2 2 2=y/3+10(-6,6 +I),设 8。得解析式为

28、：y=b将 8,。代入得s/3+l =-y/3k+bQ =3k+bk_ B解得 3,b=y/3直线8。的解析式为y =-冬+6;(3)由题意得 l a n/A8 )=立，t a n N AO B=l,3由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与x 轴交点为M,P (1,)且0,Q(x,0)且 x /3,0),1,0,(5-27 3,0).)7【点评】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键.27 3 1 58.(1)(0,-3),(1,-4)；(2),(不一丁)；(3)G 点坐标存在，为(2,-3)或(4,5)或(-2,5)；(4)P

29、 点坐标存在，o 2 43 9为(一二,一二)或(T-2).4 4b 一 h【分析】(1)令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，由公式(一，竺 _)即可求出顶点M坐标；2a 4a(2)如下图所示，过N点作x轴的垂线交直线B C于Q点，设NS,/-2-3),求出B C解析式，进而得到Q点坐标，最后根据&BC N =t,N Q C +S QB即可求解；(3)设D点坐标为(l,t),G点坐标为(见加2%-3),然后分成DG是对角线；DB是对角线；DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；(4)连接A C,由C E=C B可知NB=NE,求出MC的解析式，设P(x,-x-3),然后根据小P E O相似

30、 A B C,分成悔F=C =笠FP 和F盥O =F3P讨论即可求解DA C OC DA【解析】解：令y=1-2 x-3中x=0,此时产-3,故C点坐标为(0,-3),又二次函数的顶点坐标为(-2/i,h)，代入数据解得M 点坐标为(1,-4),2a 4a故答案为：C 点坐标为(0,-3),M 点坐标为(1,-4)；(2)过 N 点作x 轴的垂线交直线BC于 Q 点，连接BN,C N,如下图所示：令 y=/-2 x-3 中)，=0,解得 B(3,0),A(-l,0),设直线B C 的解析式为：y=or+。，代入C(0,-3),B(3,0),解 得：=即直线BC的解析式为：y=x-3,0=3o+

31、Z?P=-3设 N 点坐标为(A?一 2 一 3),故 Q 点坐标为5,-3),其中0 3,则 S N lN Q C+SA N Q B =Q (XQ-Xc)+QN-(Xli-XQ)=YQN-(XQ-XC+XB-XQ)=Q N (XK-XC),其中%,今也分别表示Q,C,B三点的横坐标,且 QN=(-3)-(2 -2n-3)=-n2+3，xB-xc=3,j l/2c、c 3 2 3/3、，27 廿 _1 _，八 0ABGV=(-,r+3)-3=-n+-=-(?-)-,其中 0 /2(x+3)，B C =+3)=3-2 由题意知：P E O 相似 A B C,分类讨论:情况：3FO =F3PDA

32、DC：.也斗济，解得x=T满足一38。，此时P 的坐标为(-1，上*、口小 EO EP情况：=DC DA.二 =&x +3),解得广一,满足一 3 4 =4,点A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(4,0),-1+4 3抛物线乂的对称轴为直线r=-=-.3，点 E 的坐标为(：，0),VC(0,4),AO=1,OC=4,4。=?,2当 AOCSA时，AO PCEDDAf1 4；诟-5，2:.DE=；8当 时,AO PCADDE1 _ 4J -D E，2 DF=10,综上，B E的 长 为:或 io；o(3)如图，点。是点Q 关于直线MG的对称点，且点Q 在 y 轴上时,由轴对称性质可知，

33、QM=QM,QG=QG,ZQMG=ZQMG,：.ZQMG=NQGM,：.QM=QG,：.QM=QM=QG=QG,，四边形QMQG为菱形，GQHQN,作GPL y 轴于点P,设 G(a,-q2+3a+4),则.+3),.PG=a,：GQHQN,J 4 GQP=4NMO,令x=0,则 y=3,令y=。，则x=-4,a直线.v=%+3与坐标轴的交点分别为M(0,3),N(M,0),AOM=3,ON=4,在 RjNM O 中,MN=4NO2+MO2=V42+32=5，NO PG 4J sin NGQP=sin ZNMO=-,MN GQf 5It/1 4M俎 7+病 7-病 1 +V5 1-75解得 4

34、=-,a,=-，a.=-，a.=-，1 4 4-2 3 4 23二./=一4当点尸在x 轴下方时，-m+3-m2-4?+3）=-3（/痴 +3）,解得砥=3或 吗=3（与点8 重合，舍去）.经检验q=2 1普，%=Z z g,%=上 孚，的=都是所列方程的解，综上，点 G 的 横 坐 标 为 三 叵 或 上 晅 或 匕 立 或 上 好.4 4 2 2【点评】本题是二次函数与几何的综合题，考查了用待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质及三角函数等，解题关键是能够根据题意画出图形及灵活运用分类讨论的思想解题.1 1.（1）=-4X+3；（2）;或|；（3）存在，点”坐标为（2,俨

35、 或 2,9+产）【分析】（1）先求出点A、B坐标，用待定系数法即求出抛物线解析式；（2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、尸的坐标，然后表示出PE、P F,再列出绝对值方程，然后求解即可；（3）先求出点C 的坐标，也就求出O C 的长，再设对称轴与x 轴交于点Q,过 N 点作NKLQM 交对称轴于点K.根据相似三角形的性质得到KM 和 M Q的长，进而表示出点N 的坐标，最后将点N 的坐标代入函数解析式求解即可.【解析】y=-x+3经过点A、8,4 3 分别在y 轴与x 轴上，.-.A（0,3）,B（3,0）.抛物线y=f+c经过点A 8,9+3/?+c=0 b=-4 =，解得 ac=

36、3 1c=3.抛物线的解析式为y=f -4 工+3.（2）点p 的横坐标为九二 由题意可知，点 尸 的 坐 标 为-4刃+3）,点尸的坐标为（八-旭+3）.当点尸在1 轴上方时，m+3 （m2 4m+3）=3（加？-4机 +3）,3解得见=W或 叱=3（与点8 重合，舍去）.3:.m=2综上所述，的值为:或I（3）存在，点M 坐 标 为 2,如图，设对称轴与x 轴交于点Q,过 N 点作N K Q M交对称轴于点K.,了 =幺一4*+3=（一3）（工 一 1）与工轴交于B、C 两点,v C（l,O）,:.OC=，抛物线的对称轴为直线x=2,Q8=QC=L 当 ANMB AAOC 时，=-3,B

37、M 0C由一线三垂直模型得出，ANKM&M Q B,.N K K M N MKM=3QB=3,设=则 KQ=a+3,KV=3a/.xN=3。+2,N（3a+2,a+3）,点N 在抛物线上，（3a+2）2 -4（3a+2）+3=a+3,解得匕 晅,凡=匕 叵（舍）.1 18 2 18.点M 的坐标为至）当 A8A/NAA0C 时，BM AO 3同理 可 m fM Q BNK KM NM/.-=-=-=3,MQ QB BMKM=-QB=-,3 3设 MQ=a,则 NK=L。,3.K Q =a +；xN=g a +2,即 N f a+2,ci+点N在抛物线上，.（+2）-4（；a +2 +3 =a

38、+g解 得 广 归 善，包:之 警（舍）点M 的 坐 标 为 2,综上所述，存在点法,点M的坐标为,十 存【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形表示出点N的坐标是解本题的关键，也是难点.1 3 1 3?3 5 0 1 3 91 2.（1）y=-/+=x+3；（2）存 在.点。的坐标为（一,3）或（,2-）；（3）G（,4）.44 1 2 9 4 1 6【分析】（1）根据y =-g x+3,求出A,B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；41Q（2）Z k B D E 和a A C E 相似，要分两种情况进行讨论：B D E s/A

39、 C E,求得。（7，3）4；D B E s/A C E,求得。（五，J）；1 3 3 1 3（3）由 D E G F 是平行四边形，可得 D E F G,D E=F G,设 （，,-M+，+3）,E（肛 加+3）,一（-由+3）,4 4 4QO OQG（,-、+3）,根据平行四边形周长公式可得：D E G F 周长=-2（m-=）2+?，由此可求得点G的坐标.4 4 83【解析】解：在 尸 一二X+3中，令=0,得y=3,令y=o,得x=4,4.A(4,0),3(0,3),13将A(4,0),8(0,3)分别代入抛物线丁=一/+。中，得：4+4Z?+c=0,解得：h 4,c=3 c11c=3

40、13抛物线的函数表达式为：y=-x2+x+3.4(2)存在.如图 1,过点 8 作 于，设 C(M),则”,-”+-3),E(r,-r+3),H(f,3)；4 43 13:.EC=1+3,AC=4 t,BH=t,DH=-t2+t,DE=t2+4/4 4,.ABDE和 AACE相似，ZBED=ZAECisBD Es.C E 或 ADBE/SACE当 ABD石SAACE 时，ZBDE=Z4CE=90,-=9 即：BDCE=AC*DEDE CE313(一J+3)=(4-f)x(-+4f),解得：1=0 (舍去),q=4 (舍去),G=I，13.(丁，3)4 当 ADBESMCE 时，NBDE=ZCA

41、E.BHCD二 /B H D =90。,：.=tan/BDE=tan Z.CAE=,即：BH.AC=CEDHDH AC3 13 73.,1(4-。=(-7 +3)(-/+；。，解得：。=0(舍)，Z,=4(舍)，*=登，.)23 50,。廿 v);综上所述，点0的坐标为。，3)或彳各；(3)如 图2,四边形DEG尸是平行四边形：.D E/F G9 D E=F G13 3 13 3D(m,nV+m+3),E(m,m+3),F(,n 4 +3),G(,+3),4 4 4 4则：DE=-nr+4m,FG=-rr+4，.一62+4m=一 2+4，g|J.(w-w)(7n+n-4)=0,.加一九。0.t

42、n+n4=0,即：77/+n=4过点G作6反_1 _ 8于长，则GK/AC:.Z EGK=Z BAO-cos Z.EGK-cos Z.BAO =,即：EG ABGK AB=AO EG5(-m)=4EG,即：EG=(-，)4S3 2 0DEGF 周长=2(O E +E G)=2 (-r +4/n)+-(n-i)=-2(m-)2+4 4 8v-2 .抛物线 F 2：y=a x?+bx+4 经过点 A、B ,.J 1 6 tz+4 Z?+4 =-4 4 +2 Z?+4 =-l 解得：,b=-3.抛物线F 2解析式为：y =lX2-3 x+4,4.,.对称轴为直线:x=-=6.点M 在直线x=6 上，

43、设 M(6,m),OM2=62+m2,AM2=(6-4)2+(m+4)2=m2+8m+20,.点在以OM 为直径的圆上，A ZO AM=90,.,.OA，2+AM2=OM2,.(472)2+m2+8m+20=36+m2,解得：m=-2,AM=7m2+8m+20=,4-1 6+2 0 =2 7 2，/.SAOAM=OAAM=x 4&x 2/2=8；2 2(3)在坐标轴上存在点D,使得以A、0、D 为顶点的三角形与A O A C 相似,VB(2,-1),直线OB，解析式为丫=-；x,1 =寸 a/y=x-3x+4解得:x.=21(即为点8 1%=TX)=8力=-4；.C(8,-4),VA(4,-4

44、),；.A C x 轴，AC=4,.ZOAC=135,.ZAOC45,ZACO45,V A(-4,-4),即直线OA与 x 轴夹角为45。，当点D 在 x 轴负半轴或y 轴负半轴时，NAOD=45。，此时 AOD不可能与 OA C相似,.点D 在 x 轴正半轴或y 轴正半轴时，N A O D=/O A C=135。(如图2、图 3),若 AODAOAC,.,.OD=AC=4,；.D(4,0)或(0,4)；若 DOAAOAC,则 四=8=逑=&,OA AC 4，O D=O A，=8,；.D(8,0)或(0,8),综上所述，点D坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时，以A、0、D为

45、顶点的三角形与A O A C相似.【点评】本题考查的是二次函数与几何的综合题，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.1 4.解：(1)将 A(4,3),B(4,4)代人 y=)(x+2)(ax+b)中，3=+(-4 +2)(-4a+b)4=(4+2)(4a+b)4 a-b =72 a=13整理得：%+b=3 2解得1-2。i 17 i.二次函数的解析式为：丫 =布2 2)(小-2。)，即：y=-x+-x 5613 I s 20(2)由 x2+-x

46、-=0 S W 13X2+6X-4 0 =0,解得X1 =-2,X2=.48 8 6 13、(2 0 八AC(-2,0),D IAC2二“4+9”,BC2=36+16,AC2+BC2=13+52=65,AB2=64+1=65,/.A C2+B C2=A B2./.A A C B 是直角三角形.(3)设P(x,三x?+,x-。)(x 0),则 PH=U x?+x-2,48 8 6 48 8 6H D=x13XVAC=V13,BC=2瓜当 PH D A A C B时有:PH HDAC-CB13 2 1 5 20 x+-x -X48 8 6=13V13-2V13整 理 得 或14 X?+；5 X-果

47、19s=0,解得当=so,?2=得on(舍去)，此时，as簪DH PH _x _ _x x _ _ _当 D H P s/A C B 时有：,即：J 3 _ _ 4 8 8 6,A C B C 而 一 而 一整击理1 3 x 2 +V1 7 X3兀0 5 =八，地解,目得 当=一12左2 门n 2=72 07 z(舍.去.)，此_时，Y i =278r4,4 o o /o U I J综上所述，满足条件的点有两个即Pb瑞,哈)，R(一詈 噜 屋【解析】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与X 轴的交点，解一元二次

48、方程和二元一次方程组.【分析】(1)求二次函数的解析式，也就是要求丫=/+2)伯*+1)中 2、1 3 的值，只要把A(-4,3),B(4,4 84)代人即可.(2)求证 ACB是直角三角形，只要求出A C,B C,AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察.(3)分两种情况进行讨论，D H P s B C A,P H D s B C A,然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标.1 5.解：(1)设抛物线解析式为y =a(x-1-+1.(|中)在 抛 物 线 上，二次函数解析式为：y=(x-l)2+1 (或 y =1 2 _ 2 x +2 )令x =0 得：y =2即3(0,2

49、)点在5 二丘+加上/.m =2把(|，引 代 入 y =+2 得A=119(2)/Z=-X+2-(X-1)2-1=-x +2 +2x 22=-x2+x f o x/6呼2X=2而x=*2但*,.存在点P,其坐标为(三四,若R2 2 I 2 4当 ZPDE=NBOF=90 时，过点E作EK垂直于抛物线的对称轴，垂足为K；由题意可得：APDESEKD 4PDES4BOF：qEKD4BOF5)r则厂(x-2x+2)上 一=典4 2 2v0 x|,x=(舍去)2 2而*=巫,.存在点尸，其坐标为2 28+VlOF 4-r综上所述存在点P满足条件，其坐标为22+a 10+(V10一，,一，2 4 28

50、【解析】(1)根据二次函数的顶点坐标可设抛物线解析式为y=(%-l)2+l(aw0)(顶点式)，把点A5 13代入解析式即可求出，根据y=(x-l)2+l求出点8。2),由点A5 13和点8(0,2)求出直线y=kx+m BP nJ(2)由于轴，则线段PE的长等于一次函数减去二次函数值，点尸在线段48上，故0 x C C ,即 P，CP的周长大于 PCE的周长.）如答图所示，连接C，E,VC,C 关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，/.Q C E 为等腰直角三角形.ZiCEC，为等腰直角三角形.点C，的坐标为（4,5）.VC,C关于x 轴对称，.,.点C”的坐标为（-1,0）.过点 C作

51、 CIJ_y 轴于点 N,则 NC=4,NC=4+1+1=6,在 RSC N C 中，由勾股定理得：C C =JNC+NC2=2+62=2 M -综上所述，在 P 点和F 点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为2瓦.【点评】本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度.本题难点在于第（4）问,如何充分利用轴对称的性质确定APCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键.19.（l）y=-（x+2）2；（2）（-；，3）；SAEFG 与 SAACD 存在 8 倍的关系，点 F 坐标为

52、（0,-60）、（0,3)、(0,5).【解析】试题分析：(1)求出点A 的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；(2)首先确定点E 为 RtA BEF的直角顶点，相似关系为：B A OS/S B F E；如答图2-1,作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH,利用此关系式求出点E 的坐标；首先求出 A C D 的面积：SA A C D-8；若 SA E F G与 SA A C D存在8 倍的关系，则 SA E F G=6 4 或 S E F G=1 ;如答图2-2所示，求出SA E F G的表达式，进而求出点F 的坐标.试题解析：(1)直线A B 的解析式为y=2x+4,令 x=0,得

53、y=4；令 y=0,得 x=-2.；.A (-2,0)、B(0,4).抛物线的顶点为点A(-2,0),.设抛物线的解析式为：y=a(x+2)2,点 C(0,-4)在抛物线上，代入上式得：-4=4a,解得a=-l,，抛物线的解析式为y=-(x+2)2.(2)平移过程中，设点E 的坐标为(m,2m+4),则平移后抛物线的解析式为：y=-(x-m)2+2m+4,F(0,-m2+2m+4).点 E 为顶点，ZBEF90,.若 BEF与4 BA O 相似，只能是点E 作为直角顶点，.,.BAOABFE,黑 嘿，艮 曦 喉，可 得:BE=2EF.如答图2-1,过点E 作 E H L y 轴于点H,则点H

54、坐标为：H(0,2m+4).VB(0,4),H(0,2m+4),F(0,-m2+2m+4),，BH=|2m|,FH=|-m2|.在 RtZkBEF 中，由射影定理得：BE2=BHBF,EF2=FHBF,又：BE=2EF,，BH=4FH,即：4|-m2|=|2m|.若-4m?=2m,解得01=5或 m=0(与点B 重合，舍去)；若-4m2=-2m,解得m=g或 m=0(与点B 重合，舍去)，此时点E 位于第一象限，/B E F 为锐角，故此情形不成立.m=-1,；.E(-1,3).假设存在.联立抛物线：y=-(x+2)2与直线AB：y=2x+4,可求得：D(-4,-4),*.SAACD=y PB

55、=NOBA,根据相似三角形的判定方法，当 黑=等 时，APZSABOA,即*=；当 萼=整 时，D B s M A O ,BO BA 4 2V5 BA BO即 二%=正，然后利用比例性质分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析式.25/5 4【解析】(I)如图1,:y=-2x2+2x+4=-2(x-g)+g,1 9 顶点为M的坐标为q,-),当X =；时，y=_2x；+4=3,则点N坐标为g,3)；不存在.理由如下：9 3MN=3=,2 2设尸点坐标为(m,2m+4),则 D(m,2m?+2m+4),PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,vPD/ZMN,3 I 3当PD=

56、MN时，四边形MNPD为平行四边形，即-2m?+4m=彳，解得叫=彳(舍去)，m2=-,止 匕 时 P 点2 2 23坐标为(E，1),PN=g|j+（3 T）2S.PNHMN,平行四边形MNPD不为菱形，.不存在点P,使四边形MNPD为菱形；（2）存在.如图2,0B=4,OA=2,则AB=也 可 不=2石，当x=l 时，y=-2x+4=2,则P（l,2）,/.PB=+（2_4=旧,设抛物线的解析式为y=ax?+bx+4,把A（2,0）代入得4a+2b+4=0,解得b=2a 2,抛物线的解析式为丫=2*2-2（a+l）x+4,当 x=l 时，y=ax?-2（a+l）x+4=a-2 a 2+4=

57、2-a ,则 D（l,2-a）,PD=2 a 2=a,.DC/OB,.P B =/O B A,.当 段=善 时，APDBSABOA,即 三=互，解得a=2,此时抛物线解析式为y=-2x?+2x+4；BO BA 4 2V5当 当=段 时，APDBSABAO，即 二%=好，解得a=-：，此时抛物线解析式为y=-：x2+3x+4；BA BO 2/5 4 2 2综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=-2x?+2x+4 或 y=-|x?+3 x +4.【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题.