2020年概率论与数理统计期末模拟考试288题（含标准答案）

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1、2020年概率论与数理统计期末测试复习题288题 含答案一、选择题2XI,设 随 机 变 量X在 区 间 1,2上 服 从 均 匀 分 布，求Y=e 一 的 概 率 密 度f(y)0I 答案：当/“y W e，时，f(y)=2y ,当y在其他范围内取值时，f(y)=0.2.某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(M，0-92),现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2o问在显著水平&=下，该批产品的标准差是否有显著差异？(已知:ZO,O 52(19)=3 O.14,ZO952(19)=1O.12；ZO O52(2O)=3 1.4 1,Zo 952(2O)=10.8

2、5)w(一 一解：待检验的假设是 选择统计量卬 /(9)打力2。5(19)卬4 2。95(19)=0.90取拒绝域 W=W 3 0.114,W 10.117W=(婆=19x1 22=3 3 778由样本数据知 b 0.9-拒绝”。，即认为这批产品的标准差有显著差异。在H q成立时3 3.778 3 0.1143 .某厂生产铜丝，生产一向稳定，现 从 其 产 品 中 随 机 抽 取10段检查其折断力，测得1 0元=287.5,(七 一 元 =1605Io假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平a =下，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16?(已知：检。5 2(10)=18.3 1,ZO

3、.952(1O)=3.94;Zo o 52(9)=16.9,Zo 952(9)=3.3 3),0,_(_ 卓2解：待检验的假设是 H：c r 2=1 6 选择统计量 在。成立时W%2 8/族9)卬 人95 =0.90取拒绝域 W =严 16.92,W 1。33.33接受”。，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。4.设总体X(。?)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S 2=S 0 7,试求总体方差的置信度为0.95的置信区间。(已 知:瑞02s2(16)=28.845,力09752a6)=6.908；a0252 a 5)=27.488,“(15)=6.262)解：由于X M b),所以W=

4、(-DS-72(_1)bP%g2(15)W 0.07 15x0.0727.488 6.262)即(0.038,0.168)5.随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s),设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差。2的置信度为0.95的置信区间。(已知:%02s2(8)=17.535,%。二 =2.18；及02s?=19.02,Zo9752(9)=2.7)因为炮口速度服从正态分布，所以(L 3 2 2/%(1)(Z00252(8)W 0时，FZ(z)=P(Z z)=P(m in (X,Y)W z)=l P(m i n (X,Y)z)1-a e ad xf J3

5、e d y.-t a+z=l-P(X z,Y z)=l P(X z)P(Y z)=-=e因此，系统L 的寿命Z的密度函数为一(a+0)zf Z(z)=0,z 0z 0d p(、,(a+/)e8.已知随机变量X 的概率密度为f x(x),令 Y =-2X+3,则 Y 的概率密度力)为(A )。一；九(一 个)(一 个)一：八(个)；/x(-亨)A.2 2 B.2 2 c.幺 2 D.2 29.已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+B a r c t a n r求(1)A,B；(2)密度函数 f(x)；(3)P(l X 2)o71(1)l i m F(x)=A +-B=lX f+X 27t

6、l i m F(x)=A一一6 =0X T-2解：A =1/2,B =l/兀(2)f(Q=k(x)=l Xi(l +x )1 c a r c t a n 2(3)P(0 X 2)=F(2)F(0)=万10 .正常人的脉搏平均为7 2 次/分，今对某种疾病患者9 人，测得其脉搏为（次/分）：11.甲.乙.丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2,各机床所加工的零件合格率依次为94%,90%,9 5%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。解 设 A,4,&表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2 分）则所求事件的概率为P（4

7、IB）p（4）p A）（4 1）一 P（R （ZP（4）P（8 I 4）/=1-x0.0620.5 x 0.06+0.3x0.10+0.2x0.0537答：此废品是甲机床加工概率为3/7。12.一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A 时停机的概率是 0.3,加工零件A 时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A 时发 生停机的概率。解：设,G,表示机床在加工零件A 或 B,D 表示机床停机。（1）机床停机夫的概率为P（3）=P（C,）.P（D|G）+P（G）P（D|3=石（2）机床停机时正加工零件A 的概率为1x0 3P

8、C ID）_P（G）P（D C）_ 3 _ r（J）P（D）T T303_1113.设（X）为标准正态分布函数，v f l,事 件A发生.X.一,1 =1,2,，、0,门 则 且 P（A）=p,X|,X2,x“相互独Y=Xi立.令=,则由中心极限定理知丫的分布函数”）近 似 于（B）。（厂 叩）A.（y）B,弋叩（1-P）c.（y一叩）D,叩（i-p）14.设 随 机 变 量 X N（U ,9）,Y N（u,25）,记乃=PX 一3 ,2=丫？+5 ,则（B）。A.plp2 D.pl 与 p2 的关系无法确定1 5.设（X）7：为标准正态分布函数,事 件 A 发 生 ,_否 贝U 1 2 ，1

9、OO且 P（A）=0.7X,X2,，X0G 相100y=x,.互独立。令 I，则由中心极限定理知丫的分布函 数/（以 近 似 于（B）o 告 雪 （”）A.B,c（k 7 0）D.2116.对任意两个事件A 和 B,若 P（A 8）=,则（D）。AA.AB=（f）n AB=d r P（A）P（B）=0 n P（A-B）=P（A）D.Vz.Ly.17.已知随机变量XN(0,1),求随机变量Y=X 2 的密度函数。解：当 yWO 时，FY(y)=P(YW y)=P(X2W y)=0；当 y0 时，FY(y)=P(YWy)=P(X 2 y)=6 X 折 9 6、_A A18.已知随机向量(X,Y)的

10、协方差矩阵V 为1)求随机 向 量(XY,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=9-6=3_ Co v(x-y,x +y)_ 3 _ j _P x-r-x+Y-J z)(x-y)7 b(x +y)历*6 -327所以，（XY,X+Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为1319.若随机事件4 8 的概率分别为P（A）=0.6,P（5）=0.5,则 A 与 B-定）。A.相互对立 B.相互独立 C.互不相容 D.相容2

11、0 .设随机事件 A.B 互不相容，P(A)=p,P(B)=q ,则 P(AB)=(c )。A,P M B.p q C/D.P2 1.若 E(x r)=E(x)E(y),则(D )。A.x 和 y相互独立 B.x 与 y不 相 关 c.=D(X)D(Y)DD(X +Y)=D(X)+D(Y)22.若 A 与 B对立事件，则下列错误的为(A )。A P(AB)=P(A)P(B)B P(A+B)=1 c P(A+B)=P(A)+P(B)DP(AB)=02 3.在假设检验中，下列说法错误的是(C)。A.乩真时拒绝乩称为犯第二类错误。B.i 不真时接受乩称为犯第一类错误。C.设0 拒 绝 1 真 =,P

12、 接冽I%不 真 =万，则a变大时 变小。D.二.夕的意义同(C),当样本容量一定时，变大时则夕变小。2 4 .设离散型随机变量的概率分布为 1 0,%=04，2,3,则 E(X)=(B )A.1.8 B.2 C,2.2 D.2.42 5 .已知某味精厂袋装味精的重量X (，合)，其中4=1 5,b 2=0.()9,技术革新后，改用新机器包装。抽查9 个样品，测定重量为(单位：克)2 6 .设(灯为标准正态分布函数，X=1，事 件 A发生；21 0010,否 则。且 P(A)=0.1,X ,X?,X i o o 相互独100丫 这 X,立。令 2.306 1由已知 无一=0.146 0.13=

13、3712 306 拒绝”。，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有显著差异。7 6、6 92 8.已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V 为 I。)求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9-2*6=4Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2_ Cov(x +y,x-y)_ _2 _-iPx+Y-x-Y J o(X+y)j(X-y)-V28*V4-V2828-2、-2 4所 以，(X+Y,X Y)的 协 方 差 矩 阵 与 相 关 系 数 矩 阵 分 别

14、 为 I 和fl 力V28A 1IA/282 9.设随机变量X 的概率密度为/（幻=，ex9 x 00,其它设 F(x)是 X 的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。解：当 yl 时，FY(y)=P(Y W y)=P(F(X)W y)=l；当 OWyWl 时，FY(y)=P(Y W y)=P(F(X)W y)=尸(WEd l，、7耳（刃=,因此，f Y（y）=a1,0,0 y l,其它.6 元，Vf(x,y)=(1)求(X,(2)判断X,3 0.设随机向量（X,Y）联合密度为0 x j 1;其它.Y）分别关于X和 Y 的边缘概率密度f X（x）,f Y（y）；Y 是否独立，并说明理由。

15、解：（1）当 x l 时，f X（x）=0；当 O W x W l 时，fXgJ 二 八6 x-6 x2,0 x 1,0 苴它因此，（X,Y）关于X的边缘概率密度f X （x）=火匕当 y l 时,f Y（y）=O；f(x,y)dx=6xdx=3x2|力=3y .当 O W y W l 时，fY(y)=Ji J。73y 2,0 y l,o 苴它因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度f Y(y)=I 丹 J(2)因为 f(l/2,l/2)=3/2,而 f X(l/2)f Y(l/2)=(3/2)*(3/4)=9/8W f(l/2,1/2),所以，X与 Y不独立。31.设 X 与 Y相互独立，且 x

16、 服从/I =3 的指数分布，y服从义=4的指数分布，试求:（1）（X,丫）联合概率密度与联合分布函数：P（x i,y，y 0,3x+4y 0 ,（、j 4eR y0/x（X）=1 n 甘 加 /r（y）=1 n 甘.I 0,其他 0,其他所以（x,y）联合概率密度为f(x,y)=0,y 0其他当x 0,y 0 时，有F(x,y)=町 12e-3,-4sd s=(1-e 3x)(l-e y)所以(x,y)联合分布函数卜1一6)(1_/),x0,y 0;o,其他(2)P(X 1,y 1)=尸(1,1)=(1 _ e-3刀 /)；H(x,Y)e 0)=d它 1 3 1，力=1 一 4 e 32.已

17、知随机变量X的密度函数为fM =2x0 x l0o t he r s求：(1)X的分布函数F(x)；(2)P 0.3X 2(同步4 5页三.3)33.某厂由甲.乙.丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,1 2%。现从该厂产品中任意抽取一件，求：(1)取到不合格产品的概率；(2)若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。(同步4 5页三.1)解：设 Al,A2,A 3 分别表示产品由甲.乙.丙车间生产，B表示产品不合格，则 Al,A2,A3 为一个完备事件组。P(AI)=1 P(A2)=l/3,P(A3)=l/6,P(B|Al)=0.08

18、,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12。由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09由贝叶斯公式：P(A11 B)=P(A 1 B)/P(B)=4/934 .已知连续型随机变量X的概率密度为 2x,xe(0,A)f x =0,其它求(1)A；(2)分布函数 F(x)；(3)P(-0.5X l)o)(1)J f(x)d x-I xd x=A?=1解：A=1(2)当x 0时，F(x)=f f Q M t=0J-0 0当0 4 x 1 时，F(x)-f =1J-o 00,x 0故 尸(x)=f,0 x(3)P (-O.5

19、X 1)=F(1)F(-0.5)=l35.设 总 体 X的数学期望EX=U,方 差 D X=o 2,X I,X 2,X 3,X 4 是来自总体X的简单随机样本，则下列U 的估计量中最有效的是(D )A.卷X,+X 2+g x；,+g X s B.g x,+g X z+g x.3C.+擀*2-g x 3 T X*D.X,+X2+X3+Xi36.某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得了=0,14 6厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？(a =0.05)(同步52页四.2)【不

20、一 样】37.设(*”*2-,*“)为总体 (1,22)的一个样本，又 为样本均值，则下列结论中正确 的 是(D )。y _ 1 1 n V _ 1一4 (X,-1)2 F(n,l)=7V(0,l)A.2/册；B.4占；c,3/册；D.1 (X,.-l)2 Z2(n)4 i=i.3 8.设 A,B是两个随机事件，则下列等式中(CA.P(A 8)=P(A)P(B),其中 A)B 相互独立P(B)H 0C.RAW=P(A)P(8),其 中A,B 互不相容)是不正确的。尸(AB)=P(A)P(A)其中其中P(A)丰 03 9.设+一 夕 是一组样本观测值，则其标准差是(B)OB.一次（占一君2C.n

21、 ID.40.若 A.B相互独立，则下列式子成立的为(A)。A P(&)=P(A)P(B)B.尸(AB)=0 c.P(AI =P(B A)DP(A|B)=P(B)41.抛掷3 枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是(A)0.125,(B)0.25,(C)0.375,(D)0.542.设 随 机 变 量 X N(口 ，81),Y N(N ,1 6),记Pi=P X 9,2=F i +4,则(B)。A.plp2 D.pl 与 p2 的关系无法确定43.若 E(x y)=E(x)E(y),则(D)。A.X 和丫相互独立 B.X 与 y 不 相 关 c.D(X Y)=D(X)D(Y)DD(X +

22、Y)=D(X)+D(Y)44.在假设检验中，下列说法错误的是（C）。A.乩真时拒绝乩称为犯第二类错误。B.i 不真时接受 i 称为犯第一类错误。C.设 尸 拒绝出。真）=%P 接 受/I o 不 真 =尸，则。变大时 变小。D.a.P 的意义同（C）,当样本容量一定时，a 变大时则夕变小。45.设随机事件A 与 3 互不相容，且 P(A)P(B)0,则)。A P(A)=1-P(8)B.P(AB)=P(A)P(B)c P(A u B)=l DP(AB)=146.：。2 未知，求 H的置信度为1-a 置信区间_ S S(X+ta(n-Y)j=)7 n 7 n3：求。2置信度为1-a的置信区间An-

23、l）S2（n-l）S2 2 ，2 c ）p（X=k）=47.设离散型随机变量的概率分布为 1 ，k=0 4,2,3.则 （、）=(B )A.1.8 B.2 C.2.2D.2.44 8/(x)=T ,xPx2,-,X.的估似然 函数取计。）=立（。+1赭是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求(0 x,0,P(A B)=则 必 有(A)oA P(A u B)=P(A)B.A n 3 c.?=尸 D.P(AB)=5 0.设（%）为标准正态分布函数，f 1 事 件A发 生Xj=/;二 Z =l,2,.,1 O O,山、_ 八 /乜 Y Vo,否 则 且 P（A）0.4,X ,X?,，X 0G 相

24、100r =互独立。令 闫，则由中心极限定理知丫的分布函数”）近 似 于（B）。(2 2)(.A.(y)B,V24 c (5 4 0)D.y-4 024)/（x）=5 1.已知随机变量X 的密度函数为a x+b00 x lothers且 E（X）=7/12。求：（l）a,b；（2）X 的分布函数F（x）（同步49页三.2）5 2.设（“）为标准正态分布函数，J 1,事 件 A 发生.=）B.4 pQ-p）c.（y p）D.p（i-p）5 3.已知随机变量X 和 y 相互独立，且它们分别在区间-1,3 和 2,4 上服从均匀分布，则 E（x r=（A）。A.3 B.6 C.10 D.12X,，=

25、A 簟 瞥 发 生 Z =l,2,-,1 0 0,5 4 设（x）为标准正态分布函数，1 0,否 则 且100Y-X.P（A）=0.6,X ,、2,，X|0G相互独立。令,=1 则由中心极限定理知丫的分布函数F()近 似 于(B)。y-6 0)A.(y)B,V241/y 6 、C(y-6 0)D F-55.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7已知零件口径X 的标准差0 =1 5 ,求的置信度为0.95的置信区间。(已知：Z005(9)=2.262,/005(8)=2.306,402s=1.960)U=-展 N(0,1)解：由于零件的口径服从正态分布

26、，所以 P|U|%必 =0.95O(y:、(X “0.025 f=yX+MO.O25-X=0 y,X；14.9所以的置信区间为：经计算 =的 置 信 度 为 0.9 5 的 置 信 区 间 为(1 4.9-L 96x皇,14.9+L 96x呼)即(14.802,14.998)56.已知连续型随机变量X 的概率密度为/(x)=区+1,0,0 x 2其它求(l)k；(2)分布函数 F(x)；(3)P(1.5X2.5)(1)j /(x)t/r=(h;+l)ic=(-1x2+x)|o=2+2=l解:k=-l/2(2)当x 0 时,F(x)=f f(t)dt=0J-oo当0 4 x 2 时,当XN2H寸

27、,2F(x)=J：=J；(0.5/+1 Wf=_ 5 +xF(x)=f(tlt=lJ-000,x 0故 尸(%)=0X4+X，1,0 x 2 P(1.5X2.5)=F(2.5)F(1.5)=l/1657.设总体X 服从参数为2 的指数分布，百,，七是一组样本值，求参数力的最大似然估计。L=znn1解：似然函数 i=i展内=胪/空产nln =n ln 2-2 S x/Z=1dlnL n 八-=Z%；=02汩 3 n 1X=-=n 71=158.设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9 名女生，测得数据经计算如下：元=1 6 2.6 7C T,S=4.2 0CM。求该校女生身高方差人

28、 的置信度为0.95的置信区间。(已知:%02s2(8)=17.535,40,9752(8)=21&%)02s?=19.02,洗/=2.7)解：因为学生身高服从正态分布，所以a2)P ZO.O2 52(8)W ZO,9 7 52(8)-O.9 5(-1)52(-l)S2 的 置信区间为：1%。25(-1)Zo.975(-l)J /的 置 信 度0.95的置信区间为8x4.22 8x4.22、,17.535,2.180)即(8.048,64.734)5 9.某车间生产滚珠，其直径X N(，0.05),从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下(单 位：毫 米)：60.设总体X的概率密度函数是f(x;

29、p)=-f=e 2,J2不-0 0 X +0 0斗 ，当是一组样本值，求参数4的最大似然估计?解：似然函数dnL必n1 n=2(%-)=0 u=x.=x/,=!n i=l61.已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=2I。，求A；x 2(2)密度函数 f(x)；(3)P(0W X W 4)。(1)limF(x)=l-A/4=0.解：A=4(3)P(0X2x2 答案：P(X=-1)=0.4,P(X=1 )=0.4,P(X=3)=0.2.62.设X 的分 布 函数F(x)为：分 析.00.4F(x)=0.81其 分 布 函x -l1 x 3数 的 图 形则X的概率分布为（是 阶 梯 形，故X）。

30、是 离散 型 的随 机 变 量63.设随机变量X与丫相互独立，下表列出了二维随机向量（X,Y）的联合分布律及关于X和 关 于 丫 的 边 缘 分 布 律 中 的 部 分 数 值，试 将 其 他 数 值 填 入 表 中 的 空 白 处。答案:x2P jyll-241-81-6y21-83-81-2Pi.-121-41-3YX4I41-64.设随机 向 量（X,Y）联合密度为A ），x 0,y 0；、0,其它.f（x,y）=i(1)求系数A；(2)判断X,丫是否独立，并说明理由;(3)求 P 0 W X W 1,0 W Y W 1 。解：由=0，即产尸味到可得A=1 2 o(2)因(X,Y)关于X

31、和 Y 的边缘概率密度分别为3 0 0,x 0;q 其它和4e RVfY(y)=y 0;其它.则对于任意的(乐y)e 均成立f(x,y)=fx (x)*fY(y),所以X与丫独立。(3)P-,WY M JU力=3 .4 e=(一 e寸：)(一I：)=(1 /)(1 1 ).6 5 .设随机变量X的密度函数为f(x),则丫=5 2 X 的密度函数为(B )AA.-f (-y-5-)、2 2B-3 八 一 三)c.D.9 T)6 6 .设 A,B是两个随机事件，则下列等式中(C )是不正确的。A.尸(AM P)”),其 中 八，B相 互 独 立 B,C)=P(8)P 邓)，其中P(B)#OC P(

32、A 3)=P(A)P(B),其中 A,B互 不 相 容D.C)=P(A)尸 邢)，其中产(A)丰06 7 .设随机事件4与 8互不相容，且尸缶)尸(3)0,则(口)。A P(A)=1 -P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)c.P(A u B)=l DP(A B)=16 8.将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为(A )。22 C 2!2!A.42 B.C.P；D.4!3.已知随机变量x的概率密度为/x(x),令y=-2 x,则 丫的 概 率 密 度 人(y)为(D )oA 2 fx3 B./J/仁一；/(一9 D 6/x (一 94.设随机变量X /(X),满足/(幻

33、=/(-x),尸(X)是x的分布函数，则对任意实数。有(B)。1 (X)小 尸(-。)=白 (幻 公 小 幻=尸 D.L.JL/.F(-a)=2F(a)-l5.设(灯为标准正态分布函数,1,事 件A发 生;0,否 则；i=l,2,，100,且 P(A)=0.8X,X2,，X g 相100y=f X j互独立。令*-=，则由中心极限定理知丫的分布函数/)近 似 于(B)。(工A (y)B.4 c O(16y+80)D 0(4+80)1.设A,B为随机事件，P P(A|B)=1,则 必 有(A)。A 尸(A uB)=P(A)B.A n 8 c,尸缶)=尸(砂 D 尸(AB)=P(A)2.某人连续向

34、一目标射击，每次命中目标的概率为3/4,他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是(C)。A.a(/一3、)2 X-1 /1、2 3 1、2(-)2 X-C；(一)B.4 4 c.4 4 D.469.若 随 机 向 量(x,y)服 从 二 维 正 态 分 布，则 x,y一 定 相 互 独 立；若 x y=0,则X，y 一定相互独立；X和y都服从一维正态分布；若X，y相互独立，贝ICov(X,Y)=0。几种说法中正确的是(B)。A.B.C.D.70.已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布N(4 55,0.112)。现抽测了 9炉铁水，算得铁水含碳量的平均值亍=4445,若总

35、体方差没有显著差异，即b?=01F,问在a=0.05显著性水平下，总体均值有无显著差异？(已知：/005(9)=2.262,ZOO5(8)=2.3O6,t/0025=1.960)U _-一解：待 检 验 的 假 设 是%：=4.5选择统计量 b/M。N(O,1)在“。成立时P|U|OO2 5 =005 取拒绝域 w=1 1-960=|区察=4-5 4-5 =2.864,由样本数据知 o-/ln 0.11/3 。|1.960认为总体均值有显著差异。拒绝”。,即7 1.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为ey.0 x y;f,、0，其它f(x,y)=i(1)求(X,Y)分别关于X 和丫的边缘概

36、率密度fX(x),fY(y)；(2)判断X 与丫是否相互独立，并说明理由。解：(1)当 x0 时，fX(x)=0；J4 p4 0,因此，(X,Y)关于X 的边缘概率密度fX(x)=1 其它.当 yWO 时，fY(y)=O；f(x,y)0 时，fY(y)=J-/J。yey,y 0,0 其它因此，(X,Y)关于丫的边缘概率密度fY(y)=即 火 匕(2)因为 f(l,2)=e-2,而 fX(l)fY(2)=e-l*2e-2=2e-3W f(l,2),所以，X 与丫不独立。72.若 随 机 向 量(，丫)服 从 二 维 正 态 分 布，则 x,y 一 定 相 互 独 立；若P x y=,则 X，Y

37、一定相互独立；X 和丫都服从一维正态分布；若 又，丫相互独立，则Cov(X,Y)=0。儿种说法中正确的是(B)。A.B.C.D.73.设 ()为标准正态分布函数,v J 1,事 件 A 发生一 innX.=5.n,i=l,2,-,10 0,、0,T 人(J 且 P(A)=0.2,X|,X2,-,X0G相互100y=x,.独立。令 =,则由中心极限定理知丫的分布函数/)近 似 于(B)。(乌A.(y)B.4 c.(1 6y-20)D.中(4 y 一20)74.已知随机变量X 的概率密度为f x(x),令 y=-2 X,则 丫的概率密度力(打 为(D),A.2 fx J 2 y)BJX(/)75.

38、已知A.B.C为三个随机事件，则 A.B.C不都发生的事件为(A)。h ABC B.4 8 c c,A+B+C D.ABC76.有.丫个球，随机地放在n 个盒子中(y n),则某指定的Y个盒子中各有一球的概率为。/!Cr/!A C(A)(B)”(C)(D)?丫77.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为歹4,他连续射击直到命中为止，则射击次数为3 的概率是(C)。(-)3(-)2x l (l)2x C；(-)2A.4 B.4 4 C.4 4 D.478.设随机变量X /(X),满足/(X)=/(-X),尸(幻是n 的分布函数，则对任意实数。有(B)aF(-a)=l-f(X)dX B/心 c

39、.F(a)=F(a)DF(-a)=2 F(a)-79.袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。(课 本 117页 41题)80.两个独立随机变量X，y,则下列不成立的是（C）。A.EXY=EXEY B.E（X+Y）=EX+EY c OXY=DXDYD（X+Y）=DX+DY81.设 （）为标准正态分布函数，1,事 件A发 生；二，i=l,2,，1 0 0,0,否 则；口 P(A)=().8 X,X2,，Km 相互独立。令=则由中心极限定理知丫的分布函数/（）近 似 于（B）。（口A（y）B.4 c.（16y

40、+80）D.（4y+80）82.已知方差。2,关于期望M的假设检验U=1ZJ N（0,1）（4 为已矢 a83.其平均寿命为1070小时，样本标准差S=109小时。问在。=0-05显著性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显著变化？（已知：九%（9）=2.262,九（8）=2.306,t/0025=1.960）解：待检验的假设为。：=U20 x-J L Is/_选 择 统 计 量/G 当。成立时，T t（8）网丁）,05（8）=05取拒绝域亚=1为2-306由已知1070-1120|T|U0025=0.051 4“小 1 c(八 x=-S x,.=1 9.9 5取拒绝域W=I U l L 9 6 0

41、 经计算 4接受”。，即认为表壳的均值正常。|U|J.9；：2 0 =o/2|7|W V)=0.95取拒绝域亚=严 19.023,W 11.25 2,700接受“。，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。8 7.某岩石密度的测量误差X 服从正态分布N(M，b2),取样本观测值16个，得样本方差S2=0.()4,试 求/的 置 信 度 为 95%的置信区间。(已 知:瑞必F 6)=28.845,%9752 a 6)=6.908；%0 0252 a 5)=27.488,Zo9752(15)=6.262)解：由于X 所以W(1)S 2/w =-7-%5 1)bP Zo.0252 0

42、5)W 0./(%)=0,a0)0,x ,xMi=l i=l i=l再 取 对 数 得)x 0X（x）+D（y）D.X和丫相互独立92.设（X”X 2,X“）为总体N（l,2 2）的一个样本，文为样本均值，则下列结论中正确 的 是（D）。_ 1 1 n J7 _ 1A.2/J .B,4-=；c.J 2/J”.D.1 n-J（X,.-1）2 Z2（n）4/=,；1.已知A.B.C为三个随机事件，则 A.B.C不都发生的事件为（A）。A.A B C B.C.A+B+C D.ABC2 .下列各函数中是随机变量分布函数的为（B）。0 x 0F（x）=7 ,-0 0 X 0A.1 +尸 B.U+xL/、

43、3 1、,r（x）=H-arctex,一o o x o oC F（x）=e*,-8 x 8 D.4 2万93.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。”G 2 1 2A.4?B.C.P：D,4!94.设 总 体 X 在（一 0，4 +）上服从均匀分布，则参数的矩估计量为1X；(A)x(B)”一1 依(C)n 1(=(D)”95.设 A.8 为两个随机事件，且 O P(A)1,O P(B)1,P(B|A)=P(8|Z),则 必 有(B)。A.P(A|8)=P(1|8)P(AB)卞 P(A)P(B)B P(AB)=P(A)P(B)D.A.8 互不相容C.9 6.甲.乙.

44、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%.35%.40%,次品率分别为0.03.0.02.0.01 o 现从所有的产品中抽取一个产品，试 求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设A,4,A 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。（1）所求事件的概率为P（B）=P（A）P（B|4）+P（&）P（0 4）+P（A）P（B IA）=0.25 X 0.03+0.35X 0.02+0.4x0.01=0.0185)一 P 0 -二 0-3 5X0-0 nA B(b P(A)P(8)=0 n P(A-B)=P(A)102.设 随

45、 机 变 量 XN(u,81),Y-N(Pi=P X -9,2=丫之+4 ,则(B)OA.plp2 D.pl 与 p2 的关系无法确定1 6),记二、填空题1 0 3.已知 P(A)=P(B)=P(C)=0-25,p(AC)=0,P(AB)=P(BC)=0 1 5,则 A.B.C 中至少有一个发 生 的 概 率 为 0.45。1 0 4.已知随机向量(X,Y)的联合概率密度4xe2 y,00 x0其它/*,)=则 EY=1/2 ,1 0 5.设(X,Y)的联合概率分布列为若 X.Y相互独立，则 a=l/6,b=1/9。YX-104-21/91/32/911/18ab106.已知随机向量(X,Y

46、)的联合概率密度f(x,y)=4xe-2 y,00 x0其它,则 EX=2/3。107.已 知 总 体 X N Q,),X,X 2,X 是 来 自 总 体 X的 样 本，要 检 验=5；则 采 用 的 统 计 量 是代。108.若随机变量X N(3,9),丫 N(I,5),且 X 与丫相互独立。设 Z=X 2Y+2,则 Z N(7,2 9)。109.设随机变量T 服从自由度为n 的 t 分布，若|力 止%则 PT0都存在，令y =-灰，则DY=1 2-116.设X N(0,l),y x 5),且 X,丫相互独立,则“t(n)Uxy 0 x 1,0 y 1j(X,y)=117.已知随机向量(X,

47、Y)的联合分布密度 1 0 其它，则EY=2/3。n s.称统计量既 参 数e的无偏估计量，如果E =e。119.袋中有50个球，其编号从01到50,从中任取一球，其编号中有数字4的概率为(14/50或7/25).120.设X服从N(1,4)分布，丫服从P(l)分布，且X与丫独立，贝IE(XY+1-Y)=(1 ),D(2Y-X+1)=(17).80 2121.某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为81,则此射手的命中率孑。122.若随机变量XN(-2,4),YN(3,9),且X与丫相互独立。设Z=2X Y+5,则 Z N(-2,2 5)。123.设 A,B 为随机事件，且 P(A)=0

48、.7,P(A-B)=0.3,则 尸口。豆)=。6。124.设随机变量X服从参数为4的泊松分布，且3 =N=QX=4 ,则4=6。125.设随机变量 X N(1,4),已知(0.5)=0.6915,0(1.5)=0.9332,则 因 2/=0.6247。126.设随机变量X服从以n,p为参数的二项分布，且EX=15,D X=10,则n=4 5。x2-4.V+42 f(x)=,e 6127.设随机变量XN(M，。-),其密度函数 J 6 4 ，则4 =2。128.已知随机变量U=1+2X,V=23丫，且X与丫的相关系数2 xy=-1,则U与V的相关系数M=1。129.设 A,B 为两个随机事件，且

49、 P(A尸0.7,P(A-B)=0.3,则 P(A B)=_o.6130.已知随机变量U=4-9 X,V=8+3 Y,且X与丫的相关系数&丫=1,则U与V的相关系数M=-1。80131.某射手对目标独立射击四次，至 少 命 中 一 次 的 概 率 为8 1,则此射手的命中率23 G132.设随机变量X的概率密度是：，/J3x2 0 x lf(x)=C,则尸T(一 处=万。136.随 机 变 量 X 与丫 相 互 独 立 且 同 分 布，x =i)=P(y=D,则=丫)=p(x =-i)=p(y=-i)=g3、f(x,y)=2X y 5 0-X-2 -7-1137.已知随机向量(X,Y)的联合密

50、度函数 ，其他，则E(Y)=3/4。f(x,y)138.已知随机向量(X,Y)的联合密度函数4E(X)=3 03 2万.O,0 2=03753。(已 知(0.50.6915,(1.5)=0.9332)140.若 X M 4 i，b),X i，X2,X”是来自总体*的样本，X,5-分别为样本均值和(X 样本方差，则 S t(n-l)141.设 A,B 为随机事件,且 P(A)=0.6,P(AB)=P(彳I),则 P(B)=0.4.X|-1 I-|-1 I142.设 随 机 变 量 X 与 丫 相 互 独 立，且 0 0 5 0 5,P 0 5 0 5,则 P(X=Y)=_0.5_o143.若随机

51、变量X N(0,4),丫N(-l,5),且 X 与丫相互独立。设 Z=X+Y 3,则 Z N(4,9)144.设随机变量X 服从 0,2 上的均匀分布，丫=2X+1,则 D(Y)=4/3。145.设 A.B 为随机事件，且 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A U B)=0.6,则 P(A月)=_0,3_,146.在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这类错误称为二 错误。147.随机变量 X N(，4),则 2 N(O,1)。148.一袋中有2 个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4 次，若至少摸到一个白球的概率8

52、0是 81,则袋中白球的个数是4。149.若随机变量 X 的分布律为 PX=k=C(2/3)k,k=l,2,3,44UC=(81/130).150.在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这类错误称为二 错误。151.四 名 射 手 独 立 地 向 一 目 标 进 行 射 击，已 知 各 人 能 击 中 目 标 的 概 率 分 别 为1/2.3/4.2/3.3/5,则目标能被击中的概率是5 9/6 0。152.已知随机变量U=49X,V=8+3 Y,且 X 与丫的相关系数以丫=1,则 U 与 V 的相关系数4V=-1。15

53、3.随 机 变 量 X 的数学期望EX=，方差DX=b。，k.b 为常数，则有E(k X+)=kp+b,D(kX+b)=k2a 154.袋中有大小相同的黑球7 只，白球3 只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X,则 PX=10=0.39*0.7。!_!155.三个人独立地破译一份密码，已知 各 人 能 译 出 的 概 率 分 别 为 则 密 码 能 被 译出的概率是3/5 o 2 1 1156.四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为丁4%,则密码能被译出的概率是11/24。157.设 X 为连续型随机变量，则 PX=1=(0).158.随机变量 X N(

54、,4),则/N(O,1)159.已知 P(A)=0.8,P(A-B)=0.5,且 A 与 B 独立，则 P(B)=3/8。160.设随机变量 XN(2,9),且 P XNa=P X 4a ,贝ij a=2。2161.设随机变量 X N(2,0),且 P 2 X 4=0.3,则 P X 0=0.2。162.设随机变量X服从 1,5上的均匀分布，则P 2 X W 4=1/2。163.设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则E(X?)=18.4 o6xey y,0 x 0j (x,y)=.=巴 贝 产 犷 浦=1-5。/(X)=1167.随机变量X的概率密度函数&,则E(

55、X)=1 。168.设随机变量 X 的概率分布为 P(X=l)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,则X的期望EX=2.3。x|I 1 y 1 -1 1169.设 随 机 变 量X与 丫 相 互 独 立，且0 0 5 0 5,P 0 5 0 5,则P(X=丫)=_0.5_170.将一枚硬币重复掷n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和丫的相关系数等于一 1。1 7 1.设 X 是 10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则2.4。O(X)=172.设 X 是 10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则(X)=2.4。173.

56、已知 P(A)=0 5 P(B)=0.6,P&)=0.2,则 P(A B)=0 3、(4xe2y,0 x0f(x,y)=174.已知随机向量(X,Y)的联合概率密度 I U 火匕，则 EY=1/2,175.随机变量X 与丫相互独立，且 D(X)=4,D(Y)=2,则 D(3X-2Y )=44。176.(X,Y)服 从 二 维 正 态 分 布 (从，2。：,反,。)，则 x的 边 缘 分 布 为N(|,cr；)。177.称 统 计 量 断 参 数 8 的无偏估计量，如果E =02178.设随机变量 X N(2,0),且 P 2 X 4=0.3,则 PX =2 =引8。186.设随机变量X的概率分

57、布为则X 2的概率分布为187.已知随机变量(X,Y)的分布律为:且X与丫相互独立。则 A=(0.35),B=(0.35).X Y1230.150.154AB188.利用正态分布的结论，有J二 含(丁4xG r-2)2-t-4)e 2 dx=1189.设随机变量X的概率密度是：3 x2 O v x v lr(yr 1 4l。其 他，且尸 x N a =0.7 8 4,则 a =0.6。190.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且丫=3X-2,则E(Y)=4。191.乐 舟 是常数。的两个无偏估计量，若。(自)。(幻，则称4比2有效。192.设随机变量X服从参数为的 泊 松(Poisson)分

58、布，且已知T)-2)=,则 九=一1。5.一次试验的成功率为P,进 行100次独立重复试验，当 夕=1/2时，成功次数的方差的值最大，最大值为2 5。193.概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。1194.把9本书任意地放在书架上，其中指定3本书放在一起的概率为12195.设 总 体 X N(l,9),X”X2,，X 是来自总体*的简单随机样本，兄 S?分别为样本均值与样本方差，贝衿自)/；9(%，1)7 9)。196.设 X.Y相互独立，X 0(0,3入丫的概率密度为 0，其它,则 E(2X-5?+3)=_4,D(2X-3Y+4)=|4 7。2-y=yfn

59、 197.设 X N(0,l),y 厂 ，且 X,丫相互独立，则 J y t(n)。2 2(X,.-X)2198.XI,X2,Xn是取自总体M ，/)的样本，则/(一1)。199.设随机变量X 服从2,6上的均匀分布，则 P 3 X )=(X-尸2，,-o o x+0 0,0 y 4，其它Q x 0与 b 使P =aX +=l,则 x 与丫的相关系数夕xy=-1 0210.设 总 体 X N(l,9),%，X 2,，X”是来自总体*的简单随机样本，又,S?分别1 “1 n为样本均值与样本方差，则-xy 2 -I)2 29 日 力(8)；9 闫 力 。211.设 随 机 变 量*的 概 率 分

60、布 为 (=1)=0 2 2(=2)=0.3,0(=3)=().5,则X的期望EX=2.3o212.已 知 总 体 X ),X”X 2,X”是 来 自 总 体*的 样 本，要 检 验,5-1 田“。：b，=苏，则 采 用 的 统 计 量 是。213.设 X 是 10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则 E(X?)=18.4。214.概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。215.称统计量所参数夕的无偏估计量，如果E =。216.设随机变量X N(1/4,9),以丫表示对X 的 5 次独立重复观察中“X 4 1/4”出现的次数，则 p y=

61、2=5/1 6。,八 斗X,一刀了217.XI,X2,Xn是取自总体N(b)的样本，则 /(一叽三、计算题/(x)=7 e*+2 i218.设连续型随机变量X 的密度函数为(00 X 4-00)求Rx)与 ax).(-00 X 4-00)21 9.设随机向量(X,Y)联合密度为6x,0 x y 1;其它(1)求(X,Y)分别关于X 和丫的边缘概率密度fX(x),fY(y)；(2)判断X,丫是否独立，并说明理由。解：(1)当 xl 时，fX(x)=0；当 OWxWl 时，即=口(2=”小6x(一).6 x-6x2,0 x 1,V因此，(X,Y)关于X 的边缘概率密度fX(x)=10 其它.当 y

62、l 时，fY(y)=O；当 OWyWl 时，My)=飞=3-3y2,0 y Z7=i=lxl =1px=1,Y=2=P（0）=0,PX=1,y=3=P（0）=0.Px=2,y=l=P皆=L 7 7 =2+P=2,7=1=皆=1网=2+A&=2p=l=gx；+；xg=PX=2,Y=2=P=2,=2=Pg=2p=2=gx；PX=2,y=3=P（0）=O.Px=3,y=l=p4=3,7=1+P=1,7=3=P$=3P 折=1+P$=1P 折=3=；xg+；x；=|PX=3,y=2=P4=3,=2+。化=2,=3=P=3 P 7 =2 +P=2 P 7 =3 =；X；+；XL1-9PX=3,Y=3=P

63、J=3,=3=P 皆=3忸 折=3=；、3=联合分布律表格略因此二维随机变量（X，丫）的联合分布律及X的边缘分布律为（X）=1 x l+2 x-+3 x-=：（y）=lx-+2 x-+3 x l=9 9 99,，9 9 9 9,12 2 12 1E（XY）=lx +2x +3x +4x +6x +9x =47 9 9 9 9 9 9XY123Pi.110019922 1 039 9932 2 159 9 99Pj5 3 9 9 92 2 1.已知随机变量X的密度函数为x 0%1p(x)=2-Ax 1 x 20 其它(1)求 A.(2)X的分布函数(x).J p(x)d x=1解：(1)由y 得

64、 A=l。(2)00 x 1-llx 2x 02 2 2.已知连续型随即变量X的概率密度为/(%)=7 1o,其它求 c；(2)分布函数 F(x)；(3)P(-0.5 X 0.5)o(1)=8冲=c a r c s i n x=c v r =1解：C=l/7T(2)当x 1 时，F(x)=f(t)d t =0J-0 0当一I W x c l 时，F(x)=-f /dt -a r c s i n 11 J-00 J-g/l r 7i=1 (z a r c s.i n x+)、)71 2当X 2 1 时，F i x)=fv f(t)d t =lJ-0 00,x -1 TC故 F(x)=(a r c

65、 s i n x+),1 x 1 P(-0.5 X 0,y 0;其它.(1)求系数A；(2)判断X,丫是否独立，并说明理由;(3)求 P0 W X W 2,0 W Y W 1 。f y)dxdy=f Ae(2x+3y)dxdy=e2xdx-e3ydy解：(1)由 1 =J o J o/J o J o z=A(一彳2 )(-0-3.)=?2 o 3 0 6可得A=6o(2)因(X,Y)关于X 和 Y 的边缘概率密度分别为2e2 x 0;3 e R y 0;，其它 知 r v/、1，其它fX(x)=和 fY(y)=i ，则对于任意的(y)e R,均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X

66、与丫独立。世Q+3,)公 6=2 e-2%x.13 e-3.VQ(3)P 0 W X W 2,O W Y W 1 =J。J。J。J。=(一1工)(_ e-3,：)=(_ e-4)Q-e-3).2 2 6.某镇年满18岁的居民中受过高等教育的10%年收入超过10 万。今从中有放回地抽取160 0 人的随机样本，求样本中不少于11%的人年收入超过10 万的概率。解:设X 表示抽取的160 0 人年收入超过10 万的人数，则X 5(160 0,0.1)X=160,D X=16x 9PX 0.11X160 0 =1-PX 176=1-P j|1-(D(-)=1-0.9 0 82 =0.0 9 182 2 7.设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球.2 只红球，乙袋中装有2只白球.3 只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用 A表 示“从甲袋中任取一球为红球”，B表 示“从乙袋中任取两球都为白球”。则P(A)=：5。由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=1 g+,甘I I752 2 8.市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货