2023年九年级数学中考专题训练——圆的计算和证明（附答案）

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1、2023中考专题训练圆的计算和证明1 .如图，在闻?C中，AB=A C,以A 8 为直径作。，交B C 于点D,交A C 于点E,过点3作。的切线交O D的延长线于点F.(2)若 4 5 =4,DF=,求 AE 的长.2 .如图，是。的直径，点 C在。上，/A5 C 的平分线与A C 相交于点O,与O。过点A的切线相交于点E.猜想AE W的形状，并证明你的猜想；若A8 =8,AD=6,求 8。的长.3 .如图所示，M a A B C 中NAC B=9 0。，斜边A B 与。O 相切于。，直线A C 过点。并于。相交于E、F两点，B C 与D F 交于点G,O”_ LAC 于”.(1)求证：N

2、B=2 N F；3 若 HE=4,c o s 8=g，求 DF的长.4.如图，。的直径A8=26，点C为。上一点，CF为。的切线，OEL他于点0,分别交AC,CF于。，E两点.(2)若ZA=30。，求图中两处(点C左侧与点C右侧)阴影部分的面积之和.5.已知P A,尸8分 别 与 相 切 于 点A,B,C为。上一点，连接AC,BC.(1)如图，若ZAP3=70。，求NACB的大小；(2)如图，AE为。的直径交BC于点。，若四边形P4CB是平行四边形，求NE4C的大小.6.如图，A8是。的直径，点C在A5的延长线上，ZBDC=ZA,C E 1 A D,交AD的延长线于点E.(1)求证：CD与。相

3、切：若CE=4,DE=2,求AD的长，7.如图，四边形A8CO为平行四边形，边A。是。的直径，交A 8于尸点，O E为。的切线交8 C于E,且BE=BF,8。和。交于G点.试卷第2 页，共 6 页(1)求证：四边形ABC。为菱形.若(30半径r=m，BG=非,求BF长.8.如图，。为446C的外接圆，A8为直径，N 45C的角平分线3。交。于点。，过点。作。的切线O E,交BC的延长线于点E.若CE=1,DE=C ,求G)O的半径.9.如图，A 5是。的直径，C 4与。相切于点A,且A B=A C.连接。C,过点A作AO工0C于点、E,交OO于点D,连接08.求证：AC EG BAD；连接BC

4、交于点尸.若4。=6,求即的长.10.在RSABC中，ZC=9 0 ,以AC为直径的OO与AB相交点。、E是 的 中 点.0BE判断E O 与。的位置关系，并说明理由；(2)若。的半径为3,ZDEC=Z A,求D C 的长.1 1 .如图，在 N 5C中，以AABC的边A3 为直径作GX 9,交4 c 于点。，O E 是。的切线，且。E，,垂足为点E.求证4?=B C；若 E=3,AC =6 V W,求O O 的半径.1 2 .如图，。是 A B C 的外接圆，。在A C 上，过点C作。的切线，与A B 延长线交于点D,过点。作。交。于点E,连接C E 交4 5 于点EE(1)求证：C E 平

5、分N A C 3；(2)连接。，若 CF=CD=6,求。的长.1 3 .如图，AB C 中，AB=AC,以A B 为直径。的交8 C 于点。，过点。作。的切线OE,交 延 长 线 于 点 E,延长C A 交。于点尸，交 D E 于点、G,连接OF.(1)求证：点E 为线段C F 垂直平分线上一点；(2)若 s i n NE=1,BE=8,求 AE 的长.1 4 .如图，四边形AB C。内接于。0,A 8 是。的直径，点。是A C 的中点，连接。，交AC试卷第4 页，共 6 页于点E,蚌 B F H C D,交。的延长线于点立c求证：四边形B C D P 是平行四边形.若AC=8,连接B D,t

6、 a n NO8 F=1,求直径4?的长及四边形AB C。的周长.1 5 .如图，在 A B C 中，A B=A C,以A B 为直径作。0,交A C 于点R交B C 于点D,过点。作。的切线。E,交A C 于点(2)若。的直径为5,s i n B=乎，求 E F 的长.1 6 .如图，A 3 是。的直径，点E 为线段。8上一点(不与。，8重合)，作 C E L 0 B,交。于点C，垂足为点E，作直径CD,过点C的切线交08的延长线于点P,作A尸，P C 于点凡(1)求证：C B E s C P B；当4 8 =4 行 且 若=：时，求扇形C 0 8 的面积.1 7 .如图，A8 为。的直径，

7、/A C B 的 角 平 分 线 交 于 点。，交AB 于点E,/C 4 B 的角平分线交CD于点F.c(1)求证：A4)B为等腰直角三角形求证：DF2=DE DC.1 8.如图，是圆。的直径，C,于点E.(1)若 AB=2,RC=,求 AC 的长；(2)若四边形ACDE是平行四边形,1 9.如图，A8与。相切于点8,。是圆上的点(在A 8同侧)，过点。的圆的切线交直线AB证明：8。平分/43C.BC为。的弦，OCJ_OA,0A与8C相交于点P.A B求证：AP=AB;若0820.如图，A4BC为。的内接三角形,连接BE.=4,AB=3,求线段3尸的长.A D 1 B C,垂足为。，直径AE平

8、分/班,交BC于点F,(1)求证：ZAEB=ZAFD；若43=10,BF=5,求。尸的长；(3)若点G为A8的中点，连接。G,若点。在0G上,求 跖：FC的值.试卷第6页，共6页参考答案：1.(1)见解析Q(2)AE=1【分析】(1)首先根据等边对等角可证得NC=N Q D 8,再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得=即可证得,再根据相似三角形的性质即可求得.(1)证明：.AB=AC/.ZC =ZABCO B =OD.ZODB=ZOBDZC=ZODB/.AC/O D:.ZA=ZBOF(2)解：如图：连接BE AB是O。的直径，AB=4.ZAEB=9

9、O09 OB=OD=-A B =228/是O。的切线ZOBF=90:.ZAEB=ZOBF又 ./4=NBO/ABE SOFB.AE ABOBOF答案第7 页，共 27页又 OF=OZ)+OF=2+1=3A E2Q解得AE=43【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质,相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得AB ESA O FB是解决本题的关键.2.(1)等腰三角形，证明见解析；哈【分析】(1)利用角平分线和NC=N84E=90。，得出N E=N 4,从 而 得 到 可 得 三 角形的形状；A/7 nr 7(2)先证明N C O S84日 利用相似比得到得

10、出即笠=左=；，若设CD=3 xf则B C=4 x,A B B C 4BZ)=5x,再利用勾股定理得到(4x)2+(6+3x)2=82,然后解方程求出元后计算5x即可.(1)猜想：E4O是等腰三角形，证明：.8E平分NA8C,.Z1=Z2,SB为直径，/.ZC=90,.N2+N3=90。，AE为切线，A_LAB,.ZE+Z1=9O,AZE=Z3,而 N4=N3,AZE=Z4,：.A E=A Df答案第8页，共27页是等腰三角形；(2)V Z 2=Z 1,:.R M B C D s R m B A E,：.CD：AE=BC：AB,HnAE D C 3即一=一，AB BC 4CD=3x,BC=4x

11、t 则 B D=5 x,在 R 3 ABC 中,AC=AD+CD=3x+6,1 4*.*(4 工)2+(6+3%)2=8 2,解得 x 尸 一,X 2=-1 (舍去),2 51 4BD=5x=.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算.3.(1)见解析；8 6【分析】(1)连接0 ,由题意可得：NQ D 4 =9 0。，再根据N A C B=9 0。，可得N 3 =NAQ ,由圆周角定理可得N A 0 D =2,即可求解；C H 3(2)由(1)可得N 3 =N A O ,贝 i J c o s NAO)=设O D =O E =r,求

12、得半径r，由勾股定理求得O H,再由勾股定理即可求得。尸.(I)解：连接。,如下图：H。0与。相切于O D 1 A B,即 ZODA=90,Z A+Z A O D =9 0 ,又:NAC B=9 0,答案第9页，共 2 7 页 ZA+ZB=90,:.N B =Z A O D ,由圆周角定理可得：Z A O D =2 Z Ff:.ZB=2 Z F；(2)解：9：D H L A C：.Z D H O =90,由 得N3=ZAOD,C H 3/.cos B=cos Z.AOD=-=,O D 5设O D =O E =O F =r,则。”二r 一 4,r-4 3则解得/-i o,r 5则O”=6,H F

13、 =O H +O F6由勾股定理可得：D H =yJOD-OH2=8 由勾股定理可得：D F =4 D H2+H F2=875-【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质定理，圆周角定理，三角形内角和的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.4.见解析 仁 立4【分析】(1)连接 O C,则 O C L C F,故 NACE+ZACO=90。，又 NAQO+ZA=90。，且ZA=Z A C O,可得ZACE=ZAO=N E D C,故ED=E C；(2)过点C 作 C G L A 8于G,结合三角函数的知识求得CG与CE的长，从而利用S阴 影=S&COE+S用

14、 彩 C O 8 S扇 彩 C O”-S o c 求得阴影部分的面积之和.(1)证明：连接OC,C F是。的切线,答案第10页，共 27页.OC-LCF,.ZACO+ZACE=90,O E A Bf ZA)O+ZA=90o,OA=OCfZA=ZACO,ZACE=ZADOf又丁 ZADO=4CDE,ZACE=/C D E,ED=EC.(2)解：过点。作 CG_LAB于G,ZfiOC=2ZA=60,CG=OCsin60=V3x =-,2 2 Z.COE=90-ZBOC=30,ZOCE=90,CE=OCtan30=73x =1 .3S 扇形 8 5=言乂 乃X(6)2=g，36(1 2S 扇形 co

15、”=-x-x(/3)2=,扇形 co”360 4$1%r r 1 6 3 3GSBoc=2 B x C G=9X3 X2=4f S 阴 影=S&C O E+S 扇形C08-S 扇形C O H _ S&B O C +一 “=-【点评】本题属于圆的综合题，涉及到了圆的切线的性质，扇形面积的计算方法，以及三角答案第11页，共 27页函数相关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法.5.(1)5 5(2)30【分析】(1)连接。A、O B,根据切线的性质可得/O A P=N O B P=9 0。，再根据四边形内角和等于36 0度求出NA0 8,再由圆周角定理即可求出结果；(2)连接A B,E C,由切线

16、长定理以及平行四边形的性质可证明四边形以C B是菱形，进而证明 A8C是等边三角形，进一步可得结论.(1)如图，连接0 4、OB,：PA,P B是。的切线,ZOA P=ZOB P=9 0 ,/A P B=7 0。，ZA O B=36 0o-9 00-9 0o-7 0=l 10N A C B=4 10=5 5。；2 2(2)如图，连接4 B,EC,：.N B A E =NB CE,-PA,P B分别与。相切于点A ,B,：.P A=PB,:四边形R 4 c B是平行四边形，答案第12页，共2 7页，四边形R4cB是菱形，:.AC=BC,R4是OO的切线，且AE是OO的直径，:.AE1PA,四边形

17、APBC是平行四边形，:.PA/BC：.AE1 BC,即 Z ADB=90,：.ZBAD+ZABD=9(f9AE是O。的直径，Z ACE=90,即 Z ACD+/BCE=90,：Z BAD=ZBCE,；NABD=NACB,.AB=AC,：.A8=AC=8C力|Ja ABC是等边三角形，Z ABC=ABAC=ZACB=60,:AE1BC.：.ZEAC=-NBAC=-x 60=30.2 2【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.6.(1)见解析(2)6【分析】(1)连接O D,然后根

18、据圆的性质和已知可以得到NODC=90。，即可证得CD与。相切；(2)由已知可以得到VA ECSMCE。，再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出A。的值.(1)证明：连接O。，为。的直径，ZADB=90,即 NODB+ZADO=90,答案第13页，共27页EADBC：OA=OD,：.ZADO=ZAf又丁 ZBZX?=Z A；:.NODB+ZBDC=90,即 NODC=90。8是。O 切线.(2)V C E 1 A E,ZE=ZADB=90 f：.DB EC,:/DCE=/BDC,:ZBDC=ZAf：.ZA=ZDCEf,:ZE=ZE,:YAEC尔CED,.CE AEDECECE2=D E A

19、E,：.16=2(2+AD),：AD=6.【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键.7.(1)证明过程见解析(2)2【分析X 1)连接DF,通过证明RtA DFB四RfA DEB(HL)得到DF=DE,证明 ADF/CDE(A SA)得至IJA F=CE,即可证明四边形ABCQ是菱形；答案第14页，共 27页(2)连接4 G,根据等腰三角形三线合一的性质得到。G=G B,设8尸=x,则AF=5-x,利用勾股定理可得A D-AF2=DB1-BF2，列出方程求解即可得到8 F的长.(1)是切线，是直径A ZADE=90,ZDM=90.四边形ABCD是

20、平行四边形A ZDEB=90,ZCDF=90：.ZDFB=ZDEB=90又,：BF=BE,DB=DBDFB红RtA DEB(HL)：.DF=DE.四边形ABC。是平行四边形ZA=ZC又,:ZAFD=ZDEC:./AD Fm ACDE(AAS)：.AF=CE：.AB=CB.四边形ABC。是菱形(2)A。是直径A ZAG=90,即 AG_LBQ.四边形ABC。是菱形：.AB=ADDG=GB=#：.DB=2y/5设 B F=x,则 AF=5-x答案第15页，共27页AD1-AF1=DB1-BF2：.52-(5-X)2=(2X/5)2-X2,解得 X=2的长为2【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形

21、的性质、直径所对圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，掌握这些知识点是解答本题的关键.8.(1)见解析(2)2【分析】(1)根据切线性质得N O D E =9 0。，再根据圆及角平分线的性质，证得O D/3C,最后根据平行线的性质，证得结论.(2)连接。交 AC于点凡 证明四边形C E 不是矩形，再设。的半径r,在尸中运用勾股定理，建立关于r 的方程，求解即可.(1)证明：如图，连接0。，:/宏与。相切于点D,:.D E V O D,:.NODE=90,OD-OB,/O DB=/O B D,Q 3。平分/A B C,?OBD?DBC,?ODB?DBC,:.O D

22、/B C.Z E =18 0O-ZODE=9 0 ,:.DEBC.(2)解：如图，连接。交 AC于点F,答案第16 页，共 27 页 45是0。的直径，,-.ZACJ?=90,/.ZECF=180-ZACB=90,.NECF=/E =NEDF=90,四边形CEQF是矩形./.ZAFO=Z.CFD=90,DF=CE=,:.FOVAC,.AF=CF=DE=/3,设o o的半径 为 小 则。4=。二人-OA2=OF2+AF2,OF=r-l,r2=(r一 1+(G),解得尸=2,二 OO的半彳至为2.【点评】本题考查了与圆有关的综合问题，灵活运用切线性质，勾股定理进行推理求值是解题的关键.9.(1)证

23、明见解析题【分析】(1)根据切线的性质可得NR4)+NC4E=90。，根据圆周角定理的推论可得ZBAD+ZABD=9 0 ,即得出NC4=N A 3D.结合题意即可利用2 4 1证明ACE q BAD；(2)连接A F.由垂径定理可得AE=E=gAZ)=3.再根据全等三角形的性质可得CE=AD=6,AE=ED=BD=3,利用勾股定理可求出AC=AB=36.再根据圆周角定理的推论结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出BF=-BC=量R .2 2答案第17页，共27页(I)证明：CA与OO相切于点A,ABAC=90 f：.ZBAD+ZCAE=90.AB为直径，J NBD4=90。，:.Zfi4D

24、+ZABD=90,ZCAE=ZABD.,:AD IO C,：.ZAEC=ZADB=90.又 AB=AC,.AACEABAD(A4S);(2)如图，连接A尸.,:AD IO C,：.AE=ED=-AD =3.2 :AACEABAD,CE=AD=6,AE=ED=BD=3J在用 AC中，AC=VAE2+C2=V32+62=375=AB BC=叵AC=3 M .A8为直径，ZAFB=90.TAB=AC,.昨 1 3 M or=BC=-.2 2【点评】本题为圆的综合题.考查切线的性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定 理.掌握与圆相关的知识点是解题关键.10.(1)相切

25、；理由见解析答案第18页，共27页(2)2万【分析】（1）连接OQ,C D,再根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形斜边上的中线性质证明OOLOE即可；（2）根据N0EC=NA证明三角形。EC是等边三角形，即可得到。的圆心角是120。，再根据弧长公式计算即可.（1）EO与。相切.理由：连接0。，CD.,AC是直径，ZADC=90,在心 8OC中，E 为 的 中 点,；DE=EC,A Z 3=Z 2,X V OD=OC,/.Z 1=Z 4,VZ1+Z2=9O,.ZODE=Z3+Z4=90,E。与。相切；(2)V Z/4+Zl=90,Z l+Z2=90,J NA=N2,/DEC二NA,AZ2=Z3

26、=ZEC=60,ZA=60,：.ZDOC=2ZA=20,*八-人/i/120 x3 弧DC的长二1 o0=24.【点评】本题考查圆的性质及弧长公式，熟记直径所对的圆周角是直角、切线的证明、弧长答案第19页，共 27页公式是解题的关键.11.(1)见解析；(2)5【分析】(1)连接OD、BD,根据切线的性质得到ODA.DE,推出BC,证得NOOB=NCB。,由此推出NOM=NCB,根据A 3为。的直径，得到/AO8=NCD8=90。，证得 AB。丝CB。(A S A),即可得到 A8=8C；(2)根据AB=BC,BD AC,求出AO=C=LAC=3 ji6 ,勾股定理求出CE=9,证得2 CD

27、Es/CBD,求出C B,即可得到。的半径.(1)证明：连接。、BD,：DE是。的切线，J.ODVDE,：DEA.BC,J.OD/BC,：.NODB=NCBD,：OD=OB,NODB=NOBD,：./OBD=NCBD,：AB为。的直径，ZADB=ZCDB=90,：BD=BD,:,丛ABD空4cBD(ASA),：.AB=BC；(2)：AB=BC,BD1.AC,：.AD=CD=-AC=3JW,2答案第20页，共27页VE=3,CE=yJCD2-D E2=J（3/i0）2-32=9,V ZC=ZC,Z CED=Z CDB=90,：.ACDES4CBD,C D1=C E CB,C D2-C B =-C

28、E，AB=CB=10,：.。的半径为5.【点评】此题考查了切线的性质定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各知识点并综合应用是解题的关键.12.(1)见解析(2)377【分析】(1)根据OC=OE,可得N O C E=/E,再 由。EB C,可得/E=N B C E,从而得到N O C E=N B C E,即可求证；(2)根据 CD=CF,可 得/8 6 7 /8。=/。,再由 CD 是。的切线，可得NBCD=30。，再证得NA=NBCQ=30。，根据直角三角形的性质，即可求解.【解析】(1)证明：；OC=OE,：.ZOCE=ZE,：OE/BC,：.Z

29、E=ZBCE,：.ZOCE=ZBCE,；.CE 平分 NAC8；(2)解：如图，,:CD=CF,：.NBCD=NBCE,.C E Z A C B,答案第21页，共27页，N B C D=/B C E=N O C E,；8 是。O 的切线，.NACD=90,即 NBCD+N4cB=90,ZBCD=30,；AC是。的直径，ZABC=9Q,：.NA+/ACB=90。，.ZA=ZBCD=30,：CD=6,：.AD=2CD=12,A C =NAD?-CD?=6y/3，/O C =3+,O D =d o c、C D。=3/7【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握

30、切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键.13.(1)见解析(2)AF=y.【分析】(1)根据圆周角定理可得AO_LBC,再由等腰三角形的性质可得BO=CD,进而得出 0。是三角形的中位线，由切线的性质可得OOF C,证出三角形。FC是等腰三角形即可；(2)在放OOE中，根据锐角三角函数可求出半径0 ,进而得出直径A 8,在 R3ABF中，由锐角三角函数可求出AF.(1)证明：如图，连接OC,AD,AB=AC,：.ZABCZACB,又:NABC=NF,NF=NACB,答案第22 页，共 27页:DF=DC,.AB是。的直径,ZADB=90,即 ADVBC,U：AB=AC,

31、：BD=CD,又 Q=O 8,JO O 是 A3C的中位线，OD/AC,。七是。的切线，/.ODLDE,：.FCA.DE,：DF=DC,JO E 是尸C 的垂直平分线，即点E 为线段C尸垂直平分线上一点;(2)在 m ZkODE 中，设。=x,贝 lj OE=BE-O8=8.x,OD sinZE=-=-,5 OE,x _3解得x=3,经检验x=3是原方程的根，：.AB=2OD=6fAB是。的直径，ZAFB=90,DG/BF,：.ZE=ZABF,3在 RraABF 中，AB=6f sinZABF=sinZE=-,答案第23页，共 27页3 18，A 尸=ABsinNABF=6x-=.5 5【点评

32、】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提.14.(1)见解析(2)AB=10,周长 16+4百【分析】(1)根据AB是。的直径，得/C=90。，根据点。是A C的中点，得CALOF，即有NAEO=90。，则有BCO F,即可得证：(2)先 利 用 平 行 及 圆 周 角 定 理 证 得 则 根 据 正 切 值 和 勾 股 定 理 即 可 求 出CB、A B,在RQ AEO中，利用勾股定理得0E=3,在R dA E。中，利用勾股定理，得A=2逐，则四边形的周长可得.(1

33、)证明：是。的直径，ZC=90,:点。是A C的中点，二。垂直平分 AC,AD=DC,：.CADF,AE=EC,：.ZAEO=90,B C/D F,B F/C D,.四边形BCCE是平行四边形；(2)B C/D F,：.ZDBF=ZCDB,又.根据圆周角定理有N CDB=ABAC,：.ZDBF=ZBAC,即 tanZBAC=,4VAC=8,：.CB=6,则在放ZkACB中，利用勾股定理可得A3=10,B P AO=5=OD,：AE=EC=AC9答案第24页，共27页：.AE=EC=4,在RfAAEO中，利用勾股定理得OE=3,:.DE=OD-OE=5-3=2,在R d A E D中，利用勾股定

34、理，得 AD=2后,则有CD=2指，四边形A B C D的周长=4 8+/+8+4。=10+6+2岔+2石=16+4后.【点评】本题考查了平行四边的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、同弧所对的弦相等、勾股定理以及解直角三角形的知识，利用正切值以及同弧所对的圆周角相等是解答本题的关键.15.(1)见解析(2)1【分析】(1)连接。，由 4B=AC,O B=O D,则N B=/O O B=N C,则 ODA C,由。E为切线，即可得到结论成立；(2)如图所示，连接BF,A D,先解直角三角形4 8求出AO的长，从而求出CD的长，然后分别解直角三角形8 C F,直角三角形。C E,求出BF,D E,

35、进而求出CF,C E,即可得到EF.(I)解：连接。,如图：A：.ZB=ZC,OB=OD,:/B=/ODB,：.Z B=Z O D B=Z C,：.OD/AC,QE是切线，:.O D L D E,：.A C 1 D E；(2)解：如图所示，连接3F,AD,答案第25页，共27页 ,4 5是圆。的直径，,ZAFB=ZADB=90,：.ZBFC=90ofu：DE LAC,：.NQEO90。9：AB=AC,：.BC=2CD,NABD=NC,.sin/ADBr.D =.si6n C=A-Z-)=-2-/-5-,AC 5，AD=AC=2亚,，CD=-JAC2-AD2=石,/BC=2 后,：.DE=CD

36、sinC=2,8尸=8C-sinC=4,CE=CDT-DE1=1-CF=B C。-8尸=2，:.EF=CF-CE=l.【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质与判定，解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度.16.(1)见解析(2)2 万【分析】(1)先证明/CE8=NC8P=90。，再由/+/尸=90。，ZCAB+ZCBE=90,ZCAB=ZD,推出/C B E=N P,即可证明结论；(2)设CF=3鼠CP=4k,先证明N杼1C=NC48,得至lj CE=CF=3A,再由相似三角形的性质得至IBC2=CECP；从而求出 sinZ

37、 CBE=,2丛k 2则Z CBE=60,即可证明 OBC是等边三角形，得到/CO8=60。，据此求解即可.(1)答案第26页，共27页解：CE，03,CO为圆。的直径,；NCEB=NDBC=90。,：.ZCEB=ZCBP=90f丁 尸 尸 是切线，工 ZDCP=90,.,.ZD+ZP=90,AB是直径，J ZACB=90：.ZCAB+ZCBE=901；NCAB=ND,：.ZCBE=ZP,:CBEsACPB：(2)CF 3解:5,设 CF=3攵，CP=4k,:P F是切线,:.OCLPF,V A F I PF,：.AF/OC.：.ZFAC=ZACO,9：0A=0C,：.ZOAC=ZACO,：.

38、ZFAC=ZCABt:CE=CF=3k,:XCBEsMCPB,.CB CE=-，CP CB：.BC2=CE-CP；答案第27页，共27页:.BC=2瓜；.s i n N C B E=-=立,2 2：.N C B E=6 0,OB=OC,/OBC是等边三角形,ZCOB=60,AB=4 5/3 ,.扇形C。B的 面 积 篝 x(2 月)2=2 万【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键.1 7.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据A B为。的直径，可得N

39、 A 8 =N A C 8 =9 0。，由/AC8的角平分线交G O于点。，可得Z A C =/B C D =4 5。，A D =B D，A D =B D ,进而结论得证；(2)由Z C A B的角平分线交C O于点F ,得到Z C 4 F =/加 八 结 合(1)可得N A C。=/B A D,再 由 皿%=N C 4 F +Z A C D,N Z MF =Z f i 4 F +Z 4。，得到N E 4=N Z M尸，从而说明 D 4 =。尸，最后再证明A Z)E s Z C D 4 ,利用相似三角形的性质即可得证.(1)证明：为。的直径，Z A D B =Z A C B =90 ,/Z A

40、 C B的角平分线交。于点D,：.Z A C D =Z B C D =4 5 ,A D =B D，：.A D=B D,4 汨 为等腰直角三角形；(2)证明：；N C A B的角平分线交CO于点F,Z C A F =ZBAF,由(1)可知：4 4 8=4 5。，A D=B D,Z A D B =90：.Z B A D =ZABD=45,：.Z A C D =ZBAD,答案第2 8 页，共 2 7 页/ZDFA=NCAF+ZACD,ZDAF=ZBAF+ZBAD,，ZDFA=ZDAF,/DA=DF,在VADE和ACDA中jZDAE=ZDCAZADE=CDA；/A D E/C D A，.AD DE C

41、D-AD AD2=DE DC,DF2=DE DC.【点评】本题考查的是圆和三角形的综合题，考查了直径所对的圆周角为90。，角平分线，圆周角，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识.对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键.18.(1)AC=73(2)见解析【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得NAC8=90。，再根据勾股定理进行计算即可；(2)连结B D,连结。与 AC交于尸点.根据切线的性质及平行四边形的性质可证明四边形 OBC。是菱形，即可得到结论.(1)是圆。的直径，ZACB=9Q/.AC2=A B-BC-=3,:.AC=g (舍负值).(2)连结B D,连结0。与 AC交于

42、尸点.EO与圆。相切于/)点，OD LED,：四边形ACDE是平行四边形,答案第29页，共 27页：.E D/A C,CD/EA,：.O D 1 A C,NO必=90=ZACB,:.O D/B C,V C D/E B,OD=OB,四边形OBC。是菱形，8 0 平分/A B C.【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、平行四边形的性质及菱形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的根据.19.(1)见解析 逑5【分析】(1)根据等角的余角相等，ZABP=N C P O,进而证得=最后结论得证；(2)作于，在用ZiPOC中，求出OP,PC,OH,。即可解决问题.(1)证明：OC=OB,：.N

43、OCB=NOBC,4?是。的切线，：.OBA.AB,：.NO3A=90。，ZABP+ZOBC=9Q f :O C 1A O,ZAOC=90,NOC8+NC尸 0 =90。，ZABP=ZCPO,:ZAPB=NCPO,J ZAPB=ZABP,:.AP=AB.(2)解：作O H/B C于答案第30页，共 27页c在肋VOAB中,*/OB=4,AB=3,O4=j32+42=5,?AP=AB=3,：.PO=2.在心POC中,OC=OB=4*-PC=JO C+O尸=2后，sATOC=g.paoH =；.OC.OP,，O H=变”逑，PC 5CH=OC2-OH2=半，?OH IB C,，CH=BH,BC=2

44、C，=,5PB=BC-PC=-2币=渔.5 5【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识，学会添加适当的辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键.2 0.见解析(2)DF=3 0:2【分析】(1)由题意得 ZBAE=ZDAE,且 NABE=90，即 NBAE+ZAEB=90”,根据 AD1BC得 NDAE+NAFD=90,即可得；(2)根据 NAEB=NAFD,ZAFD=ZBFE 得 ZBEF=NBFE,BE=BF,根据答案第31页，共27页R 1ZBAE=ADAF,ABE-ZADF=90 W AABEADF,AB=10,BF=5 得=-,A

45、B 2设F=x,则AO=2 x,在RrAABD中，根据勾股定理，即10?=(5+x+(2x，即可得；(3)根据点G为AB中点，点。在。G上得OG是AABE的中位线，即OG 班T,OG=1 8E,2根据NABE=90得。尸，ZAEB和/A C 8是A B所对的圆周角得4 E 8 =N A C8,即ZACB=Z A F C,即有AC=A尸，设8/=a,DF=b,有士 八空L=2_B_E_+_O_D a+b 仄 nn rz a=2_=V2,即可得.BD BF+DF a+b V(1)解：直径AE平分/BAD,；.ZBAE=ZD A E,且 ZA8E=90,ZBAE+ZAEB=90,：AD IB C,N

46、ZME+NA尸)=90,；ZAEB=ZAFD.(2)解：V ZAEB=ZAFD,ZAFD=ZBFE,/.ZBEF=NBFE,/.BE=BF,V ZBAE=ZDAF,NABE=ZAO尸=90，AABEAADF,V AB=IO,BF=5,.BE BF DF 5 1 AB AB AD 0 2,设。F=x,则 AO=2x,在用AA8O中，根据勾股定理，AB2=BD2+AD2,即 IO?=(5+X)2+(2X)2,解得：再=3,七=-5,舍去负值，得到OF=3.(3)解：如图所示，答案第32页，共27页 .点G为A8中点，点。在OG上，OG是AABE的中位线，A OG/BE,OG=-B E,2ZABE=90,A DGLAB,A48D是等腰直角三角形，ZAOG=ZAEB=ZAFD,：.OD=DF,/ZAEB和/A C B是AB所对的圆周角，ZAEB=ZACB,：.ZACB=ZAFC,即有AC=AF,AD1CF,：.DF=CD.设 族=a,DF=b,-j_ c、-BE+OD ci+b n有 变=2_=2_=V 2，而 一 BF+DF-a+b T解得a=6 b，BF:FC=a:2b=y/2:2.【点评】本题考查了圆与三角形，解题的关键是掌握垂径定理，相似三角形的判断与性质,中位线，勾股定理.答案第33页，共27页