《类换元积分法》PPT课件.ppt

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1、1 第 二 节 第 一 类 换 元 法 2 问 题 xdx2cos ,2sin Cx解 决 方 法 利 用 复 合 函 数 ， 设 置 中 间 变 量 .过 程 令 xt 2 ,21dtdx xdx2cos dtt cos21 Ct sin21 .2sin21 Cx一 、 第 一 类 换 元 法 3 在 一 般 情 况 下 ：设 ),()( ufuF 则 .)()( CuFduuf如 果 )(xu （ 可 微 ） dxxxfxdF )()()( CxFdxxxf )()()( )()( xuduuf 由 此 可 得 换 元 法 定 理 4 设 )(uf 具 有 原 函 数 ， dxxxf )(

2、)( )()( xuduuf 第 一 类 换 元 公 式 （ 凑 微 分 法 ）说 明 使 用 此 公 式 的 关 键 在 于 将 dxxg )( 化 为 .)()( dxxxf观 察 重 点 不 同 ， 所 得 结 论 不 同 .)(xu 可 导 ，则 有 换 元 公 式定 理 1 5 例 1 求 .2sin xdx解 （ 一 ） xdx2sin )2(2sin21 xxd;2cos21 Cx解 （ 二 ） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2 xxd ;sin 2 Cx 解 （ 三 ） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2 xxd .cos 2

3、Cx 6 例 2 求 .23 1 dxx 解 ,)23(23 12123 1 xxxdxx 23 1 dxxx )23(23 121 duu 121 Cu ln21 .)23ln(21 Cx dxbaxf )( baxuduufa )(1一 般 地 7 例 3 求 .)ln21( 1 dxxx 解 dxxx )ln21( 1 )(lnln21 1 xdx )ln21(ln21 121 xdx xu ln21 duu121 Cu ln21 .)ln21ln(21 Cx 8 例 4 求 .)1( 3dxxx 解 dxxx 3)1( dxxx 3)1( 11 )1()1( 1)1( 1 32 xdx

4、x 221 )1(2 11 1 CxCx .)1(2 11 1 2 Cxx 9 例 5 求 .1 22 dxxa 解 dxxa 22 1 dxaxa 222 1 11 axdaxa 21 11 .arctan1 Caxa 10 例 6 求 .25812 dxxx 解 dxxx 25812 dxx 9)4( 1 2dxx 13 4131 22 3 413 4131 2 xdx.3 4arctan31 Cx 11 例 7 求 .1 1 dxex 解 dxex 1 1 dxe ee x xx 11dxee xx 11 dxeedx xx 1)1(1 1 xx ededx .)1ln( Cex x 1

5、2 例 8 求 .)11( 12 dxex xx 解 ,111 2xxx dxex xx 12 )11( )1(1 xxde xx .1 Ce xx 13 例 9 求 .1232 1 dxxx 原 式 dxxxxx xx 12321232 1232 dxxdxx 12413241 )12(1281)32(3281 xdxxdx .1212132121 33 Cxx 14 例 10 求解 .cos1 1 dxx dxxcos1 1 dxxx xcos1cos1 cos1 dxxx2cos1 cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin1 22 xdxdxx .sin1cot Cx

6、x 15 例 11 求解 .cossin 52 xdxx xdxx 52 cossin )(sincossin 42 xxdx )(sin)sin1(sin 222 xdxx )(sin)sinsin2(sin 642 xdxxx .sin71sin52sin31 753 Cxxx 说 明 当 被 积 函 数 是 三 角 函 数 相 乘 时 ， 拆 开 奇次 项 去 凑 微 分 . 16 例 12 求解 .2cos3cos xdxx ),cos()cos(21coscos BABABA ),5cos(cos212cos3cos xxxx dxxxxdxx )5cos(cos212cos3cos

7、 .5sin101sin21 Cxx 17 例 13 求解 （ 一 ） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx 2cos2sin2 1 22cos2tan 1 2 xdxx 2tan2tan1 xdxCx 2tanln .)cotln(csc Cxx （ 使 用 了 三 角 函 数 恒 等 变 形 ） 18 解 （ 二 ） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos1 1 2 xdx xu cos duu21 1 duuu 1 11 121Cuu 11ln21 .cos1 cos1ln21 Cxx 类 似 地 可 推 出 .)tanln(secsec

8、 Cxxxdx 19 解例 14 设 求 .,cos)(sin 22 xxf )(xf令 xu 2sin ,1cos2 ux ,1)( uuf duuuf 1)( ,21 2 Cuu .21)( 2 Cxxxf 20 例 15 求解 .2arcsin4 12 dxxx dxxx 2arcsin4 12 22arcsin21 12 xdxx )2(arcsin2arcsin1 xdx .2arcsinln Cx 21 16例 xdxx 35 sectan xdxxxx tansecsectan 24 xxdx secsec)1(sec 222 xdxxx sec)secsec2(sec 246

9、Cxxx 357 sec31sec52sec71 22 17例 dxxx 1164 dxxxx x )1)(1( 1 242 4 dxxxx xxx )1)(1( 1 242 224 dxxxdxx 2322 )(11 1 Cxx 3arctan31arctan 23 14724 P习 题 ） 单 数（） ， （ 2998)1( A组 24 思 考 题求 积 分 .)1(ln)ln( dxxxx p 25 思 考 题 解 答 dxxxxd )ln1()ln( dxxxx p )1(ln)ln( )ln()ln( xxdxx p 1,)lnln( 1,1)ln( 1 pCxx pCp xx p

10、26 一 、 填 空 题 ：1、 若 CxFdxxf )()( 而 )(xu 则 duuf )( _；2、 求 )0(22 adxax 时 ， 可 作 变 量 代 换 _ _， 然 后 再 求 积 分 ；3、 求 dxxx 211 时 可 先 令 x _； 4、 dxx _ )1( 2xd ； 5、 dxe x2 _ )1( 2xed ；6、 xdx _ )ln53( xd ； 练 习 题 27 7、 291 xdx =_ )3arctan( xd ； 8、 21 xxdx _ )1( 2xd ； 9、 dtt tsin _； 10、 222 xa dxx _ . 二 、 求 下 列 不 定

11、积 分 ： （ 第 一 类 换 元 法 ）1、 dxxa xa ； 2、 )ln(lnln xxx dx ； 28 3、 22 1.1tan xxdxx ； 4、 xx ee dx ； 5、 dxxx 32 1 ； 6、 dxxxx 4sin1 cossin ； 7、 dxxx xx3 cossin cossin ； 8、 dxxx 2491 ； 9、 dxxx 239 ； 10、 )4( 6xx dx ； 11、 dxxx x)1(arctan ； 12、 dxxex x x )1( 1 ； 13、 dxx x2arccos2110 ； 14、 dxxx xsincos tanln . 29

12、 三 、 求 下 列 不 定 积 分 ： （ 第 二 类 换 元 法 ）1、 21 xx dx ； 2、 32 )1(xdx ； 3、 xdx21 ； 4、 dxxaxx 2 ；5、 设 xdxntan ,求 证 ： 21tan11 nnn IxnI , 并 求 xdx5tan . 30 练 习 题 答 案一 、 1、 CuF )( ;； 2、 tax sec 或 tax csc ； 3、 t1； 4、 21； 5、 -2； 6、 51； 7、 31； 8、 ； 9、 Ct cos2 ； 10、 Cxaaxaxa )(arcsin2 2222 .二 、 1、 Cxaaxa 22arcsin ；

13、 2、 Cx lnlnln ； 3、 Cx )1ln(cos 2 ； 4、 Ce x arctan ； 5、 Cx 233 )1(92 ； 6、 Cx )arctan(sin21 2 ； 31 7、 Cxx 3 2)cos(sin23 ； 8、 Cxx 44932arcsin21 2 ； 9、 Cxx )9ln(292 22 ； 10、 Cx x 4ln241 6 6 ；11、 Cx 2)(arctan ； 12、 Cxexe xx )1ln()ln( ；13、 Cx 10ln210 arccos2 ； 14、 Cx 2)tan(ln21 . 32 三 、 1、 Cxxx )1ln(arcsin21 2 ； 2、 Cxx 21 ； 3、 Cxx )21ln(2 ； 4、 )2(22arcsin3 2 xaxaaxa + Cxaxxa )2(2 .