《li86平面及其方程》PPT课件.ppt

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1、第 六 节 平 面 及 其 方 程一 、 平 面 的 点 法 式 方 程二 、 平 面 的 一 般 方 程三 、 平 面 的 截 距 式 方 程五 、 点 到 平 面 的 距 离四 、 两 平 面 的 夹 角 x yzo 法 线 向 量 法 线 向 量 的 特 征 ：垂 直 于 平 面 内 的 任 一 向 量 已 知 ),(.2 0000 zyxM平 面 上 一 定 点.求 此 平 面 的 方 程 n一 、 平 面 的 点 法 式 方 程 0M M垂 直 于 平 面 的 非 零 向 量 ,),( 是 平 面 上 任 意 一 点设 zyxM ,0 nMM 必 有 问 题 ：解 ： ),( .1

2、CBAn平 面 的 一 个 法 线 向 量（ 简 称 为 法 向 量 ） : MM0 )1(,0)()()( 000 zzCyyBxxA -点 法 式 方 程 可 以 看 出 : ),( CBAn 法 线 向 量 ).,( 000 zyx定 点 ),( CBAn ,),( 是 平 面 上 任 意 一 点设 zyxM 必 有解 ： ,0 nMM ,不 满 足 上 述 方 程不 在 平 面 上 的 点 的 坐 标又 ),( 000 zzyyxx x yzo n0M M . )3,2,1()0,3,2(的平面的方程为法线向量且以求过点 n所求平面为根据平面的点法式方程, ,03)3(2)2( zyx

3、 .0832 zyx即例 1解0)()()( 000 zzCyyBxxA 过 点 M0(x0, y0, z0)且 法 线 向 量 为 n(A, B, C)的 平 面 的 方 程为 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0. 所 求 平 面 的 方 程 为 3(x3)7(y0)5(z1)0, 即 3x7y5z40. 例 2求 过 点 (3, 0, 1)且 与 平 面 3x7y5z120平 行 的 平 面方 程 . 解 所 求 平 面 的 法 线 向 量 为 n(3, 7, 5),v平 面 的 点 法 式 方 程 kji例 3.求 过 三 点,1 M又 )1,9,14( 0)4()1(9)2(14

4、zyx 015914 zyx即 解 : 取 该 平 面 的 法 向 量 为 ),2,3,1(),4,1,2( 21 MM )3,2,0(3M的 平 面 的 方 程 . 利 用 点 法 式 得 平 面 的 方 程3 4 62 3 1 1M 2M3M nn 3121 MMMM 此 平 面 的 三 点 式 方 程 也 可 写 成 0132 643 412 zyx 0131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx一 般 情 况 : 过 三 点 )3,2,1(),( kzyxM kkkk的 平 面 方 程 为说 明 : ,3,3,4211 MMn所 求 平 面 的 一 个

5、法 向 量 为 ,0)1(3)2(3)3(4 zyx即 .09334 zyx由 点 法 式 方 程 ， 得解 二 、 平 面 的 一 般 方 程设 有 三 元 一 次 方 程 以 上 两 式 相 减 , 得 平 面 的 点 法 式 方 程此 方 程 称 为 平 面 的 一 般0 DzCyBxA任 取 一 组 满 足 上 述 方 程 的 数 , 000 zyx 则 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0000 DzCyBxA显 然 方 程 与 此 点 法 式 方 程 等 价 , )0( 222 CBA ),( CBAn 的 平 面 , 因 此 方 程 的 图 形 是法 向 量 为 方 程

6、 . 特 殊 情 形 当 D = 0 时 , A x + B y + C z = 0 表 示 通 过 原 点 的 平 面 ; 当 A = 0 时 , B y + C z + D = 0 的 法 向 量平 面 平 行 于 x 轴 ; A x+C z+D = 0 表 示 A x+B y+D = 0 表 示 C z + D = 0 表 示 A x + D =0 表 示 B y + D =0 表 示 0 DCzByAx )0( 222 CBA平 行 于 y 轴 的 平 面 ;平 行 于 z 轴 的 平 面 ;平 行 于 xoy 面 的 平 面 ;平 行 于 yoz 面 的 平 面 ；平 行 于 zox

7、 面 的 平 面 .,),0( iCBn 例 1. 求 通 过 x 轴 和 点 ( 4, 3, 1) 的 平 面 方 程 .解 : 因 平 面 通 过 x 轴 , 0 DA故设 所 求 平 面 方 程 为 0 zCyB代 入 已 知 点 )1,3,4( 得 BC 3化 简 ,得 所 求 平 面 方 程 03 zy ,0 DCzBy 从 而 所 求 平 面 为 ：解 得 ,4,3 DCDB 解 所 以 设 平 面 方 程 为 ：所 求 平 面 平 行 于 x轴 ， 可 知 , in ),( CBAn设，0A则将 已 知 两 点 代 入 得 0 023 DCB DCB 0143043 zyDDzD

8、y 即， 当 平 面 与 三 坐 标 轴 的 交 点 分 别 为此 式 称 为 平 面 的 截 距 式 方 程 . ),0,0(,)0,0(,)0,0,( cRbQaP 1 czbyax时 , )0,( cba平 面 方 程 为 P o z yx R Q三 . 平 面 的 截 距 式 方 程 . bcax )( cay )( 0 bazabcbzaacybcx 分 析 1:利 用 三 点 式 按 第 一 行 展 开 得 即 0ax y za b 0a 0 c 设 平 面 为 ,0 DCzByAx将 三 点 坐 标 代 入 得 ,0,0,0DcC DbB DaA ,aDA ,bDB .cDC 解

9、 ,aDA ,bDB ,cDC 将代 入 所 设 方 程 得 1 czbyax 平 面 的 截 距 式 方 程x 轴 上 截 距 y轴 上 截 距 z轴 上 截 距 四 、 两 平 面 的 夹 角设 平 面 1的 法 向 量 为 平 面 2的 法 向 量 为则 两 平 面 夹 角 的 余 弦 为 cos 即 212121 CCBBAA 222222 CBA 212121 CBA 两 平 面 法 向 量 的 夹 角 (常 为 锐 角 )称 为 两 平 面 的 夹 角 . 12 2n1n),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 21 21cos nn nn 2特 别 有 下 列 结

10、论 ：21)1( 0212121 CCBBAA21/)2( 212121 CCBBAA ),(: ),(: 22222 11111 CBAn CBAn 1 12 21 21cos nn nn 21 nn 21/ nn 2n 1n2n 1n 例 1 求 平 面 2x2yz50与 各 坐 标 面 的 夹 角 . 平 面 A1xB1yC1zD10和 A2xB2yC2zD20夹 角 的 余 弦 :此 平 面 的 法 线 向 量 为 n(2, 2, 1). 解 平 面 与 yOz面 的 夹 角 的 余 弦 为 222222212121 212121 |cos CBACBA CCBBAA . 321)2(

11、2 2|) ,cos(cos 122 in inin平 面 与 zOx面 的 夹 角 的 余 弦 为 321)2(2 2|) ,cos(cos 122 jn jnjn 因 此 有例 2. 一 平 面 通 过 两 点垂 直 于 平 面 : x + y + z = 0, 求 其 方 程 .解 : 设 所 求 平 面 的 法 向 量 为 ,020 CBA 即 CA 2的 法 向 量 ,0 CBACCAB )( )0(0)1()1()1(2 CzCyCxC约 去 C , 得 0)1()1()1(2 zyx即 02 zyx 0)1()1()1( zCyBxA )1,1,1(1M ,)1,1,0(2 M和

12、 则 所 求 平 面故,),( CBAn方 程 为 n 21MMn 且 外 一 点 ,求 ),( 0000 zyxP 0 DzCyBxA设解 :设 平 面 法 向 量 为),( 1111 zyxP在 平 面 上 取 一 点 是 平 面到 平 面 的 距 离 d .0P,则 P0 到 平 面 的 距 离 为 ,),( CBAn 0P1P nd01Prj PPd n n nPP 01五 . 点 到 平 面 的 距 离 公 式 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxAd 0111 DzCyBxA 0P1P nd(点 到 平 面 的 距 离

13、 公 式 ) 例 1 求 点 (1, 2, 1)到 平 面 x2y2z100的 距 离 . 点 P0(x0, y0, z0)到 平 面 AxByCzD0距 离 : 解 : 222 000 | CBA DCzByAxd . 点 (1, 2, 1)到 平 面 x2y2z100的 距 离 为 1221 |1012221| 222 d x yzo 0M例 2.解 : 设 球 心 为求 内 切 于 平 面 x + y + z = 1 与 三 个 坐 标 面 所 构 成则 它 位 于 第 一 卦 限 ,且 222 000 111 1zyx 00 331 xx ,1000 zyx Rzyx 000因 此 所

14、 求 球 面 方 程 为 000 zyx 6 3333 1 ,),( 0000 zyxM四 面 体 的 球 面 方 程 .从 而 )(半 径R( ) 2222 )6 33()6 33(6 33)6 33( zyx 内 容 小 结1.平 面 基 本 方 程 :一 般 式点 法 式截 距 式 0 DCzByAx )0( 222 CBA1 czbyax三 点 式 0131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 0)()()( 000 zzCyyBxxA )0( abc 0212121 CCBBAA 212121 CCBBAA 2.平 面 与 平 面 之 间 的 关 系

15、平 面平 面垂 直 :平 行 :夹 角 公 式 : 21 21cos nn nn 021 nn 021 nn ,0: 22222 DzCyBxA ),( 2222 CBAn ,0: 11111 DzCyBxA ),( 1111 CBAn 解 :平 面 的 法 线 向 量 为 所 求 平 面 的 点 法 式 方 程 为 : ;0)1()0(2)0(3 zyx . ,123 式 方 程求 其 点 法 式 方 程 、 截 距 为已 知 一 平 面 的 一 般 方 程 zyx练 习 ),1,2,3( n,0,0 yx令 ,1 z得 ),1,0,0(平 面 过 点 所 求 平 面 的 点 法 式 方 程

16、 为 : .0)4()1(2)1(3 zyx ,1,1 yx或 令 ,4 z得 ),4,1,1( 平 面 过 点 解 法 （ 1） )2,2,2(21 MM 垂 直及 )3,2,1(21 nMM所 求 平 面 的 法 向 量 与 )2,4,2(222 32121 kjiMMn取 为 0)3(2)1(4)2(2 zyx所 求 平 面 方 程 为 ： 072 zyx即练 习 一 平 面 经 过 点 M1(2,-1,3)和 M2(4,1,5),且 垂 直 于x+2y+3z+5=0,求 其 方 程 )2(解 法 ，),( CBAn设 所 求 平 面 法 向 量 为 21 11 )3,2,1( MMn nnn ）（则 032 0222 CBA CBA CBCA 2, 得 ：所 求 平 面 方 程 为 0)3()1()2( zCyBxA 0)3()1(2)2( zyx：即 072 zyx