理学82偏导数

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1、 理学理学82-82-偏导数偏导数March 2005http:/Revised Feb,2006一、偏导数的定义与计算一、偏导数的定义与计算March 2005http:/Revised Feb,2006二元函数的偏导数二元函数的偏导数（关于（关于 x 的偏增量）的偏增量）March 2005http:/Revised Feb,2006f(x,y)对自变量对自变量 x 的偏导数的偏导数March 2005http:/Revised Feb,2006二元函数的偏导数二元函数的偏导数（关于（关于 y 的偏增量）的偏增量）March 2005http:/Revised Feb,2006f(x,y)

2、对自变量对自变量 y 的偏导数的偏导数March 2005http:/Revised Feb,2006偏导函数：偏导函数：March 2005http:/Revised Feb,2006求偏导数的方法？求偏导数的方法？比较导数的定义比较导数的定义和偏导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是导数！偏导数实际上就是导数！March 2005http:/Revised Feb,2006要求偏导数要求偏导数只需将自变量只需将自变量 y 暂时看成不变的常量，暂时看成不变的常量，对自变量对自变量 x 求导数即可求导数即可求偏导数的方法求偏导数的方法March 2005http:/Revised Feb,2

3、006要求偏导数要求偏导数只需将自变量只需将自变量 x 暂时看成不变的常量，暂时看成不变的常量，对自变量对自变量 y 求导数即可求导数即可March 2005http:/Revised Feb,2006例例 1解解March 2005http:/Revised Feb,2006例例 3 设设求证求证解解幂函数求导公式幂函数求导公式指数函数求导公式指数函数求导公式March 2005http:/Revised Feb,2006所以所以March 2005http:/Revised Feb,2006例例 4 求以下函数的偏导数求以下函数的偏导数解解同理（由对称性）同理（由对称性）利用对称性求偏导数

4、的一利用对称性求偏导数的一个小窍门：个小窍门：学习手册学习手册212212页页March 2005http:/Revised Feb,2006证证P:压力，压力，T：温度，：温度，V：容积：容积March 2005http:/Revised Feb,2006等温条件下，等温条件下，压力关于容积压力关于容积的变化率的变化率等容条件下，等容条件下，温度关于压力温度关于压力的变化率的变化率等压条件下，等压条件下，容积关于温度容积关于温度的变化率的变化率March 2005http:/Revised Feb,2006不像导数记号不像导数记号 可以视为可以视为 dy 与与 dx 之商之商 以上等式说明以

5、上等式说明 是一个整体记号是一个整体记号March 2005http:/Revised Feb,2006March 2005http:/Revised Feb,2006偏导数的几何意义偏导数的几何意义表示函数表示函数 z=f(x,y)在点在点 M0(x0,y0)处沿处沿 x 轴方轴方向的变化率（倾斜度）向的变化率（倾斜度）偏导数偏导数 fx(x0,y0)是曲线是曲线在点在点 x=x0 处的切线的斜率：处的切线的斜率：March 2005http:/Revised Feb,2006March 2005http:/Revised Feb,2006偏导数的几何意义偏导数的几何意义March 2005

6、http:/Revised Feb,2006在在 点点(x0,y0)偏导数偏导数（切线）依然存在（切线）依然存在但是在点但是在点(x0,y0)函数已经不连续函数已经不连续将两条曲线上移将两条曲线上移考察：偏导数与连续性的关系考察：偏导数与连续性的关系March 2005http:/Revised Feb,2006多元函数：多元函数：偏导数存在偏导数存在函数连续或有极限函数连续或有极限March 2005http:/Revised Feb,2006经典经典反例反例求求 f(x,y)在原点在原点(0,0)的偏导数的偏导数解解同理同理 p.16March 2005http:/Revised Feb,

7、2006几何解释：几何解释：在在 x 轴上，轴上，所以，所以，常数常数March 2005http:/Revised Feb,2006但是，二重极限但是，二重极限 不存在不存在 所以，所以，f(x,y)在在(0,0)不连续不连续多元函数：在一点多元函数：在一点 M 处处偏导数存在偏导数存在连续连续有极限有极限注意注意March 2005http:/Revised Feb,2006比较一元函数：在一点比较一元函数：在一点 x 处处导数存在导数存在连续连续有极限有极限学习指导学习指导 P.145问问 5.11多元函数：在一点多元函数：在一点 M 处处偏导数存在偏导数存在连续连续有极限有极限Marc

8、h 2005http:/Revised Feb,2006二、高阶偏导数二、高阶偏导数Higher Partial DerivativesMarch 2005http:/Revised Feb,2006例例6March 2005http:/Revised Feb,2006March 2005http:/Revised Feb,2006混合偏导数混合偏导数f(x,y)的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数March 2005http:/Revised Feb,2006混合偏导数混合偏导数f(x,y)的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数March 2005http:/Revised Feb,2006高阶偏导数

9、的记号：高阶偏导数的记号：March 2005http:/Revised Feb,2006高阶偏导数高阶偏导数March 2005http:/Revised Feb,2006两个混合偏导数相等两个混合偏导数相等这不是偶然的这不是偶然的但也不是必然的但也不是必然的March 2005http:/Revised Feb,2006定理定理2.4(Clairauts Theorem)如果如果 和和 在区域在区域 D 内连续内连续则在则在D 内：内：即：在连续的前提下，混合偏导数与对自变量即：在连续的前提下，混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序无关求偏导数的先后次序无关March 2005http:/

10、Revised Feb,2006在不连续点处，混合偏导数与对自变量求偏导在不连续点处，混合偏导数与对自变量求偏导数的先后次序数的先后次序可能有关可能有关，即可能有：，即可能有：March 2005http:/Revised Feb,2006经典经典反例反例学习手册学习手册 212页页在原点在原点O(0,0)，March 2005http:/Revised Feb,2006课内课内练习练习求求March 2005http:/Revised Feb,2006例例 8 证明：函数证明：函数满足拉普拉斯满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:March 2005http:/Revised Feb,2006证：证：其中其中前面曾经讲过这个例子前面曾经讲过这个例子March 2005http:/Revised Feb,2006March 2005http:/Revised Feb,2006由函数关于自变量由函数关于自变量 x、y、z 的对称性，的对称性，利用对称性求偏导数的一个小利用对称性求偏导数的一个小窍门：窍门：学习手册学习手册212212页页March 2005http:/Revised Feb,2006记记梯度梯度：Hamilton 算子算子（p.182)Laplace 方程：方程：Laplace 算子算子（p.171）