几种特殊的二阶张量

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1、及及连续介质力学连续介质力学12.52.5 几种特殊的几种特殊的二阶张量二阶张量2.5.1 2.5.1 零二阶张量零二阶张量O2.5.2 2.5.2 度量张量度量张量G22.5.3 2.5.3 二阶张量二阶张量的幂的幂2.5.3.1 2.5.3.1 二阶张量二阶张量的正整数次幂的正整数次幂n 个个T2.5.3.2 2.5.3.2 二阶张量二阶张量的零次幂的零次幂2.5.3.3 2.5.3.3 二阶张量二阶张量的负正整数次幂的负正整数次幂n 个个T-132.5.4 2.5.4 正张量正张量、非负张量及其方根非负张量及其方根、对数对数定义定义 正张量正张量N O满足满足uNu=N:uu0 对于任意

2、对于任意u0 非负非负张量张量N O满足满足uNu=N:uu0 对于任意对于任意u0正张量、非负张量都是对称二阶张量。正张量、非负张量都是对称二阶张量。对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形N 为正张量的必要且充分条件是为正张量的必要且充分条件是 Ni 0N 为非负张量的必要且充分条件是为非负张量的必要且充分条件是 Ni04对于非负张量对于非负张量N O，存在唯一的非负张量，存在唯一的非负张量M O，使使定义定义M 为为N 的的方根方根，记作，记作可证：可证：M与与N具有相同的主方向。具有相同的主方向。且其主分量为且其主分量为若

3、若N O，p为非负整数，则存在唯一的为非负整数，则存在唯一的S=N 1/pO5正张量正张量N O 的对数的对数lnN:可证：利用任意一个非对称二阶张量可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量可构造两个非负张量如果如果T 是正则的，则是正则的，则X，Y 是正张量：是正张量：一般来说，一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同是两个不同的张量。可证：它们具有相同的主分量，只是主轴方向不同而已。的主分量，只是主轴方向不同而已。62.5.5 2.5.5 二阶张量二阶张量的值的值满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式，满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等

4、式，可作为二阶张量空间的一种范数。可作为二阶张量空间的一种范数。2.5.6 2.5.6 反对称二阶张量反对称二阶张量2.5.6.1 2.5.6.1 定义定义 满足满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿坐标系中坐标系中72.5.6.2 2.5.6.2 反对称二阶张量的主不变量反对称二阶张量的主不变量2.5.6.2 2.5.6.2 反对称二阶张量的标准形反对称二阶张量的标准形 的特征方程的特征方程特征方程的根特征方程的根 的的轴轴或或零向零向e3满足满足设与设与l，对应的特征矢量（复数基）为对应的特征矢量（复数基）为g1，g28在在g1，g2，e3中，中，可

5、化为对角型标准形可化为对角型标准形在垂直于在垂直于e3的平面内，的平面内，任选任选e1 e2。在在e1，e2，e3 内，内，可可化为实数形式的标准形：化为实数形式的标准形：92.5.6.4 2.5.6.4 反对称二阶张量的反偶矢量反对称二阶张量的反偶矢量定义定义 矢量矢量 与与 之间满足之间满足 则称则称 为反对称二阶张量为反对称二阶张量 的的反偶矢量反偶矢量。而称。而称 与与 互为互为反偶反偶。易证：易证：（包含了包含了 的全部信息）的全部信息）102.5.6.5 2.5.6.5 反对称二阶张量所对应的线性变换反对称二阶张量所对应的线性变换对于空间任一矢量对于空间任一矢量 u u1e1+u2

6、e2+u3e3，e1e2e3 uu uu+u当当1时，时，代表了小代表了小转动，转动，是小转动矢量。是小转动矢量。112.5.7 2.5.7 正交张量正交张量2.5.7.1 2.5.7.1 定义定义 一一个正则二阶张量，其逆与其转置张量相等，则称该个正则二阶张量，其逆与其转置张量相等，则称该正则二阶张量为正则二阶张量为正交张量正交张量，用，用Q 表示。即表示。即 在一般的斜坐标系中，在一般的斜坐标系中，正交张量，正交张量的矩阵的矩阵不是正交矩阵。只有在笛卡儿坐标系中，才有不是正交矩阵。只有在笛卡儿坐标系中，才有122.5.7.2 2.5.7.2 正交变换的正交变换的“保内积保内积”性质性质 定

7、理定理 任意矢量任意矢量u，v 用同一个正交张量进行映射用同一个正交张量进行映射后，其内积不变，即后，其内积不变，即 逆定理逆定理 若一个二阶张量对于任意两个矢量若一个二阶张量对于任意两个矢量u，v 进行进行线性变换后，仍保持此二矢量的内积不变，则此二阶张量线性变换后，仍保持此二矢量的内积不变，则此二阶张量必定是正交张量必定是正交张量Q。几何意义：正交变换只能将空间一组基矢量进行刚性旋转几何意义：正交变换只能将空间一组基矢量进行刚性旋转（可能加镜面反射），不能改变它们的长度与夹角。（可能加镜面反射），不能改变它们的长度与夹角。132.5.7.3 2.5.7.3 正交张量的并矢表达式正交张量的并

8、矢表达式如果采用正交标准化基如果采用正交标准化基 ei，则，则142.5.7.4 2.5.7.4 正交张量的标准形正交张量的标准形R 使使 gi 只产生整体的刚性转动，右手系的只产生整体的刚性转动，右手系的 gi 仍变为右手系；仍变为右手系；R 使使 gi 不仅有刚性转动，还进行了一次镜面反射。不仅有刚性转动，还进行了一次镜面反射。设设Q 的特征方程的特征根分别为的特征方程的特征根分别为 ，其中必，其中必有一个模等于有一个模等于1的实根。于是可设的实根。于是可设15所对应的特征方向上的单位矢量所对应的特征方向上的单位矢量e3，称为，称为正交张量正交张量的轴的轴。一般可设一般可设16复数形式的标准形复数形式的标准形实数形式的标准形实数形式的标准形在垂直于在垂直于e3的平面内任意一对正交标准化基，都可作为对的平面内任意一对正交标准化基，都可作为对应的特征矢量。在这组正交标准化基中应的特征矢量。在这组正交标准化基中17正交张量对其特征矢量所做的线性变换为正交张量对其特征矢量所做的线性变换为e1e2e1e2e3Ruu18