第一章-习题课-导数的应用

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1、习题课导数的应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用1函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一构造法的应用例1已知定义在上的函

2、数f(x)，f(x)是它的导函数，且sin xf(x)cos xf(x)恒成立，则()A.ff B.ffC.f2f D.ff(x)cos x，得f(x)sin xf(x)cos x0，构造函数g(x)，则g(x).当x时，g(x)0，即函数g(x)在上单调递增，gg，ff，故选D.反思与感悟用构造法比较函数值的大小关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小跟踪训练1已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，f(x)0，若af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()Aacb BbcaCabc Dcab考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案B解析令g(x

3、)xf(x)，则g(x)xf(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0，当x0.g(x)在(0，)上是减函数ln 21，g()g(ln 2)g.g(x)是偶函数，g()g()，gg(ln 2)，g()gf(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在R上单调递减f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选C.反思与感悟构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围跟踪训练2已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且对任意的xR都有f(x)的解集为_考点利用导

4、数研究函数的单调性题点构造法的应用答案(0,10)解析f(x)，f(x)，得f(lg x)0，F(lg x)F(1)F(x)在R上单调递减，lg x1，0x0)当a0时，f(x)0时，令g(x)ax22xa，函数f(x)在区间1，)上是单调函数，g(x)0在区间1，)上恒成立，a在区间1，)上恒成立令u(x)，x1，)u(x)1，当且仅当x1时取等号a1.当a1时，函数f(x)单调递增实数a的取值范围是(，01，)(2)由(1)可知：当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a1时，此时函数f(x)在(0，)上单调递增当0a0)，f(x)2x4，令f(x)0，解得x或x，令f(

5、x)0，解得xg(x)；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点导数在最值中的应用题点已知最值求参数(1)解当a1时，f(x)2xln(2x)，f(x)2，x(0，e，当0x时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当x0，此时f(x)单调递增所以f(x)的极小值为f1，故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，f(x)的极小值为f1，无极大值(2)证明令h(x)g(x)，h(x)，x(0，e，当0x0，此时h(x)单调递增，所以h(x)maxh(e)g(x).(3)解假设存在实数a，使f(x)2axln(2x)，x(0，e有最小值3，f(x)2

6、a，x(0，e，当a0时，因为x(0，e，所以f(x)0，f(x)在(0，e上单调递减，所以f(x)minf(e)2aeln(2e)3，解得a(舍去)，当0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln3，解得ae2，满足条件，当e，即0a时，f(x)1，当0x0；当1xc时，f(x)c时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，)；单调递减区间为(1，c)(2)若c0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，函数f(x)恰有两个零点，则f(1)0，即b0，c0；若0c1，则f(x)极大值f(c)cln cc2bc，f(x)极小值f(1)b，b

7、1c，则f(x)极大值cln cc2c(1c)cln ccc21，则f(x)极小值f(c)cln cc2c(1c)cln ccc20，f(x)极大值f(1)c，从而得f(x)只有一个零点综上，使f(x)恰有两个零点的c的取值范围为.1已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B.C. D.考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案C解析由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函数的解析式为f(x)x33x22x.f(x)3x26x2，由方程3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)2

8、2x1x242.2已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案A解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上单调递减或g(x)为常函数a0恒成立2对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案A解析f(x)3x22ax7a

9、，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f(x)不存在极值点3若函数f(x)(x2ax1)ex1的一个极值点为x1，则f(x)的极大值为()A1 B2e3C5e3 D1考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案C解析由题意知f(1)0，解得a1，f(x)(x2x2)ex1，则函数的极值点为x12，x21，当x1时，f(x)0，函数是增函数，当x(2,1)时，函数是减函数，f(x)极大值f(2)5e3.4.已知定义在R上的函数f(x)的图象如图，则xf(x)0的解集为()A(，0)(1,2) B(1,2)C(，1) D(，1)(2，)考点函数的单调性与导数的关系题点根据单调

10、性确定导数值的正负号答案A解析不等式xf(x)0等价于当x0时，f(x)0，即当x0时，函数单调递增，此时1x2；或者当x0时，f(x)0，即当x0时，函数单调递减，此时x0，综上，1x2或x1f(x)，f(0)6，其中f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(1，) D(3，)考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案A解析不等式exf(x)ex5可化为exf(x)ex50.设g(x)exf(x)ex5，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)10，所以函数g(x)在定义域R上

11、单调递增又g(0)0，所以g(x)0的解集为(0，)二、填空题8函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递增区间为_考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案(，1)和(1，)解析令f(x)3x23a0，得x.由题意得f()2，f()6，得a1，b4.由f(x)3x230，得f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)9已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)xsin x，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案ca2130，所以f(2)f(1)f(3)即ca0，得

12、1x1，即函数f(x)的增区间为(1,1)又f(x)在(m,2m1)上单调递增，所以解得11在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围为_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案1，)解析由f(x)1，得axln x1，x1，原不等式转化为a，设g(x)，得g(x)，当x(1，)时，g(x)0，则g(x)在(1，)上单调递减，则g(x)在(1，)上恒成立，a1.三、解答题12已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值考点导数在最值问题中的应用题点求函数的最值解(1)

13、f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)于是有22a20，a2，f(x)x33x29x2.当x(1,3)时，f(x)0，f(x)在1,2上单调递增又由于f(x)在2，1)上单调递减，f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，f(1)13927，即f(x)的最小值为7.13已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，x2ln xx3.考点利用导数研究函数的单调性

14、题点利用导数证明不等式(1)解f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，故a4.(2)解因为f(x)x，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)；单调递减区间为(0，)(3)证明设g(x)x3x2ln x，则g(x)2x2x，因为当x1时，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln x0时，有0，则不等式x2f(x)0的解集是_考点利用导数求函数的单调区

15、间题点求不等式的解集答案(1,0)(1，)解析令g(x)(x0)，则g(x).当x0时，0，即g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数又f(1)0，g(1)f(1)0，在(0，)上，g(x)0的解集为(1，)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在(，0)上，g(x)0，得f(x)0(x0)又f(x)0的解集为(1,0)(1，)，不等式x2f(x)0的解集为(1,0)(1，)15设函数f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a0，即a.即实数a的取值范围为.(2)已知0a0，f(4)1642a2a120，所以f(4)64168a8a0.所以f(4)8a，即a1.此时，由f(x0)xx020，得x02或1(舍去)，即f(x)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减所以函数f(x)maxf(2).