ch51不定积分的概念和性质.ppt

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1、2021年 4月 20日 星 期 二第 五 章 不 定 积 分 5.1不 定 积 分 的 概 念 和 性 质 5.2基 本 积 分 表 5.3基 本 积 分 法 5.4有 理 函 数 及 三 角 函 数 有 理 式 的 积 分cos ?xdx （ 约 8学 时 ） 2021年 4月 20日 星 期 二问 题 : 求 导 运 算 是 否 有 逆 运 算 ? 它 的 逆 运 算 是 什 么 ？ 讨 论 其 逆 运 算 的 意 义 何 在 ？2、 已 知 曲 线 ， 求 它 的 切 线 的 斜 率 。 如 果 我 们 讨 论 的 是 反 问 题 ， 已 知 物 体 运 动 的 瞬 时 速 度 ，即

2、速 度 函 数 ， 求 物 体 的 运 动 规 律 ， 即 路 程 函 数 ； 已 知 曲 线 在 每 一 点 的 切 线 的 斜 率 ， 求 此 曲 线 。 我 们 知 道 导 数 概 念 是 一 个 非 常 重 要 的 概 念 。 它 不 仅 仅 是一 种 形 式 运 算 ， 在 实 际 应 用 中 是 很 有 用 的 。例 如 :1、 已 知 物 体 的 运 动 规 律 ， 即 路 程 函 数 ， 求 物 体 的 瞬 时 速 度 ;我 们 把 求 导 的 逆 运 算 称 为 不 定 积 分 。 2021年 4月 20日 星 期 二( )f x已 知 ( )f x导 数 微 分 学( )F

3、 x( ) ( )F x f x 积 分 学-两 个 相 反 的 问 题反 导 数 2021年 4月 20日 星 期 二一 、 原 函 数 （ 反 导 数 ） 的 定 义 ,x I ( ) ( ) ( ) ( ) .F x f x dF x f x dx 或定 义 1 设 定 义 在 区 间 I上 , 若 存 在 函 数 , 有( )F x( )f x 5.1 不 定 积 分 的 概 念 和 性 质则 称 是 已 知 函 数 在 该 区 间 I上 的 一 个 原 函 数 （ 反 导 数 ） 。( )F x ( )f x例 设 (x) = cos x, 则 F(x) = sinx, sinx1,

4、 , sinx+C.1.原 函 数 存 在 的 条 件 ?2.原 函 数 的 个 数 ? 3.不 同 的 原 函 数 之 间 的 关 系 ?问 题 : 2021年 4月 20日 星 期 二定 理 1 若 函 数 (x)在 区 间 I上 连 续 , 则 (x)在 区 间 I上 的 原 函数 一 定 存 在 . (证 明 略 )定 理 2 设 F(x)是 函 数 (x)在 区 间 I上 的 一 个 原 函 数 , 则 对 任何 常 数 C , F(x) + C也 是 函 数 (x)的 原 函 数 。证 因 ( ( ) ) ( ) ( )F x C F x f x 证 ( ( ) ( )F x G

5、x ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x f x f x ( ) ( ) ( )F x G x C 常 数由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 推 论 知定 理 3 设 F(x)和 G(x)都 是 函 数 (x)的 原 函 数 , 则 F(x) G(x) C (常 数 ) 2021年 4月 20日 星 期 二注 : 当 C为 任 意 常 数 时 , F(x)是 (x)的 一 个 原 函 数 , 则 表 达式 F(x) + C 可 表 示 (x) 的 任 意 一 个 原 函 数 , 即 ： (x) 的 全体 原 函 数 所 组 成 的 集 合 ， 就 是 函 数 族 : ( ) .

6、F x C c 2021年 4月 20日 星 期 二结 论 : 若 F(x)是 函 数 (x)的 一 个 原 函 数 , 则 ( ) ( ) .f x dx F x C 其 中 称 为 积 分 号 , (x)称 为 被 积 函 数 ,x称 为 积 分 变 量 , (x)d x 称 为 被 积 表 达 式 。“ ” 亦 由 莱 布 尼 兹 所 创 ， 它 是 德 语 中“ 总 和 ” Summe的 第 一 个 字 母 s的 伸 长 。 定 义 2 函 数 (x)的 全 体 原 函 数 称 为 (x)的 不 定 积 分 。( ) .f x dx 二 、 不 定 积 分 的 定 义 C为 任 意 常

7、 数 , 并 称 C为 积 分 常 数 。 记 为 2021年 4月 20日 星 期 二 2(4) 1 dxx 2 arctan1 dx x Cx 解(5) dxx lndx x Cx 解(3) x dx 111x dx x C 解 例 1 求 下 列 不 定 积 分(1) sin xdx sin cosxdx x C 解 22xdx x C 解(2) 2xdx 2021年 4月 20日 星 期 二例 2 已 知 的 一 个 原 函 数 是 , 2 lncos23 x 解 2 2sin 23 cos2 xx4 tan 23 x tan 2 ( )k x f x 4.3k 2 ln cos23

8、xtan2 ( )k x f x求 常 数 k.（ 1） 求 不 定 积 分 就 是 被 积 函 数 的 一 个 原 函 数 .（ 2） 不 定 积 分 是 全 体 原 函 数 的 一 般 表 达 式 .最 后 结 果 中 不要 忘 记 积 分 常 数 C.（ 3） 求 不 定 积 分 的 方 法 称 为 积 分 法 .说 明 ： 2021年 4月 20日 星 期 二例 3 ( ) ( ) , f x dx F x C 设 1( ) ( ) .f ax b dx F ax b Ca 证 ( ) ( ) f x dx F x C 1 ( ) ( )f ax b dx F ax b Ca 于 是F

9、(x)是 f(x)的 一 个 原 函 数 ， 满 足证 由 知( ) ( ) F x f x1 1 ( ) ( )F ax b C F ax b aa a ( ) ( )F ax b f ax b 1 ( ) ( ) F ax b C f ax ba 是 的 全 体 原 函 数 (a, b为 常 数 且 a0) . 2021年 4月 20日 星 期 二 y = F(x )函 数 (x)的 一 个 原 函 数 , 称 y = F(x) 的 图 形是 (x)的 一 条 积 分 曲 线 ;而 是 (x)的 原 函 数 一 般 表 达 式 , 所 以 它 对 应 的 图形 是 一 族 积 分 曲 线

10、称 它 为 积 分 曲 线 族 , 其 特 点 是 :( )f x dx (1)积 分 曲 线 族 中 任 意 一 条 曲 线 可由 其 中 某 一 条 (如 y =F(x)沿 y轴 平 行移 动 |c|个 单 位 而 得 到 . (如 图 )当 c0时 , 向 上 移 动 ; 当 c0时 , 向 下 移 动 . o xy x y=F(x)|c|三 、 不 定 积 分 的 几 何 意 义 2021年 4月 20日 星 期 二o xy x y=F(x)( ( ) ) ( ) ( )F x C F x f x (2) 即 横 坐 标 相 同 点 处 , 每 条 积 分 曲 线 上相 应 点 的 切

11、 线 斜 率 相 等 , 都 为 (x) .从 而 相 应 点 的 切 线 相 互 平 行 .注 :当 需 要 从 积 分 曲 线 族 中 求 出过 点 的 一 条 积 分 曲 线 时 ,则 只 须 把 代 入 y = F(x) + C中 解 出 C即 可 . 0 0( , )x y0 0( , )x y 2021年 4月 20日 星 期 二例 4 已 知 一 条 曲 线 在 任 意 一 点 的 切 线 斜 率 等 于 该 点 横 坐 标的 倒 数 , 且 过 点 求 此 曲 线 方 程 。3( , 5),e解 设 所 求 曲 线 为 y = (x) , 则1 dydx x由 题 意 1 ln

12、y dx x Cx 3 5 x ey 由 条 件 知 有35 ln ,e C 2.C 得故 所 求 曲 线 为 y = ln|x| + 2 2021年 4月 20日 星 期 二性 质 1 (1) ( ) ( ) f x dx f x 或 ( ) ( ) .d f x dx f x dx .即 积 分 与 求 导 二 者 作 用 抵 消四 、 不 定 积 分 的 性 质( ) ( )f x dx F x C ( )f x d x ( ) ( ) ( )F x C F x f x 证 明 ： ( ) ( ) ( ) C dF x F x dx F x .即 求 导 与 积 分 二 者 作 用 抵

13、消 后 还 差 一 个 常 数注 : 微 分 运 算 与 积 分 运 算 是 互 逆 的 .(2) ( ) ( ) C F x dx F x 或 ( ) C ( )F x F x 证 明 ： 乘 积 关 系 2021年 4月 20日 星 期 二即 性 质 3的 推 广 1 1( ) ( )n ni i i ii ia f x dx a f x dx 性 质 2 ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k 性 质 3 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( )f x dx g x dx ( ) ( )f x dx g x dx ( ) ( ).f x g x 证 是 (x) g(x)的 原 函 数 . ( ) ( )f x dx g x dx 2021年 4月 20日 星 期 二例 5 已 知 , 求 函 数 (x).1( 1) xf x dx xe C 解 1( 1) xf x dx xe C ( 1)f x 1xxe C 1t x 令 ( ) ( 1) t tf t e t e 即 tte( ) .xf x xe故 1 1x xe xe 2( ) ?f x d x 222 ( )d dxf x d xdx dx 2 ( )xf x